Thermodynamique (PCSI)/Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre : Système thermodynamique soumis aux seules forces de pression extérieure
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Condition d’équilibre mécanique d’un système thermodynamique soumis aux seules forces de pression extérieure[modifier | modifier le wikicode]
Préliminaire : Nous supposerons le système thermodynamique fermé nous rappelons que l'étude d’un système ouvert limité par une surface de contrôle se ramène à celle du système fermé coïncidant, à l’instant , avec l'« ensemble du système ouvert défini à l’instant augmenté de ce qui entre éventuellement sur »[1], système fermé suivi entre et [1], ce système fermé coïncidant, à l’instant [1], avec l'« ensemble du système ouvert défini à l’instant [1] augmenté de ce qui est sorti éventuellement sur »[1], le système ouvert pouvant être un système « pseudo fermé »[2] subissant une fuite donc aucune entrée entre et [1] ou ne subissant qu’une entrée de matière donc aucune sortie entre et [1][3].
Rappel de la définition de la pression (interne) au point M d’un système thermodynamique[modifier | modifier le wikicode]
Remarques : si le système est sous phase solide de « dimension au plus kilométrique »[5], la pression interne du solide en équilibre mécanique interne est estimée « uniforme »[6] ;
Remarques : si le système est sous phase liquide de « dimension au plus décimétrique »[7], nous pouvons négliger l’influence du champ de pesanteur terrestre et la pression interne du liquide en équilibre mécanique interne est estimée « uniforme »[6] ;
Remarques : si le système est un gaz de « dimension au plus hectométrique »[8], nous pouvons négliger l’influence du champ de pesanteur terrestre ; la pression interne du gaz, « localement en équilibre mécanique interne, peut ne pas être globalement uniforme même si elle l'est localement »[9] mais, en absence de cause maintenant la non uniformité, le gaz évoluera globalement vers un équilibre mécanique interne correspondant à une pression interne devenue « uniforme »[6].
Pression extérieure exercée sur un système thermodynamique
La pression extérieure s’exerçant au point de la surface latérale du système thermodynamique est la grandeur scalaire «» définie comme le rapport «» dans laquelle « est la force pressante que l'extérieur exerce sur la portion élémentaire de la surface latérale de centrée en , étant l'aire de et le vecteur unitaire normal à orienté de l’extérieur vers l’intérieur ».
Remarques 1 : « la pression extérieure au point de la surface latérale du système thermodynamique ne joue un rôle dans l’équilibre mécanique de » que « si est mobile dans le référentiel d’étude », c'est-à-dire pratiquement « si est un fluide et si l'extérieur de est lui même mobile dans », dans ce cas « la pression extérieure est une contrainte extérieure du système » ; Remarques 1 : dans le cas où la pression extérieure est une contrainte extérieure du système et dans la mesure où un équilibre mécanique de est réalisé, la pression extérieure à cet équilibre y est toujours [10].
Remarques 2 : la pression extérieure à un système solide considéré comme indéformable, de surface latérale , ne joue aucun rôle dans l'équilibre mécanique du solide dans la mesure où ce dernier est « incompressible »[11] car la surface latérale reste fixe dans le référentiel d'étude lié au solide[12] ; nous pouvons donc affirmer que « la pression extérieure n’est pas une contrainte extérieure pour un système thermodynamique solide incompressible[13] »[14] ;
Remarques 2 : sur un système liquide remplissant un cylindre indéformable fermé par un piston mobile dans le référentiel d'étude lié au cylindre, seule la pression extérieure exercée par le piston pourrait jouer un rôle dans l’équilibre mécanique du liquide mais en fait elle n’en joue aucun si le liquide est considéré comme « incompressible »[11] car le piston ne peut se déplacer dans le référentiel d'étude lié au cylindre dans la mesure où reste « collé à la surface latérale du liquide incompressible »[15] ; nous pouvons donc affirmer que « la pression extérieure n’est pas une contrainte extérieure pour un système thermodynamique liquide incompressible[13] »[14] ;
Remarques 2 : sur un système gazeux stocké dans un récipient fermé indéformable et immobile dans le référentiel d’étude, la pression extérieure exercée par les parois du récipient ne joue aucun rôle dans l’équilibre mécanique du gaz, nous pouvons affirmer que « la pression extérieure n’est pas une contrainte extérieure pour un système thermodynamique gazeux dont les parois sont rigides et fixes »[16].
Condition d’équilibre mécanique d’un système thermodynamique « gazeux » remplissant un cylindre fermé par un piston mobile[modifier | modifier le wikicode]
Encore applicable telle quelle pour un système thermodynamique « liquide » remplissant un cylindre fermé par un piston mobile, « même si cette condition ne joue aucun rôle dans l'équilibre mécanique du liquide dans la mesure quasi-générale où ce dernier est incompressible[11] »[17].
Cas d’un cylindre « horizontal » ou « vertical à ouverture supérieure fermée par un piston sans masse »[modifier | modifier le wikicode]
Préliminaire : Dans le cas d'un cylindre « horizontal », le poids du piston étant à la direction de déplacement de ce dernier ne joue aucun rôle dans la détermination de la force pressante que exerce sur le gaz et par suite il se comporte comme s'il n'avait pas de masse d'où le rattachement de ce cas à celui d'un cylindre « vertical à ouverture supérieure fermée par un piston sans masse » ;
Préliminaire : dans la suite nous considérons le cylindre « horizontal » sachant que le cas d'un cylindre « vertical à ouverture supérieure fermée par un piston sans masse » s'en déduit facilement.
Schéma d'une quantité d'air remplissant un cylindre horizontal fermé par un piston mobile, le côté extérieur du piston étant au contact de l'atmosphère
Exposé : Ci-contre le schéma d'un système thermodynamique constitué d'une quantité fixée d'air remplissant un cylindre horizontal fermé par un piston mobile sans frottement solide, le côté extérieur de étant au contact de l'atmosphère, avec représentation des forces s'exerçant sur le piston : Exposé : Ci-contre le système est en équilibre mécanique si le piston est en équilibre c'est-à-dire si la résultante des forces qui lui sont appliquées à savoir la force pressante de l'atmosphère extérieure et celle de l'air intérieur[18] est nulle ou encore si la composante de cette dernière sur la direction de déplacement du piston repérée par le vecteur unitaire horizontal dirigé du piston vers le fond du cylindre est nulle soit, avec Exposé : Ci-contre « la force pressante de l'atmosphère sur le piston d'aire », étant la pression atmosphérique et Exposé : Ci-contre « la force pressante de l'air du système sur le piston d'aire », étant la pression interne de l'air au niveau du piston, Exposé : Ci-contre l'écriture de la condition d'équilibre du piston «» soit
«»
Exposé : Ci-contre «» étant la pression extérieure exercée sur le piston mais aussi dans la mesure où le piston est incompressible[11], sans masse ou avec masse mais « dont l'accélération est quasi nulle »[19]la pression extérieure «» que le pistonexerce sur le systèmeconstitué de l'air remplissant le cylindre horizontal fermé par le piston.
Schéma initial (hors équilibre mécanique) d'une quantité d'air remplissant un cylindre horizontal fermé par un piston mobile, avec un opérateur exerçant une force horizontale sur le côté extérieur du piston au contact de l'atmosphèreSchéma final représentant l'équilibre mécanique d'une quantité d'air remplissant un cylindre horizontal fermé par un piston mobile, avec un opérateur exerçant une force horizontale sur le côté extérieur du piston au contact de l'atmosphère
Exposé : Ci-contre le schéma du même système thermodynamique constitué d'une quantité fixée d'air remplissant un cylindre horizontal fermé par un piston mobile sans frottement solide, avec le côté extérieur de au contact de l'atmosphère et l'air initialement en équilibre mécanique c'est-à-dire tel que sa pression interne «» est égale à la pression atmosphérique «», Exposé : Ci-contre l'état initial de , représenté ci-contre, étant rendu « hors équilibre mécanique » par ajout d'une force supplémentaire , de norme constante, horizontale, dirigée vers le fond du cylindre, exercée par un opérateur sur le piston voir ci-contre les forces horizontales s'exerçant sur le piston dans cet état initial[18], en effet la résultante des forces appliquées au piston dans l'état initial s'écrit « étant donné que » ce qui établit que l'état initial n'est pas un état d'équilibre nous pouvons en déduire que le piston se déplacera au moins initialement vers le fond du cylindre, ce qui créera une de la pression interne de l'air au moins initialement au niveau du piston ; Exposé : ci-contre le schéma du système thermodynamique en nouvel équilibre mécanique après une durée approximative d'une demi-minute d'uniformisation de la pression interne de l'air celle-ci prenant la valeur «» ; le piston acquiert un nouvel équilibre déterminé par la nullité de la résultante des forces appliquées au piston soit, avec « dans lequel est » «» soit finalement une pression interne de l'air dans ce nouvel équilibre mécanique égale à
«»
Exposé : Ci-contre la pression atmosphérique «» étant une composante de la pression extérieure[20] exercée sur le piston et «» son autre composante[20] correspondant à la surpression que l'opérateur impose mais cette somme «» est aussi dans la mesure où le piston est incompressible[11], sans masse ou avec masse mais « dont l'accélération est quasi nulle »[19]la pression extérieure «» que le pistonexerce sur le systèmeconstitué de l'air remplissant le cylindre horizontal fermé par le pistonpoussé par une force horizontale soit «».
Exposé : L'opérateur exerçant la force supplémentaire sur le piston à partir de l'instant la pression extérieure que le piston exerce sur le système subit, à cet instant , une discontinuité de 1ère espèce[21] passant de «» à «», Exposé : L'opérateur exerçant la force supplémentaire sur le piston à partir de l'instant cette discontinuité de pression extérieure exercée sur une modification continue de la pression interne[22] de , la faisant passer de « caractérisant un état hors équilibre mécanique »[23] à « caractérisant un état d'équilibre mécanique ».
Remarque : « l'une ou l'autre des évolutions de mise à l'équilibre mécanique du système thermodynamique » constitué d'une quantité fixée d'air remplissant un cylindre horizontal fermé par un piston mobile sans frottement solide la 1ère avec contact de la seule atmosphère sur le côté extérieur du piston et la 2ème avec action, sur ce même côté, d'une force supplémentaire constante, évolutions pour lesquelles la pression extérieure est une contrainte extérieure du système , Remarque : « l'une ou l'autre des évolutions de mise à l'équilibre mécanique est qualifiée de « monobare » car l'une ou l'autre de ces évolutions se fait « sans variation de pression extérieure » pour la 1ère«» et pour la 2ème «»[24].
Cas d’un cylindre vertical à ouverture supérieure fermée par un « piston massique »[modifier | modifier le wikicode]
Préliminaire : Dans ce paragraphe nous étudions le même système thermodynamique constitué d'une quantité fixée d'air remplissant un cylindre fermé par un piston mobile sans frottement solide, le côté extérieur de étant au contact de l'atmosphère mais, à la différence du paragraphe précédent, Préliminaire : Dans ce paragraphe le cylindre est vertical à ouverture supérieure et le piston fermant ce cylindre a une masse dont une conséquence est que son poids dans le champ de pesanteur terrestre uniforme est à l'axe du cylindre et a donc une influence sur la position d'équilibre de et par suite sur l'état d'équilibre mécanique du système thermodynamique ; Préliminaire : Dans ce paragraphe nous nous proposons d'y déterminer la force pressante que le piston exerce sur l'air du système dans le but d'en déduire la pression extérieure exercée sur simultanément à l'obtention de l'état d'équilibre mécanique de ce dernier.
Schémas représentant une quantité d'air remplissant un cylindre fermé par un piston massique, mobile, le côté extérieur du piston étant au contact de l'atmosphère, dans les 3 situations successives : cylindre horizontal et système à l'équilibre mécanique, rotation rapide du cylindre rendant ce dernier vertical à ouverture supérieure et système d'abord hors équilibre mécanique, puis en équilibre mécanique
Exposé : Ci-contre, en partant de la gauche, 1er schéma d'un système thermodynamique constitué d'une quantité fixée d'air remplissant un cylindre horizontal fermé par un piston de masse , mobile sans frottement solide, le côté extérieur de étant au contact de l'atmosphère, avec représentation des forces s'exerçant sur le piston dans la situation d'équilibre du piston et par suite celle d'équilibre mécanique du système , les forces s'exerçant sur étant :
le poids de «»[25] étant unitaire vertical descendant,
la réaction du cylindre «» sur le piston ,
la force pressante de l'atmosphère sur le piston d'aire «» étant unitaire, horizontal le long de l'axe du cylindre, orienté du piston vers le fond du cylindre et
la force pressante de l'air du système sur le piston d'aire «», « étant la pression interne de l'air à l'équilibre mécanique égale à »[26],
Exposé : Ci-contre, en partant de la gauche, 2ème schéma, après rotation rapide[27] de autour de [28] du cylindre de façon à le rendre vertical à ouverture supérieure, représentant ce dernier et le système thermodynamique juste après rotation c'est-à-dire le piston hors équilibre et le système hors équilibre mécanique avec schématisation des forces s'exerçant sur dans cette situation initiale juste après rotation, les forces s'exerçant sur étant alors :
la réaction du cylindre «» sur le piston maintenant à c'est-à-dire, dans la mesure où il n'y a aucune action horizontale et en absence de frottement solide, «»,
la force pressante de l'atmosphère sur le piston d'aire «» force ayant subi une même rotation de autour de [28] que le cylindre et
la force pressante de l'air du système sur le piston d'aire «», force ayant subi également une même rotation de autour de [28] que le cylindre ;
Exposé : Ci-contre, en partant de la gauche, 2ème schéma, nous vérifions que le piston n'est plus à l'équilibre, « la résultante des forces appliquées valant [25]dans la mesure où est par conséquent » ce qui caractérise une situation hors équilibre pour le piston nous pouvons en déduire que le piston se déplacera au moins initialement vers le fond du cylindre, ce qui créera une de la pression interne de l'air au moins initialement au niveau du piston ;
Exposé : Ci-contre, en partant de la gauche, 3ème schéma représentant le système thermodynamique constitué de la quantité fixée d'air précédente remplissant le cylindre vertical à ouverture supérieure fermée par le piston massique, en nouvel équilibre mécanique après une durée approximative d'une demi-minute d'uniformisation de la pression interne de l'air celle-ci prenant la valeur «» ; le piston acquiert un nouvel équilibre déterminé par la nullité de la résultante des forces appliquées au piston soit, «» soit finalement une pression interne de l'air dans ce nouvel équilibre mécanique égale à
«»
Exposé : Ci-contre, en partant de la gauche, 3ème schéma la pression atmosphérique «» étant une composante de la pression extérieure[20] exercée sur le piston et «» son autre composante[20] correspondant à la surpression que la gravitation engendre mais cette somme «» est aussi dans la mesure où le piston est incompressible[11] et tel que « son accélération est quasi nulle »[29]la pression extérieure «» que le pistonexerce sur le systèmeconstitué de l'air remplissant le cylindre vertical à ouverture supérieure fermée par le piston massique soit «».
Exposé : Ci-contre, « La pression extérieure exercée par un piston de masse sur le système thermodynamique constitué d'une quantité fixée d'air remplissant un cylindre vertical à ouverture supérieure fermée par , mobile sans frottement solide, et au contact de la seule atmosphère » est identique à « celle exercée par un piston sans masse sur le même système thermodynamique remplissant le même cylindre vertical à ouverture supérieure fermée par le piston sans masse, mobile sans frottement solide, à condition qu'un opérateur exerce, sur le piston, une force verticale descendante constante égale au poids du piston massique » d'où
« un piston massique au-dessus d’un gaz » peut être remplacé, pour la pression extérieure qu'il exerce sur le gaz, par « un piston sans masse sur lequel est appliquée une force verticale égale au poids du piston massique ».
Remarques : Nous vérifions de nouveau, sur l'exemple de ce paragraphe, qu'un système thermodynamique tel que « sa pression interne» dans la mesure où elle est d'une part définie et d'autre part uniforme est de « la pression extérieure supposée constante exercée sur » est hors équilibre mécaniqueà condition toutefois que soit une contrainte extérieure de et Remarques : Nous vérifions de nouveau, sur l'exemple de ce paragraphe, qu'un système thermodynamique tel que « sa pression interne» supposée d'une part définie et d'autre part uniforme est à « la pression extérieure supposée constante exercée sur » est en équilibre mécaniquececi n'ayant de sens que si est une contrainte extérieure de .
Remarques : Si, à partir du 1er schéma, nous effectuons une rotation rapide[27] de autour de [28] du cylindre de façon à le rendre vertical à ouverture inférieure, nous obtenons Remarques : Si, à partir un 2ème schéma non représenté dans lequel le système thermodynamique constitué d'air remplissant le cylindre devenu vertical à ouverture inférieure fermée par le piston de masse , est hors équilibre mécanique, n'étant pas à l'équilibre, « la résultante des forces appliquées sur dans cet état initial s'écrivant [25]dans la mesure où est en effet » ce qui caractérise une situation hors équilibre pour le piston nous pouvons en déduire que le piston s'éloignera au moins initialement du fond du cylindre, ce qui créera une de la pression interne de l'air au moins initialement au niveau du piston puis Remarques : Si, à partir un 3ème schéma non représenté dans lequel le système thermodynamique constitué de l'air précédent remplissant le cylindre vertical à ouverture inférieure fermée par le piston massique, a acquis un nouvel équilibre mécanique sous condition d'existence à préciser après une durée approximative d'une demi-minute d'uniformisation de la pression interne de l'air celle-ci prenant, sous condition d'existence, la valeur «» ; acquiert un nouvel équilibre déterminé par la nullité de la résultante des forces appliquées à «» soit finalement une pression interne de l'air dans ce nouvel équilibre mécanique égale, sous condition d'existence, à
Remarques : Si, à partir un 3ème schéma non représentéla pression atmosphérique «» étant une composante de la pression extérieure[20] exercée sur le piston et «» son autre composante[20] correspondant à la dépression que la gravitation engendre mais cette somme «» est aussi dans la mesure où le piston est incompressible[11] et tel que « son accélération est quasi nulle »[29]la pression extérieure «» que le pistonexerce sur le systèmeconstitué de l'air remplissant le cylindre vertical à ouverture inférieure fermée par le piston massique soit «».
Condition d’équilibre mécanique d’un système thermodynamique pour lequel la pression extérieure n’est pas une contrainte extérieure[modifier | modifier le wikicode]
L'équilibre mécanique d'un système thermodynamique fermé pour lequel la pression extérieure n'est pas une contrainte extérieure est réalisé « si la pressioninterne de est uniforme ».
Justification : il est nécessaire que deux échantillons mésoscopiques qui se côtoient et de soient en équilibre mécanique entre eux donc à la même pression en effet « pour l'échantillon mésoscopique de pression interne», « la pression interne de l'échantillon mésoscopique joue le rôle de pression extérieure » et comme l'équilibre mécanique d'un système avec son extérieur est que « la pression interne doit être égale à la pression extérieure » nous en déduisons «», ceci étant vrai pour tous les échantillons mésoscopiques de justifie l'uniformité de la pression interne de .
Remarque : si nous ne nous intéressons qu'à l'équilibre mécanique d'un système thermodynamique fermé indépendamment d'éventuels équilibres thermique et physique à considérer[31], il n'y a aucune raison extérieure pour que la pression interne de dépende du temps d'où la stationnarité de la pression interne de lors de la seule considération de son équilibre mécanique.
Condition d’équilibre thermique d’un système thermodynamique en contact avec l’extérieur par l’intermédiaire d’une paroi « diathermane »[modifier | modifier le wikicode]
Préliminaire : Nous supposerons le système thermodynamique fermé nous rappelons que l'étude d’un système ouvert limité par une surface de contrôle se ramène à celle du système fermé coïncidant, à l’instant , avec l'« ensemble du système ouvert défini à l’instant augmenté de ce qui entre éventuellement sur »[1], système fermé suivi entre et [1], ce système fermé coïncidant, à l’instant [1], avec l'« ensemble du système ouvert défini à l’instant [1] augmenté de ce qui est sorti éventuellement sur »[1], le système ouvert pouvant être un système « pseudo fermé »[2] subissant une fuite donc aucune entrée entre et [1] ou ne subissant qu’une entrée de matière donc aucune sortie entre et [1][3].
Rappel de la définition de la température (interne) au point M d’un système thermodynamique[modifier | modifier le wikicode]
Définition de la température extérieure à un système thermodynamique
La température extérieure au point de la surface latérale du système thermodynamique est la grandeur scalaire «» à l’énergie cinétique microscopique moyenne de translation des molécules de l'échantillon mésoscopique de l'extérieur de côtoyant en [32] c'est-à-dire »[33] étant le C.D.I[34]. de la molécule quelconque de masse individuelle [35], la constante de proportionnalité étant telle que
La définition de la température extérieure en tout point de la surface latérale du système thermodynamique dont l'extérieur est en équilibre thermodynamique peut se réécrire à l'aide de la « vitesse quadratique moyenne des molécules localisées dans l'échantillon mésoscopique de l'extérieur de côtoyant en [33], »[38],[39], la relation de définition se réécrivant
Définition (équivalente) de la température extérieure à un système thermodynamique
La température extérieure au point de la surface latérale du système thermodynamique est la température cinétique «» du G.P[40]. en contact avec le système au point par l’intermédiaire d’une paroi fixe, rigide et “ diathermane ”[41] quand l’équilibre thermodynamique entre système et G.P[40]. est réalisé »[42]
Le G.P[40]. joue le rôle de « thermomètre » pour que la mesure ait une signification, il faut que l’utilisation du thermomètre à G.P. au contact du système ne perturbe pas ce dernier, ce qui est le cas si la quantité de G.P[40]. est très petite par rapport à celle du système et si la température initiale du G.P[40]. n’est pas trop éloignée de celle de .
Remarques : Cette définition est équivalente à la définition précédente pour un système thermodynamique en équilibre thermodynamique car l’équilibre thermodynamique entre et le G.P[40]. situé de l’autre côté de la paroi fixe, rigide et « diathermane »[41], est réalisé quand les molécules situées de part et d’autre de la paroi ont même énergie cinétique microscopique moyenne de translation.
Remarques : Dans le cas où le système thermodynamique est entouré de parois solides mobiles ou fixes dans le référentiel d'étude lié au système sur toute la surface latérale du système, il convient de distinguer deux types de parois : Remarques : Dans des parois « diathermanes »[41] dans chacune desquelles la température est uniforme car toute différence de température à l’intérieur d’une paroi diathermane[41] disparaît assez rapidement dans la mesure où la conduction de la chaleur y est excellente valant «» pour la kème paroi diathermane[41] entourant le système et appelée « température extérieure à au niveau de la kème paroi diathermane[41] », c’est aussi la température extérieure en tout point extérieur situé au-delà de la paroi diathermane[41] considérée ; Remarques : Dans des parois « calorifugées »[43] dans chacune desquelles la température reste très hétérogène toute différence de température à l’intérieur d’une paroi calorifugée[43] pouvant y subsister dans la mesure où la conduction de la chaleur est quasi impossible d’où une « multitude de températures extérieures locales différentes au niveau de chaque paroi calorifugée[43] »[44] d'où la définition de la « température extérieure au système au niveau de la kème paroi calorifugée[43] » par la température extérieure «» en tout point extérieur au-delà de cette paroi calorifugée[43],[45] mais, cette dernière ne jouant aucun rôle dans l’équilibre thermique du système car la paroi ne peut « céder »[46] aucune chaleur à , Remarques : Dans des parois « calorifugées » « la température extérieure n’est donc pas une contrainte extérieure pour le système thermodynamique au niveau de la paroi calorifugée[43] ».
Condition d’équilibre thermique d’un système thermodynamique entouré de parois diathermanes[modifier | modifier le wikicode]
Pour qu’un système thermodynamique entouré de parois diathermanes[41] puisse atteindre un équilibre thermique, « il faut
que les parois diathermanes[41] soient à une même température extérieure de façon à ce que l'équilibre thermique de avec l'extérieur soit possible »[47] et
que « le système ne soit pas un isolant thermique[48] de façon à ce que l'équilibre thermique interne de soit également possible »,
l'équilibre thermique interne de entraînant l'uniformité de la températureinterne «» du système et
l'équilibre thermique de avec l'extérieur entraînant que la températureinterne «» du systèmeprend la valeur de la température extérieure «» des parois diathermanes[41],[49] d'où
l'équilibre thermique de entouré de parois diathermanes[41] à la même température extérieure «» est réalisé si la température interne «» de est uniforme et telle que «».
Remarques : Nous pouvons donc affirmer qu'un système thermodynamique tel que « sa température interne» dans la mesure où elle est d'une part définie et d'autre part uniforme est de « la température extérieure supposée constante des parois diathermanes[41] entourant » est hors équilibre thermique«» étant effectivement une contrainte extérieure de et Remarques : Nous pouvons donc affirmer qu'un système thermodynamique tel que « sa température interne» supposée d'une part définie et d'autre part uniforme est à « la température extérieure supposée constante des parois diathermanes[41] entourant » est en équilibre thermique«» étant toujours une contrainte extérieure de .
Remarques : Une évolution de système thermodynamique entouré de parois diathermanes[41] de même température extérieure «» constante «» contrainte extérieure de Remarques : Une évolution de système thermodynamique entouré de parois diathermanes de même température extérieure «» constante est qualifiée de « monotherme » car cette évolution se fait « sans variation de température extérieure »[50]exemple d'évolution monotherme d'un système thermodynamique , « évolution en contact avec un thermostat ».
Condition d’équilibre thermique d’un système thermodynamique pour lequel la température extérieure n’est pas une contrainte extérieure[modifier | modifier le wikicode]
L'équilibre thermique d'un système thermodynamique fermé pour lequel la température extérieure n'est pas une contrainte extérieure et tel que soit conducteur de la chaleur est réalisé « si la températureinterne de est uniforme ».
Justification : il est nécessaire que deux échantillons mésoscopiques qui se côtoient et de soient en équilibre thermique entre eux donc à la même température en effet « pour l'échantillon mésoscopique de température interne», « la température interne de l'échantillon mésoscopique joue le rôle de température extérieure » et comme l'équilibre thermique d'un système avec son extérieur est que « la température interne doit être égale à la température extérieure » nous en déduisons «», ceci étant vrai pour tous les échantillons mésoscopiques de justifie l'uniformité de la température interne de .
Remarque : si nous ne nous intéressons qu'à l'équilibre thermique d'un système thermodynamique fermé indépendamment d'éventuels équilibres mécanique et physique à considérer[51], il n'y a aucune raison extérieure pour que la température interne de dépende du temps d'où la stationnarité de la température interne de lors de la seule considération de son équilibre thermique.
Équation d’état sous forme intégrale d’un système thermodynamique monophasé pour une quantité fixée précisant le « lien entre pression, température, volume et quantité du système »[modifier | modifier le wikicode]
Un système thermodynamique fermé monophasé est « divariant »[52] « l’état d’équilibre thermodynamique du système nécessite de choisir indépendamment deux paramètres intensifs[53] » par exemple la « pression » et la « température », une conséquence est alors que Un système thermodynamique fermé monophasé est « divariant » « tous les autres paramètres intensifs[53] dépendent de ces deux paramètres intensifs[53] choisis » et Un système thermodynamique fermé monophasé est « divariant » « les paramètres extensifs[54]comme le volume [55] dépendent de ces deux paramètres intensifs[53] choisis et de la quantité fixée du système fermé ».
Définition, sous forme intégrale, de l’équation d’état d’un système thermodynamique monophasé pour une quantité fixée[modifier | modifier le wikicode]
Équation d'état (sous forme intégrale) d'un système thermodynamique monophasé en équilibre
Ayant choisi comme paramètres intensifs[53] indépendants pour définir les états d’équilibre thermodynamique[56] du système monophasé, sa « pression » et sa « température », nous appelons « équation d’état sous forme intégrale[57] du système monophasé en équilibre » la relation précisant le « volume » d’une « quantité fixée » de ce système monophasé en équilibre en fonction de sa « pression » et sa « température » ; cette équation d’état est souvent donnée sous forme implicite «»[58].
Équation d’état sous forme locale d’un système thermodynamique monophasé (fermé ou ouvert) précisant le « lien entre pression, température et volume molaire du système »[modifier | modifier le wikicode]
Définition, sous forme locale, de l’équation d’état d’un système thermodynamique monophasé[modifier | modifier le wikicode]
Équation d'état (sous forme locale) d'un système thermodynamique monophasé en équilibre
Le système monophasé étant « divariant »[52] et ayant choisi comme paramètres intensifs[53] indépendants pour définir les états d’équilibre thermodynamique[56] du système monophasé, sa « pression » et sa « température », nous appelons « équation d’état sous forme locale du système monophasé en équilibre »[59], la relation précisant le « volume molaire »[60] du système monophasé en équilibre en fonction de sa « pression » et sa « température » ; cette équation d’état est souvent donnée sous forme implicite «»[61].
Remarques : Une équation d’état sous forme locale d'un système monophasé en équilibre[59] n'utilisant que des grandeurs intensives du système c'est-à-dire des paramètres indépendants de la quantité de ce dernier peut être définie pour tout système thermodynamique en équilibre, que ce système soit fermé ou ouvert.
Remarques : Parfois le volume molaire est remplacé par son inverse c'est-à-dire la concentration volumique molaire «».
Détermination de la forme locale à partir de la forme intégrale de l’équation d’état d’un système thermodynamique monophasé[modifier | modifier le wikicode]
Le paramètre extensif[54] « volume » d'un système thermodynamique étant à la « quantité » de ce dernier doit apparaître dans l'« équation d'état sous forme intégrale du système en équilibre thermodynamique »[56]dont le 1er membre est écrit sous la forme d'une somme de termes dans lesquels et ne sont pas en facteur l'un de l'autre avec le « même exposant »[62] d'où
en divisant l'« équation d'état sous forme intégrale du système en équilibre thermodynamique »[56] à savoir «» par «» nous obtenons «» c'est-à-dire l'« équation d'état sous forme locale du système en équilibre thermodynamique »[56] à savoir «».
Remarque : Nous rappelons que l'« équation d'état sous forme locale d'un système en équilibre thermodynamique »[56] est également applicable à un système ouvert et Remarque : Nous rappelons que l'« équation d'état sous forme intégrale d'un système en équilibre thermodynamique »[56] nécessitant que la quantité de ce dernier soit précisée, dans le cas d'un système ouvert , nous l'appliquons au « système fermé que nous suivons entre et »[3].
Rappel de l’expression de la pression (cinétique) « p » d’un G.P. en fonction de sa densité volumique particulaire « Nvol », de la vitesse quadratique moyenne « V* » et de la masse « mp » d’une molécule de ce gaz en équilibre thermodynamique[modifier | modifier le wikicode]
la pression cinétique[63] «» d'un G.P[40]. en équilibre thermodynamique[56] en fonction de sa densité volumique particulaire «», de la vitesse quadratique moyenne «» et de la masse «» d’une molécule quelconque du gaz s'exprime selon
«».
Rappel de l’expression de la température (cinétique) « T » d’un G.P. en fonction de la vitesse quadratique moyenne « V* » et de la masse « mp » d’une molécule de ce gaz en équilibre thermodynamique[modifier | modifier le wikicode]
la température cinétique[63] «» d'un G.P[40]. en équilibre thermodynamique[56] en fonction de l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation «» d'une molécule quelconque du gaz ou en fonction de la vitesse quadratique moyenne «» et de la masse «» de la même molécule s'exprime selon
Élimination de la vitesse quadratique moyenne « V* » et de la masse « mp » d’une molécule d’un G.P. en équilibre thermodynamique entre l’expression de sa pression « p » et celle de sa température « T », 1ère équation d’état d’un G.P. sous forme locale utilisant la densité volumique particulaire « Nvol » de ce gaz[modifier | modifier le wikicode]
De la relation de définition de la température d'un G.P[40]. en équilibre thermodynamique[56] en fonction de la vitesse quadratique moyenne «» et de la masse «» d'une molécule quelconque de ce gaz «»[64] on tire «» que l’on reporte dans De l’expression de la pression du G.P[40]. en équilibre thermodynamique[56] en fonction de sa densité volumique particulaire «», de la vitesse quadratique moyenne «» et de la masse «» d’une molécule quelconque de ce gaz «»[65] soit «» ou finalement
«».
Remarque : La relation «» définit une équation d'état sous forme locale[66] du G.P[40]. étudié car elle ne fait intervenir que des grandeurs définies localement mais, Remarque : à l’échelle macroscopique nous ne retenons pas cette forme car elle contient deux grandeurs qui y sont très mal adaptées « la constante de Boltzmann[37]» et « la densité volumique particulaire du gaz », leur valeur respective excessivement petite pour la 1ère et excessivement grande pour la 2nde autorisant leur remplacement pour utiliser des grandeurs adaptées à l'échelle macroscopique
Pour obtenir une équation d'état sous forme locale d'un G.P[40]. faisant intervenir exclusivement des paramètres intensifs[53] adaptés à l'échelle macroscopique, nous introduisons :
la « constante molaire des G.P[40]. en » soit finalement «»[69] ;
leurs reports dans l'équation d’état sous forme locale d'un G.P[40]. «» donne «» d'où la forme locale de l’équation d’état d’un G.P[40]. en équilibre thermodynamique[56]
«»[70],[71] dans laquelle « la pression est en », « la densité volumique molaire en », « la constante molaire des G.P[40]. »[69] et « la température en ».
Autre équation d'état sous forme locale d'un G.P.[40] : Très souvent la « densité volumique molaire du G.P[40]. exprimée en » est remplacée par son inverse le « volume molaire du même G.P[40]. exprimée en », la forme locale de l’équation d’état d’un G.P[40]. en équilibre thermodynamique[56] devient alors «» ou encore
«»[70],[72] dans laquelle « la pression est en », « le volume molaire en », « la constante molaire des G.P[40]. »[69] et « la température en ».
L'équation d'état sous forme locale d'un G.P[40]. en équilibre thermodynamique[56] «» se réécrivant, pour une quantité fixée de ce G.P[40]., de volume , donc de « volume molaire », selon «» nous en déduisons l'« équation d'état sous forme intégrale d'une quantité fixée de ce G.P[40]. en équilibre thermodynamique[56] »
«»[73],[70],[74] dans laquelle « la pression est en », « la quantité en », « le volume en », « la constante molaire des G.P[40]. »[69] et « la température en ».
En complément, exemple de modèle de fluide « le fluide de van der Waals » et son cas particulier le « gaz de Joule »[modifier | modifier le wikicode]
Préliminaire : Le modèle de fluide « le fluide de van der Waals »[75] et son cas particulier le « gaz de Joule »[76] n'étant pas explicitement cité dans le programme de physique de P.C.S.I., les informations sur ces modèles devraient être redonnées dans un exercice ou problème
Un fluide de van der Waals[75] est un fluide composé de molécules identiques « non ponctuelles » et « avec interaction attractive intermoléculaire », Un fluide de van der Waals le caractère « non ponctuel » des molécules identiques étant caractérisé par une grandeur intensive «» dépendant de la nature du fluide et appelée « covolume molaire exprimé en », Un fluide de van der Waals l'existence d'une « interaction attractive intermoléculaire » étant caractérisée par une grandeur intensive «» dépendant aussi de la nature du fluide, exprimée en «»[77],[78] de « valeur se déduisant de la valeur absolue de la pression moléculaire et de la densité volumique molaire selon »[79] ;
on y admet une répartition statistique des vecteurs vitesses « isotrope » c'est-à-dire indépendante de la direction du vecteur vitesse de norme fixée, « homogène » c'est-à-dire indépendante du centre de l'échantillon mésoscopique considéré et « stationnaire c'est-à-dire indépendante de l'instant d'observation de l'échantillon mésoscopique pour un fluide en équilibre thermodynamique ».
Remarque : le modèle de fluide de van der Waals[75] est applicable à « un liquide ou un gaz », l’intérêt de ce modèle est donc son large domaine d’application car un même corps pur dans un état monophasé sous phase gazeuse ou sous phase liquide peut être décrit par le même modèle[80].
Tout fluide monophasé étant divariant[52], il y a une relation entre les trois paramètres d’état intensifs[53] « la pression », la « température » et « le volume molaire » d'un fluide monophasé de van der Waals[75] en équilibre thermodynamique, relation définissant l’équation d’état du fluide de van der Waals[75] sous sa forme locale
«» dans laquelle « est la constante molaire des G.P[40]. » ;
cette équation d’état peut être mise sous forme implicite «» avec «»[81], cette équation définissant aisément deux fonctions implicites, « la température en fonction de la pression et le volume molaire » ainsi que « la pression en fonction de la température et le volume molaire » :
cette équation par contre l'« explicitation du volume molaire en fonction de la température et la pression n'est pas toujours possible » c'est-à-dire qu'il n'est pas toujours possible de définir une fonction implicite avec fonction réelle de classe C1c'est-à-dire continue et différentiable jusqu'à l'ordre inclus définie sur un ouvert de , cette équation par contre cette explicitation n'étant possible que si la dérivée partielle 1ère de par rapport à à et gelées ne s'annule pas sur [83], or s'annule pour d'où cette équation par contre cette explicitation sur un ouvert de contenant un voisinage de « il n'existe pas de fonction implicite» mais cette équation par contre cette explicitation sur un ouvert de ne contenant pas de voisinage de « il existe une fonction implicite non explicitable algébriquement »[84]mais pouvant l'être numériquement[85].
Équation d’état sous forme intégrale d’une quantité « n » fixée d’un « fluide » de van der Waals[modifier | modifier le wikicode]
L'équation d'état sous forme locale d'un fluide de van der Waals[75] en équilibre thermodynamique[56] «» se réécrivant, pour une quantité fixée de ce fluide de van der Waals[75], de volume , donc de « volume molaire », selon «» nous en déduisons l'« équation d'état sous forme intégrale d'une quantité fixée de ce fluide de van der Waals[75] en équilibre thermodynamique[56] »
«»[73],[86],[87] dans laquelle « la pression est en », « la quantité en », « le volume en », « la constante molaire des G.P[40]. »[69] et « la température en ».
Interprétation du « covolume molaire b » d’un fluide de van der Waals en termes de caractère non ponctuel des molécules[modifier | modifier le wikicode]
Schéma exposant le modèle des sphères dures pour interpréter le covolume dans le modèle du fluide de van der Waals[75]
Considérant les molécules comme des « boules indéformables de rayon »[88],[89], le centre d’inertie d’une « molécule » ne peut s’approcher à « moins de » du centre d’inertie d’une « molécule » chaque molécule transporte autour d’elle un « volume d’inaccessibilité pour les autres molécules égal à » dans lequel « est le volume d'une molécule quelconque » ;
supposant molécules contenues dans le fluide de van der Waals[75] de volume , nous en déduisons que ces molécules fournissent un « volume d’inaccessibilité égal à » ou, avec la quantité de molécules étant la constante d’Avogadro[68], la réécriture du « volume d’inaccessibilité » le « volume de l'espace disponible pour une molécule quelconque égal à et non à », le volume d’inaccessibilité pour une molécule quelconque «» définissant le covolume «» d'où
« le covolume molaire ».
Exemple : Si «[90]exemple de la vapeur d’eau[91]», «» « en » soit
Rappel de l’interprétation de la grandeur intensive « a » d’un fluide de van der Waals en terme d’interaction attractive intermoléculaire[modifier | modifier le wikicode]
nous avons expliqué que nous commettons une erreur systématique par excès en ne tenant pas compte des interactions intermoléculaires attractives dans l’évaluation du gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption et désorption des molécules d'un gaz,
nous en avons déduit que la pression « effective »[94] «» que le fluide exerce sur est en réalité inférieure à la pression cinétique «» estimée par gain « statistique » horaire et surfacique de résultante cinétique de par adsorption et désorption des molécules de gaz sans tenir compte des interactions intermoléculaires soit
«» avec « appelée pression moléculaire exercée par le gaz sur pression due aux interactions intermoléculaires attractives» ;
«» avec «», étant la densité volumique moléculaire du gaz en équilibre thermodynamique et étant la vitesse quadratique moyenne des molécules de masse ;
ayant prolongé, au paragraphe « pression cinétique en tout point d'un G.P. en équilibre thermodynamique » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », l'expression de la pression cinétique exercée sur un élément de paroi réel à celle exercée sur un élément de paroi fictif centré en un point quelconque strictement intérieur au gaz par le gaz situé d'un côté de l'élément de paroi fictif, cette dernière servant de définition à la pression cinétique au point strictement intérieur au gaz d'où
en tout point du gaz «» avec «», étant la densité volumique moléculaire du gaz en équilibre thermodynamique et étant la vitesse quadratique moyenne des molécules de masse ;
puis, substituant des grandeurs d'échelle mésoscopique ou macroscopique aux celles d'échelle microscopique, en faisant intervenir la « constante d’Avogadro[68]» selon avec « la constante molaire des G.P[40]. » et « la densité volumique molaire du gaz en » d'où
en tout point du gaz « avec » ;
ensuite, tenant compte du caractère non ponctuel des molécules du gaz en introduisant la notion de covolume molaire de ce gaz pour moles de molécules de gaz contenu dans un récipient de volume , le « volume de l'espace disponible pour une molécule quelconque est et non » où « est le covolume du gaz c'est-à-dire le volume d’inaccessibilité pour une molécule quelconque »[95] dont nous déduisons l'expression de la densité volumique molaire du gaz «» d'où
en tout point du gaz « avec » ;
nous avons aussi tenté d’expliquer, dans le paragraphe « distinction entre les pressions effective et cinétique exercées par le gaz sur un élément de paroi, notion de pression moléculaire du gaz s'exerçant sur l'élément de paroi (tentative d'évaluation de la pression moléculaire, modèle dit de van der Waals) » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », pourquoi la pression moléculaire «» d'un échantillon mésoscopique de gaz en équilibre thermodynamique sur un élément de paroi [96] le côtoyant « est à », nous avons aussi tenté d’expliquer, la pression moléculaire correspondant à une « valeur moyenne de grandeur d’interaction intermoléculaire multipliée par le nombre de couples de molécules interagissant dans l'échantillon mésoscopique d'expansion tridimensionnelle » c'est-à-dire [97] dans lequel est le nombre de molécules de l'échantillon mésoscopique ou nous avons aussi tenté d’expliquer, la pression moléculaire correspondant à une « valeur moyenne de grandeur d’interaction intermoléculaire d'échelle mésoscopique ou macroscopique multipliée par le nombre de couples de moles de molécules interagissant dans l'échantillon mésoscopique d'expansion tridimensionnelle » c'est-à-dire [97] dans lequel est la quantité de molécules de l'échantillon mésoscopique ; la quantité de molécules de l'échantillon mésoscopique se réécrivant , nous en déduisons une autre expression du « nombre de couples de moles de molécules interagissant dans l'échantillon mésoscopique » et par suite nous pouvons admettre que la « pression moléculaire de l'échantillon mésoscopique du gaz en équilibre thermodynamique sur l'élément de paroi [96] le côtoyant » est de la forme «» avec pour une interaction intermoléculaire attractive y étant , étant une grandeur caractérisant, en moyenne, l'influence par des interactions intermoléculaires attractives à l'échelle mésoscopique ou macroscopique sur la pression du gaz d'où, nous avons aussi tenté d’expliquer, pour une quantité de gaz dans un récipient de volume pour lequel nous en déduisons
en tout point du gaz «» avec ou en tout point du gaz «».
Remarque : Cette tentative d'interprétation de la pression moléculaire exposée pour un gaz de van der Waals[75] se généralise à tout fluide gaz ou liquide de van der Waals[75].
Exemple : le paramètre intensif[53] caractérisant les interactions attractives intermoléculaires de la vapeur d’eau est estimé à «»[78] soit
une valeur absolue de pression moléculaire de la vapeur d'eau «» en général « par rapport à »[98].
Un gaz de Joule[76] est un gaz composé de molécules identiques « non ponctuelles » dans lequel « les interactions intermoléculaires sont négligeables », le caractère « non ponctuel » des molécules étant caractérisé par une grandeur intensive «», dépendant de la nature du fluide et appelée « covolume molaire exprimé en » ; on y admet une répartition statistique des vecteurs vitesses « isotrope » c'est-à-dire indépendante de la direction du vecteur vitesse de norme fixée, « homogène » c'est-à-dire indépendante du centre de l'échantillon mésoscopique considéré et « stationnaire c'est-à-dire indépendante de l'instant d'observation de l'échantillon mésoscopique pour un gaz en équilibre thermodynamique ».
Un gaz de Joule[76] étant un gaz de van der Waals[75] pour lequel «», son équation d’état sous forme locale est
«» et
Un gaz de Joule étant un gaz de van der Waals pour lequel «», son équation d'état sous forme intégrale d’une quantité «» de gaz dans un récipient de volume «»
«».
En complément, cœfficients thermoélastiques d’un système thermodynamique monophasé[modifier | modifier le wikicode]
Notions déjà partiellement introduites dans les paragraphes « compressibilité d'un fluide, modèle incompressible » et « dilatation d'un fluide, modèle indilatable » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) », ces notions n'étant pas complètement explicitées dans le programme de physique de P.C.S.I. il y manque le cœfficient de compression isochore peuvent néanmoins être utilisées sans que leur définition ne soit rappelée sauf bien sûr pour le cœfficient de compression isochore dont la définition doit être donnée puisqu'elle est omise dans le programme de physique de P.C.S.I..
Introduction, deux façons de connaître l’évolution d’un système thermodynamique monophasé[modifier | modifier le wikicode]
Un système monophasé étant divariant[52], il existe une relation liant les « trois paramètres d’état intensifs[53], et » ou les « deux paramètres d’état intensifs[53], et les deux paramètres d'état extensifs[54] associé à la quantité » :
une 1ère façon consistant à « modéliser le système monophasé en équilibre thermodynamique » et à se donner son « équation d'état » sous forme locale «» ou sous forme intégrale «», ce qui a été choisi jusqu'à présent dans ce chapitre,
une 2ème façon consistant à étudier expérimentalement la « variation d'un des paramètres d’état intensifs[53], ou du système monophasé en équilibre thermodynamique relativement à un 2ème paramètre, le 3ème étant figé »[99], c'est-à-dire à déterminer expérimentalement l'un des « trois cœfficients thermoélastiques » du système monophasé dans le but d'en déduire des propriétés pour ce dernier, c'est ce qui est exposé dans les sous-paragraphes de ce paragraphe.
Définitions des cœfficients thermoélastiques d’un système thermodynamique monophasé[modifier | modifier le wikicode]
Le cœfficient de dilatation isobare «» d'un système thermodynamique monophasé[101] est un paramètre d’état intensif[53] caractérisant la variabilité du volume d'une quantité fixée du système relativement à la température à pression constante soit
Définitions équivalentes : il est aisé de définir le cœfficient de dilatation isobare «» d'un système thermodynamique monophasé[101] en utilisant un paramètre d’état intensif[53] associé directement ou indirectement au volume comme Définitions équivalentes : le « volume molaire » étant le volume d'une quantité fixée du système selon «»[102],[105] ou Définitions équivalentes : le « volume massique »[106] étant le volume d'une masse fixée du système selon «»[102],[107] ou encore Définitions équivalentes : la « masse volumique »[106] étant le volume d'une masse fixée du système selon «»[102],[108].
Commentaire et conséquence : Reconnaissant dans «[102] la dérivée logarithmique partielle du volume par rapport à la température à pression figée », nous pouvons réécrire le cœfficient de dilatation isobare «» d'un système thermodynamique monophasé selon «»[109] ;
Commentaire et conséquence : on peut faire le même commentaire sur les trois définitions équivalentes et en tirer une conséquence semblable : Commentaire et conséquence : «»[102]avec volume molaire peut être réécrit selon «»[109], Commentaire et conséquence : «»[102]avec volume massique[106] peut être réécrit selon «»[109], Commentaire et conséquence : «»[102]avec masse volumique peut être réécrit selon «»[109].
Remarque : le cœfficient de dilatation isobare «» d'un système thermodynamique monophasé est en général seule l'eau liquide entre et à pression ordinaire a un cœfficient de dilatation isobare , par exemple un lac d'eau douce dont la température de et voit son volume , certes excessivement faiblement.
Le cœfficient de compressibilité isotherme «» d'un système thermodynamique monophasé[110] est un paramètre d’état intensif[53] caractérisant la variabilité du volume d'une quantité fixée du système relativement à la pression à température constante soit
Définitions équivalentes : il est aisé de définir le cœfficient de compressibilité isotherme «» d'un système thermodynamique monophasé[110] en utilisant un paramètre d’état intensif[53] associé directement ou indirectement au volume comme Définitions équivalentes : le « volume molaire » étant le volume d'une quantité fixée du système selon «»[102],[112] ou Définitions équivalentes : le « volume massique »[106] étant le volume d'une masse fixée du système selon «»[102],[113] ou encore Définitions équivalentes : la « masse volumique »[106] étant le volume d'une masse fixée du système selon «»[102],[114].
Commentaire et conséquence : Reconnaissant dans «[102] la dérivée logarithmique partielle du volume par rapport à la pression à température figée », nous pouvons réécrire le cœfficient de ccompressibilité isotherme «» d'un système thermodynamique monophasé selon «»[109] ;
Commentaire et conséquence : on peut faire le même commentaire sur les trois définitions équivalentes et en tirer une conséquence semblable : Commentaire et conséquence : «»[102]avec volume molaire peut être réécrit selon «»[109], Commentaire et conséquence : «»[102]avec volume massique[106] peut être réécrit selon «»[109], Commentaire et conséquence : «»[102]avec masse volumique peut être réécrit selon «»[109].
Remarque : le cœfficient de compressibilité isotherme «» d'un système thermodynamique monophasé est toujours .
Le cœfficient de compression isochore «» d'un système thermodynamique monophasé[115] est un paramètre d’état intensif[53] caractérisant la variabilité de la pression du système relativement à la température à volume constant étant le volume d'une quantité fixée soit
Définitions équivalentes : il est aisé de définir le cœfficient de compression isochore «» d'un système thermodynamique monophasé[115] en maintenant gelé un paramètre d’état intensif[53] associé directement ou indirectement au paramètre d'état extensif[54] volume soit, en gelant Définitions équivalentes : le « volume molaire » étant le volume d'une quantité fixée du système selon «»[102],[117] ou Définitions équivalentes : le « volume massique »[106] étant le volume d'une masse fixée du système selon «»[102],[118] ou encore Définitions équivalentes : la « masse volumique »[106] étant le volume d'une masse fixée du système selon «»[102],[119]
Commentaire et conséquence : Reconnaissant dans «[102] la dérivée logarithmique partielle de la pression par rapport à la température à volume figé », nous pouvons réécrire le cœfficient de compression isochore «» d'un système thermodynamique monophasé selon «»[120] ;
Commentaire et conséquence : on peut faire le même commentaire sur les deux définitions équivalentes et en tirer une conséquence semblable : Commentaire et conséquence : «»[102]avec volume molaire peut être réécrit selon «»[109], Commentaire et conséquence : «»[102]avec volume massique[106] peut être réécrit selon «»[109], Commentaire et conséquence : «»[102]avec masse volumique peut être réécrit selon «»[109].
Remarque : le cœfficient de compression isochore «» d'un système thermodynamique monophasé est en général seule l'eau liquide entre et à masse volumique ordinaire a un cœfficient de compression isochore .
Le calcul le plus simple des « cœfficients thermoélastiques d’un G.P[40]. » se fait à partir de l'« une des équations d'état sous forme locale de ce dernier »[121] et le calcul le plus rapide à partir des expressions des cœfficients thermoélastiques utilisant la dérivation logarithmique partielle[109] et la forme logarithmique de l'équation d'état sous forme locale du G.P[40]. «» :
cœfficient de dilatation isobare du G.P[40]. : «»[109] avec «» «» ;
cœfficient de compressibilité isotherme du G.P[40]. : «»[109] avec «» «» ;
cœfficient de compression isochore du G.P[40]. : «»[109] avec «» «».
L'équation d’état dans sa forme intégrale d’une quantité «» fixée du fluide monophasé étant connue sous la forme implicite «» ou plus simplement, L'équation d’état dans sa forme intégrale d’une quantité « étant constante », «»[124], nous supposons que l’explicitation en de cette forme implicite laquelle semble indispensable pour évaluer les cœfficients de dilatation isobare et de compressibilité isotherme du fluide considéré nous supposons que l’explicitation en de cette forme implicite n’est algébriquement pas possible comme sur l’exemple du fluide de van der Waals[75] et nous allons commencer par déterminer comment calculer les dérivées partielles de ou d’ailleurs les dérivées partielles de ou de en dérivant partiellement la forme implicite «» de l'équation d’état[124],[125].
Rappel de l'expression des dérivées partielles 1ères d'une fonction implicite entre trois variables réelles[modifier | modifier le wikicode]
Expression du produit «»[102] : pour évaluer ce produit on procède comme précédemment mais en remplaçant chaque facteur du produit par son expression en fonction des dérivées partielles 1ères de la fonction de l'équation implicite «» rappelée entre accolades au paragraphe « rappel de l'expression des dérivées partielles 1ères d'une fonction implicite entre trois variables réelles » plus haut dans ce chapitre, soit, après simplification évidente, l'expression suivante
Remarque : La relation peut être établie en remplaçant le volume d'une quantité fixée de fluide monophasé par le volume molaire de ce dernier, pour cela, Remarque : on utilise la relation «»[102] trouvée au paragraphe « conséquence, expression du produit (әມ/әT)p (әT/әp)ມ (әp/әມ)T {expression du produit (әມmol/әT)p (әT/әp)ມmol (әp/әມmol)T, remarque} » plus haut dans ce chapitre, dans laquelle on exprime les dérivées partielles à partir des définitions des cœfficients thermoélastiques c'est-à-dire
Remarque : «[102] en fonction, entre autre, du cœfficient de compression isochore » selon «»[133],
Remarque : «[102] en fonction, entre autre, du cœfficient de dilatation isobare » selon «»[134] et
Remarque : «[102] en fonction, entre autre, du cœfficient de compressibilité isotherme » selon «»[135] d'où,
Remarque : en reportant dans la relation «» «», l'obtention d'un lien équivalent ou le même lien si la dépendance des paramètres n'est pas précisée entre les trois cœfficients thermoélastiques d’un fluide monophasé
«» ou, de façon plus concise, «».
Méthode de calcul d’un cœfficient thermoélastique de fluide monophasé à partir de l’équation d’état de ce dernier sous forme intégrale (ou locale), dans le cas où le paramètre à dériver ne peut être explicité algébriquement en fonction des deux autres, exemple du calcul du « cœfficient de dilatation isobare » d’un fluide de van der Waals[modifier | modifier le wikicode]
Préliminaire : Nous avons vu au paragraphe « équation d'état sous forme locale d'un fluide de van der Waals »[75] plus haut dans ce chapitre que l'« explicitation en volume molaire de la forme locale de l'équation d'état d'un tel fluide «» n'est pas possible sur n'importe quel ouvert de » il n'existe donc pas de fonction implicite dont la validité s'étendrait sur n'importe quel ouvert de ; de plus, quand une explicitation en volume molaire est possible sur un ouvert restreint de , celle-ci ne peut être algébrique car nécessitant la résolution d'une équation du 3ème degré en mais uniquement numérique d'où l'« impossibilité de déterminer une fonction implicite algébrique » ;
Préliminaire : de même l'« explicitation en volume de la forme intégrale de l'équation d'état d'une quantité d'un fluide de van der Waals[75] «»[136] n'est pas possible sur n'importe quel ouvert de » il n'existe donc pas de fonction implicite dont la validité s'étendrait sur n'importe quel ouvert de ; de plus, quand une explicitation en volume est possible sur un ouvert restreint de , celle-ci ne peut être algébrique car nécessitant la résolution d'une équation du 3ème degré en mais uniquement numérique d'où l'« impossibilité de déterminer une fonction implicite algébrique ».
Préliminaire : Dans le cas d'un fluide de van der Waals[75], que nous considérions la forme locale ou intégrale de son équation d'état, nous ne pouvons pas obtenir de fonction impliciteou sous forme algébrique et par conséquent nous ne pouvons pas calculer directement le cœfficient de dilatation isobare ou le cœfficient de compressibilité isotherme en effectuant une dérivation partielle logarithmique ou non d'une fonction implicite n'existant pas ou dans le cas d'existence n'ayant pas de forme algébrique d'où la nécessité de trouver une méthode adaptée.
Méthode pour évaluer le cœfficient de dilatation isobared'un fluide de van der Waals[75] : mettre la « forme intégrale de l'équation d’état de la quantité fixée de fluide de van der Waals[75] sous forme implicite c'est-à-dire avec »,
Méthode pour évaluer le cœfficient de dilatation isobared'un fluide de van der Waals : écrire la définition du cœfficient de dilatation isobare «»[102],[131],
Méthode pour évaluer le cœfficient de dilatation isobared'un fluide de van der Waals : évaluer les dérivées partielles du volume de la quantité fixée de fluide de van der Waals[75] en dérivant partiellement la fonction définissant l'équation implicite déduite de la forme intégrale de l'équation d'état du fluide selon «»[137],[102],[126],
Méthode pour évaluer le cœfficient de dilatation isobared'un fluide de van der Waals : calculer «»[102] et
Méthode pour évaluer le cœfficient de dilatation isobared'un fluide de van der Waals : calculer «[102] Méthode pour évaluer le cœfficient de dilatation isobared'un fluide de van der Waals : calculer «»,
Méthode pour évaluer le cœfficient de dilatation isobared'un fluide de van der Waals : en déduire «»[102] puis
Méthode pour évaluer le cœfficient de dilatation isobared'un fluide de van der Waals : en déduire «»[138],[139].
Méthode pour évaluer le cœfficient de dilatation isobared'un fluide de van der Waals : Remarque : le cœfficient de dilatation isobare de tout fluide étant directement défini en fonction de la température à pression constante, il serait souhaitable d'éliminer au profit de et dans le 2nd membre de l'évaluation de «»[138] en utilisant l'équation d'état sous forme intégrale du fluide de van der Waals[75] «»[136] mais nous savons que ce n'est pas possible algébriquement voir « préliminaire de ce paragraphe » aussi
Méthode pour évaluer le cœfficient de dilatation isobared'un fluide de van der Waals : Remarque : sachant que les termes contenant et dans l'équation d'état sous forme intégrale du fluide de van der Waals[75] sont des termes correctifs par rapport au G.P[40]. associé[140] et souhaitant comparer le cœfficient de dilatation isobare du van der Waals «»[138] à celui de son G.P[40]. associé[140]«» il convient d'éliminer le terme prépondérant du dénominateur du 2nd membre de l'expression de «»[138] c'est-à-dire «» au profit de «et bien sûr des termes correctifs» soit
Méthode pour évaluer le cœfficient de dilatation isobared'un fluide de van der Waals : Remarque : «» d'où le dénominateur du 2nd membre de l'expression de «»[138] se réécrit ou encore soit «»[138],[139] et finalement
Méthode pour évaluer le cœfficient de dilatation isobared'un fluide de van der Waals : Commentaire : Dans le cas où les termes correctifs d'un van der Waals[75] relativement à son G.P[40]. associé[140] peuvent être négligés exemple de la vapeur d'eau à considérée à une pression [141] nous vérifions «»[138],
Méthode pour évaluer le cœfficient de dilatation isobared'un fluide de van der Waals : Commentaire : dans le cas où les termes correctifs d'un van der Waals[75] relativement à son G.P[40]. associé[140] contribuent à des modifications infiniment petites d'ordre un exemple de la vapeur d'eau à considérée à une pression [142],[143] nous effectuons un D.L[144]. à l'ordre un en les « infiment petits de même ordre un à ou » de «»[138],[145] «»[138],[146] ou, en réécrivant l'infiniment petit d'ordre un en fonction de et pour cela il suffit de remplacer par son D.L[144]. à l'ordre zéro[147],[148] soit «» selon «» la réécriture du D.L[144]. à l'ordre un de «»[138],
Méthode pour évaluer le cœfficient de dilatation isobared'un fluide de van der Waals : Commentaire : dans le cas où les termes correctifs d'un van der Waals[75] relativement à son G.P[40]. associé[140] contribuent à des modifications non infiniment petites exemple de la vapeur d'eau à considérée à une pression [149] aucun D.L[144]. sur l'expression de «»[138] ne peut être effectué en vue d'obtenir une simplification d'où «»[138].
Calcul d’un cœfficient thermoélastique de fluide monophasé par utilisation d’un D.L. à l’ordre un du paramètre à dériver dans le cas où l’équation d’état diffère de celle d’un G.P. par des termes correctifs infiniment petits de même ordre un, exemple du calcul du « cœfficient de dilatation isobare » d’un fluide de van der Waals dans des « conditions non excessives de pression »[modifier | modifier le wikicode]
Préliminaire : Nous avons vu au paragraphe « équation d'état sous forme locale d'un fluide de van der Waals »[75] plus haut dans ce chapitre que la forme locale de l'équation d'état d'un tel fluide «» différant de celle du G.P[40]. associé[140] «»[121] par des termes correctifs respectivement à ou à , peut être réécrite en mettant en évidence les deux facteurs correctifs, soit «» avec « correctif par rapport à » et « correctif par rapport à » et pouvant être petits ou non relativement à suivant les conditions de pression et de températuremême si le préliminaire est exposé à partir d'un fluide monophasé particulier « celui de van der Waals »[75], il concerne tous les fluides monophasés dont la forme locale de l'équation d'état diffère de celle du G.P[40]. associé[150] par des termes correctifs caractéristiques du fluide, toutefois, pour simplifier l'exposé qui suit, nous continuerons avec le « fluide de van der Waals »[75] ;
Préliminaire : de même la forme intégrale de l'équation d'état d'une quantité d'un fluide de van der Waals[75] sur une expansion tridimensionnelle de volume «»[136] différant de celle du G.P[40]. associé[140] sur une expansion tridimensionnelle de même volume «» par des termes correctifs respectivement à ou à , peut être réécrite en mettant en évidence les deux facteurs correctifs, soit «» avec « correctif par rapport à » et « correctif par rapport à » et pouvant être petits ou non relativement à suivant les conditions de pression et de températuremême si le préliminaire est exposé à partir d'une quantité de fluide monophasé particulier sur une expansion tridimensionnelle de volume « celle du fluide van der Waals[75] sur une même expansion tridimensionnelle de volume », il concerne tous les fluides monophasés dont la forme intégrale de l'équation d'état diffère de celle du G.P[40]. associé[150] par des termes correctifs caractéristiques du fluide et de la quantité répartie sur l'expansion tridimensionnelle de volume .
Objet du paragraphe : Sachant que la forme locale de l'équation d'état d'un fluide de van der Waals[75] «»[151] diffère de celle de son G.P[40]. associé[140] «»[121] par les facteurs correctifs « correctif par rapport à » et « correctif par rapport à », Objet du paragraphe : nous nous proposons de déterminer, quand les termes variables «» et «» des facteurs correctifs sont des infiniment petits de même ordre un, Objet du paragraphe : nous nous proposons de déterminer, un D.L[144]. à l'ordre un de la forme locale de l'équation d'état du fluide de van der Waals[75] dans le but Objet du paragraphe : nous nous proposons d'en déduire une expression approchée à l'ordre un de la fonction implicite[152] et Objet du paragraphe : nous nous proposons de calculer directement une expression approchée à l'ordre un du cœfficient de dilatation isobare ou du cœfficient de compressibilité isotherme en effectuant une dérivation partielle logarithmique ou non de l'expression approchée à l'ordre un de la fonction implicite[152].
Exposé : La forme locale de l'équation d'état d'un fluide de van der Waals[75] «»[151] se réécrivant en faisant apparaître les facteurs correctifs relativement à celle du G.P[40]. associé[140] selon «» dans lesquelles «» et «» sont des infiniment petits de même ordre un, nous formons le D.L[144]. à l'ordre un du 2nd membre [145] ou, en utilisant le D.L[144]. à l'ordre un de avec [146] «» et en déduisons une 1ère expression approchée à l'ordre un de la forme locale de l'équation d'état du van der Waals[75] «» ;
Exposé : dans le but d'obtenir un D.L[144]. à l'ordre un de la fonction implicite[152], il convient que ce dernier n'apparaisse plus dans les infiniment petits d'ordre un de l'expression approchée à l'ordre un de la forme locale de l'équation d'état du van der Waals[75]pour cela il suffit de remplacer par son D.L[144]. à l'ordre zéro[147],[153] soit «» d'où «» et «» le D.L[144]. à l'ordre un de la forme locale de l'équation d'état du van der Waals[75] «» ;
Exposé : du D.L[144]. à l'ordre un de la forme locale de l'équation d'état du van der Waals[75] «» nous en déduisons aisément une expression approchée à l'ordre un de la fonction implicite[152] soit «» ;
Exposé : nous pouvons alors calculer directement une expression approchée à l'ordre un du cœfficient de dilatation isobare d'un van der Waals[75][138] en effectuant une dérivation partielle de préférence logarithmique de l'expression approchée à l'ordre un de la fonction implicite de ce fluide «»[138] c'est-à-dire une dérivation partielle de «»[138],[109] ou, après avoir fait un D.L[144]. à l'ordre un du 2ème terme du 2ème membre[154], en effectuant une dérivation partielle par rapport à la température à pression gelée de «»[138],[109] d'où l'évaluation de «»[138],[109] donne «» soit finalement le D.L[144]. à l'ordre un en et de [138]
Comparaison du cœfficient de dilatation isobare du van der Waals à celui du G.P. associé dans le cas où le van der Waals est dans des « conditions non excessives de pression »[modifier | modifier le wikicode]
si « c'est-à-dire pour » le van der Waals[75] est, à l'ordre un, aussi dilatable que son G.P[40]. associé[140] c'est-à-dire « à l'ordre un » quelle que soit la pression non excessive,
si « c'est-à-dire pour » le van der Waals[75] est, à l'ordre un, plus dilatable que son G.P[40]. associé[140] c'est-à-dire « à l'ordre un » ceci de façon d'autant plus accentuée que la pression non excessive est élevée,
si « c'est-à-dire pour » le van der Waals[75] est, à l'ordre un, moins dilatable que son G.P[40]. associé[140] c'est-à-dire « à l'ordre un » ceci de façon d'autant plus accentuée que la pression non excessive est élevée.
Exemple : les valeurs des paramètres caractéristiques du modèle de fluide de van der Waals[75] appliqué à la vapeur d'eau sont estimées à «»[78] et «» d'où la température de la vapeur d'eau de même dilatation que son G.P[40]. associé[140] «» ou «» les conditions de pression non excessive ont été établies dans les notes « 98 » et « 93 » plus haut dans ce chapitre, pour que le terme correctif associé à soit un infiniment petit d'ordre un c'est-à-dire ne soit ni négligeable ni excessif à la température , «»[142] ou, pour la température «»[142] soit numériquement «»[156],[142], de même pour que le terme correctif associé à soit un infiniment petit d'ordre un c'est-à-dire ne soit ni négligeable ni excessif à la température , «»[142] ou, pour la température «»[142] soit numériquement «»[157],[142] d'où finalement, pour que les deux conditions soient réalisées à la température , «»[142] ;
Exemple : compte-tenu de la valeur élevée de la température de la vapeur d'eau de même dilatation que son G.P[40]. associé[140] «» ou «» dans les conditions de pression non excessive, la température utilisée dans les expériences de dilatation de la vapeur d'eau est à sauf très rares exceptions la vapeur d'eau est, à l'ordre un, plus dilatable que son G.P[40]. associé[140] «[138] à l'ordre un » les conditions de pression non excessive ayant été établies dans les notes « 98 » et « 93 » plus haut dans ce chapitre, nous les rappelons simplement : pour que le terme correctif associé à soit un infiniment petit d'ordre un c'est-à-dire ne soit ni négligeable ni excessif à la température ou , «»[142] ou numériquement «»[142], de même pour que le terme correctif associé à soit un infiniment petit d'ordre un c'est-à-dire ne soit ni négligeable ni excessif à la température ou , «»[142] ou numériquement «»[142] d'où finalement, pour que les deux conditions soient réalisées à la température , «»[142], l'« écart entre le cœfficient de dilatation isobare de la vapeur d'eau et celui de son G.P[40]. associé[140] rapporté à ce dernier » vaut «»[138] soit, Exemple : à « et «» et Exemple : à « et «».
Définition de la température de Mariotte « TM » d’un fluide de van der Waals considéré dans des « conditions non excessives de pression » et lien avec sa température de même dilatation que le G.P. associé « Tα »[modifier | modifier le wikicode]
Définition du diagramme d'Amagat[159] : Diagramme thermodynamique représentant la variation du « produit de la pression par le volume » des isothermes d'une quantité fixée de fluide particulier en fonction de la « pression imposée » à ce dernier ;
Définition du diagramme d'Amagat : le diagramme d'Amagat[159] d'une quantité fixée de G.P[40]. est une famille de « droites à l'axe des pressions et d'ordonnée à l'origine » où est la température de l'isotherme et
Définition du diagramme d'Amagat : le diagramme d'Amagat celui d'une quantité fixée de van der Waals[40] sous conditions de pression non excessive[160] une famille de « droites d'ordonnée à l'origine et de pente » avec température de l'isotherme.
Définition de la température de Boyle-Mariotte : la température de Boyle-Mariotte[161],[162] d'un fluide monophasé est « la température que doit avoir l’isotherme de ce dernier pour que celle-ci soit, dans le diagramme d'Amagat[159] d'une quantité fixée de ce fluide et sous des conditions de pression non excessive[163] une droite à l'axe des pressions » :
Définition de la température de Boyle-Mariotte : exemple, la température de Boyle-Mariotte[161],[162] d'un van der Waals[75] étant « la température que doit avoir l’isotherme de ce dernier pour que celle-ci soit, dans le diagramme d'Amagat[159] d'une quantité fixée de van der Walls[75] et sous des conditions de pression non excessive[160] une droite à l'axe des pressions » est définie par « sa pente »[138] d'où l'expression de la température de Boyle-Mariotte[161],[162] d'un van der Walls[75] sous conditions de pression non excessive[160]
Lien entre la température de Boyle-Mariotte[161],[162] d'un van der Waals[75] et celle de même dilatation de son G.P[40]. associé[140] : ayant établi l'expression de la température de Boyle-Mariotte[161],[162] d'un van der Waals[75] sous conditions de pression non excessive[160] «»[138] ainsi que celle de même dilatation de son G.P[40]. associé[140] «»[138],[165] sous des conditions de pression non excessive[160]moins strictes[166] d'où en généralisant, à tout van der Waals[75], le caractère moins strict des conditions de pression non excessive pour que pour
«»[138]sous les conditions de pression non excessive d'applicabilité de «».
Détermination de l’équation d’état connaissant la variation sous forme algébrique de deux des trois cœfficients thermoélastiques[modifier | modifier le wikicode]
Préliminaire : Connaissant la variation sous forme algébrique de deux des trois cœfficients thermoélastiques d'un fluide monophasé, nous nous proposons d'exposer la méthode permettant d'en déduire l'équation d'état sous forme locale ou sous forme intégrale d'une quantité de ce fluide répartie sur une expansion tridimensionnelle de volume et, Préliminaire : pour rendre cet exposé plus concret, de le faire sur l'exemple suivant : «» «»[167],[168] le fluide monophasé est un G.P[40]..
Méthode pour déterminer l'équation d'état du fluide monophasédonc divariant[52] : intégrer partiellement un 1er cœfficient thermoélastique comme «»[109],[169] «» avec « primitive relativement à de l'expression de du fluide étudié » et « une fonction arbitraire de »[170],
Méthode pour déterminer l'équation d'état du fluide monophasé donc divariant : intégrer le 2ème cœfficient thermoélastique ici «»[109],[171] en utilisant le résultat précédent «» l'obtention d'une « forme locale de l'équation d'état du fluide à une constante arbitraire près »,
Méthode pour déterminer l'équation d'état du fluide monophasé donc divariant : ou déterminer la variation algébrique du 3ème cœfficient thermoélastique du fluide c'est-à-dire de en utilisant la « relation [172]» puis intégrer ce 3ème cœfficient thermoélastique donc «»[109],[173] en utilisant le 1er résultat trouvé «» l'obtention d'une « forme locale de l'équation d'état du fluide à une constante arbitraire près »,
Méthode pour déterminer l'équation d'état du fluide monophasé donc divariant : déterminer la dernière constante d'intégration en écrivant que le fluide monophasé cherché tend vers son G.P[40]. associé[150] aux pressions évanouissantes[174].
Méthode pour déterminer l'équation d'état du fluide monophasé donc divariant : Remarque : la démarche pour déterminer la forme intégrale de l'équation d'état d'une quantité fixée du fluide monophasé cherché est identique, il suffit de remplacer par le volume de l'expansion tridimensionnelle dans laquelle le fluide est réparti
Application : partant de la variation sous forme algébrique de deux des trois cœfficients thermoélastiques d'un fluide monophasé «», nous effectuons :
Application : une 1ère intégration partielle de «»[109],[169] «» avec « primitive relativement à de » et « une fonction arbitraire de »[170] puis
Application : en utilisant «» soit, en admettant que la fonction cherchée est inversable «» dans laquelle arbitraire pour l'instant le « caractère arbitraire pour l'instant de la fonction composée notée pour simplifier » nous pouvons écrire la pression du fluide selon « avec fonction arbitraire d'une variable » « avec fonction arbitraire d'une variable » ; Application : en reportant cette dernière forme dans «»[109],[171] avec [175] ou soit finalement l'équation «» ou, en posant «», l'équation «» qui s'intègre en «» soit, en revenant aux variables initiales «» l'équation d'état du fluide sous forme locale «» se réécrit
«» «» ou «» ;
Application : alternative à l'utilisation de β : déterminer la variation algébrique du cœfficient de compressibilité isotherme du fluide en utilisant la « relation [172] «» puis utiliser «»[109],[173] avec «» soit l'équation «» qui s'intègre en «» l'équation d'état du fluide sous forme locale «» se réécrit
Application : aux pressions évanouissantes[174] « et » l'équation d'état sous forme locale du fluide monophasé étant équivalente à «» alors que celle de son G.P[40]. associé[150] s'écrit «», nous en déduisons «» d'où
la réécriture de la forme locale de l'équation d'état du fluide «» établissant que le « fluide monophasé étudié est un G.P. »[40].
Équation d’état sous forme intégrale (ou locale) d’une « phase condensée » indilatable et incompressible[modifier | modifier le wikicode]
Une « phase condensée » est une phase « solide » ou « liquide ».
Rappel : Les phases condensées sont toujours très peu compressiblesexemple de l’eau liquide : on observe une de masse volumique de relativement à celle connue sous si la pression est portée à sous température constante[177], mais Rappel : Les phases condensées sont telles que leur dilatabilitébien que restant faible est plus nettement observabledépendant de la nature de la phase condenséesur le même exemple de l’eau liquide : on observe une de masse volumique de relativement à celle connue à si la température est portée à sous pression constante[178].
D'après le paragraphe « rappel des propriétés d'une phase condensée » plus haut dans ce chapitre, une « phase condensée étant très peu compressible ainsi que peu dilatable », nous définissons le « modèle idéal de phase condensée » comme une « phase condensée incompressible et indilatable » c'est-à-dire nous définissons le « modèle idéal de phase condensée » telle que « son cœfficient de compressibilité isotherme et son cœfficient de dilatation isobare sont nuls »[179] soit
Une phase condensée étant divariante[52], si on choisit comme paramètres intensifs indépendants d'une phase condensée idéale, « la pression » et « la température », l'équation d'état sous forme intégrale d'une quantité fixée de phase condensée idéale répartie sur une expansion tridimensionnelle de volume s'obtient par intégration successive
de «»[180],[109],[169] avec «»[180]»[180] d'où l'équation s'intégrant en l'équation d'état sous forme intégrale de la quantité de phase condensée idéale selon «»[180] ou «»[180] ;
appelant «» le volume de l'expansion tridimensionnelle sur laquelle est repartie la quantité «» de phase condensée idéale à la température et sous la pression , l’équation d’état sous forme intégrale de cette quantité «» de phase condensée idéale s'écrit
«»[180]le volume d'une quantité fixée de phase condensée idéale est constant ;
divisant les deux membres de l'équation d'état sous forme intégrale par la quantité «» de phase condensée idéale, nous obtenons l’équation d’état sous forme locale de la phase condensée idéale soit, avec «»[180] le volume molaire de la phase condensée idéale dans un état quelconque et «» le volume molaire de la phase condensée idéale à la température et sous la pression , la forme locale de l'équation d'état de la phase condensée idéale
«»[180]le volume molaire d'une phase condensée idéale est constant.
Remarque : au lieu d’utiliser les grandeurs molaires on peut se servir des grandeurs massiques, l’équation d’état sous forme locale d'une phase condensée idéale devenant Remarque : «»[106],[180] avec «»[106],[180] le volume massique de la masse de phase condensée idéale dans un état quelconque et «»[106] le volume massique de la même masse de phase condensée idéale à la température et sous la pression ou, en prenant l’inverse de chaque membre, Remarque : «»[180] avec «»[106],[180] la masse volumique de la phase condensée idéale dans un état quelconque et «»[106] la masse volumique de la phase condensée idéale à la température et sous la pression la masse volumique d'une phase condensée idéale est constante.
Ordre de grandeur, dans les conditions normales de température et de pression, des volumes molaires et massiques[modifier | modifier le wikicode]
Ordre de grandeur des volumes molaires et massiques d’un système thermodynamique monophasé gazeux dans les conditions normales de température et de pression[modifier | modifier le wikicode]
« À la température et sous la pression [181]C.N.T.P[182].», un système monophasé gazeux se comporte, en 1ère approximation, comme un G.P[40]., son volume molaire y vaut donc « en » soit «»[92]indépendant de la nature du gaz dans l'approximation de G.P[40]. ;
« À la température et sous la pression » C.N.T.P.», son volume massique, quant à lui, dépend de la nature du gaz selon «[106] dans lequel est la masse molaire moléculaire du gaz », par exemple, pour le dihydrogène avec , dans les C.N.T.P[182]. «»[106] donne « en » soit «»[106] ou, pour le dioxygène avec , dans les mêmes C.N.T.P[182]., «»[106] donne « en » soit «»[106]soit un volume massique du dioxygène dans les C.N.T.P[182]. seize fois plus faible que celui du dihydrogène dans les mêmes C.N.T.P[182]..
Ordre de grandeur des volumes molaires et massiques d’un système thermodynamique monophasé liquide dans les conditions normales de température et de pression[modifier | modifier le wikicode]
« À la température et sous la pression [181]C.N.T.P[182].», un système monophasé liquide se comporte, en 1ère approximation, comme l'eau liquide en ce qui concerne son volume massique d'où «[106] ou « en »[183] soit «»[106],[92]indépendant de la nature du liquide en 1ère l'approximation ;
« À la température et sous la pression » C.N.T.P.», son volume molaire, quant à lui, dépend de la nature du liquide selon «[106] dans lequel est la masse molaire moléculaire du liquide », par exemple, pour l'eau avec , dans les C.N.T.P[182]. «»[106] donne « en » soit «» ou, pour le glycérolavec , dans les mêmes C.N.T.P[182]., «»[106] donne « en » soit «»[184]soit un volume molaire du glycérol dans les C.N.T.P[182]. approximativement cinq fois plus grand que celui de l'eau liquide dans les mêmes C.N.T.P[182]..
Ordre de grandeur des volumes molaires et massiques d’un système thermodynamique monophasé solide dans les conditions normales de température et de pression[modifier | modifier le wikicode]
« À la température et sous la pression [181]C.N.T.P[182].», un système monophasé solide se comporte, en 1ère approximation, comme l'eau liquide en ce qui concerne son volume massique d'où «[106] ou « en »[183] soit «»[106],[92]indépendant de la nature du solide en 1ère l'approximation ;
« À la température et sous la pression » C.N.T.P.», son volume molaire, quant à lui, dépend de la nature du solide selon «[106] dans lequel est la masse molaire particulaire du solide », ce calcul donne alors les mêmes ordres de grandeur de volume molaire pour les phases solides d'un corps que ceux trouvés pour les phases liquides du même corps.
↑ C.-à-d. de dimension macroscopique ne dépassant pas quelques ainsi est exclu le cas d’un solide de dimension planétaire ou plus, la pression au centre d’une planète étant beaucoup plus grande que celle des couches sphériques les plus périphériques de cette dernière, par exemple, sur Terre bien que le noyau de celle-ci ne soit pas uniquement solide mais composé d’un noyau interne solide et externe liquide, entouré d’un manteau essentiellement solide la pression dans le noyau solide étant estimée à soit de l’ordre de à fois plus que dans la croûte terrestre.
↑ Il y a équilibre mécanique interne dans tout échantillon de dimension mésoscopique, ce qui permet d’y définir une pression localement uniforme, mais l’équilibre mécanique entre les différents échantillons n’étant pas nécessairement réalisé, la pression dépend du point à l’intérieur du gaz qui est alors une juxtaposition de phases élémentaires.
↑ Mais hors équilibre mécanique, la pression extérieure peut être nulle exemple de la détente d'un gaz dans le vide ou Mais hors équilibre mécanique, la pression extérieure peut être négative exemple de la détente d'un gaz contenu dans un cylindre provoquée par déplacement du piston de façon à augmenter le volume de gaz, la force pressante c'est-à-dire la force exercée par l'opérateur étant de sens contraire .
↑ 11,011,111,211,311,411,5 et 11,6 C.-à-d. dont le volume de la phase est indépendant de la pression interne de cette dernière
↑ En fait si on fait ou la pression extérieure , le volume du solide incompressible restant constant en absence de variation de température, il n’y a, en apparence, aucune modification d’équilibre mécanique, seulement en apparence car la ou la de la pression extérieure induit une même ou une même de la pression interne du solide en effet nous verrons au paragraphe « condition d'équilibre mécanique d'un système thermodynamique gazeux remplissant un cylindre fermé par un piston mobile » plus loin dans ce chapitre qu'un équilibre mécanique par contact direct de l'extérieur sur un système gazeux est réalisé quand la pression interne du système gazeux est égale à la pression extérieure, ceci étant généralisable aux systèmes solides avec toutefois une différence par rapport aux systèmes gazeux, c'est l'absence d'effet observable sur le solide, mais la pression interne n'ayant aucun effet sur l'état d'équilibre mécanique du solide incompressible, il en est de même de la pression extérieure qui lui est égale.
↑ 13,0 et 13,1 Le qualificatif « incompressible » est mis entre parenthèses car c’est pratiquement toujours ce modèle qui est considéré pour un solide ou pour un liquide même sans que cela ne soit précisé.
↑ 14,0 et 14,1 Propriété commune de toutes les « phases condensées incompressibles », c'est-à-dire les solides ou liquides incompressibles.
↑ En fait si on fait ou la pression extérieure , exercée par le piston , le volume du liquide incompressible restant constant en absence de variation de température, le piston ne se déplace pas et il n’y a, en apparence, aucune modification d’équilibre mécanique, seulement en apparence car la ou la de la pression extérieure exercée par le piston induit une même ou une même de la pression interne du liquide en effet nous verrons au paragraphe « condition d'équilibre mécanique d'un système thermodynamique gazeux remplissant un cylindre fermé par un piston mobile » plus loin dans ce chapitre qu'un équilibre mécanique par contact direct de l'extérieur sur un système gazeux est réalisé quand la pression interne du système gazeux est égale à la pression extérieure, ceci étant généralisable aux systèmes liquides avec toutefois une différence par rapport aux systèmes gazeux, c'est l'absence d'effet observable sur le liquide, mais la pression interne n'ayant aucun effet sur l'état d'équilibre mécanique du liquide incompressible, il en est de même de la pression extérieure exercée par le piston qui lui est égale ; la pression extérieure exercée par le reste du cylindre non considérée, les parois étant rigides et fixes dans le référentiel d’étude est aussi égale à la pression interne du liquide cette dernière étant la cause de la pression extérieure exercée par les parois du cylindre dans la mesure où celles-ci restent rigides et par suite aussi égale à la pression extérieure exercée par le piston , nous pouvons donc affirmer que c’est la pression extérieure exercée par le piston qui crée la pression extérieure exercée par les parois du cylindre.
↑ Cette propriété est encore applicable à un système liquide remplissant entièrement un récipient fermé indéformable et fixe dans le référentiel d’étude.
↑ Revoir la note « 15 » plus haut dans ce chapitre.
↑ 18,0 et 18,1 Les autres forces éventuelles le poids du piston et la réaction du cylindre sur le piston étant verticales ne jouent aucun rôle dans le déplacement horizontal du piston.
↑ 19,0 et 19,1 Si le piston a « une masse » ou s'il a « une masse mais que son accélération reste de norme faible », le produit « est soit soit » et « la résultante dynamique s'exerçant sur le piston peut être considérée comme nulle ».
↑ 20,020,120,220,320,4 et 20,5 Par « composantes de pression extérieure » il faut entendre « différents termes de la somme représentant cette pression extérieure » et non au sens de « composantes vectorielles », la pression étant une grandeur scalaire.
↑ La continuité de la pression d'un gaz résulte de sa définition voir le paragraphe « pression p en un point M d'un G.R. (gaz réel) » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » ; Remarque : si la pression extérieure peut être discontinue c'est parce qu'elle est définie différemment de part et d'autre de l'instant de discontinuité, la pression atmosphérique quant à elle étant toujours continue, c'est l'ajout d'une force supplémentaire qui crée la discontinuité de la pression extérieure.
↑ Par contre « caractérise un état d'équilibre mécanique avant ajout de la force supplémentaire ».
↑ Usuellement, pendant une évolution monobare, la pression interne du système variant le plus souvent cette dernière n'est d'ailleurs pas uniforme dans tout le système et peut même être mal ou non définie pendant la durée d'une évolution monobare brutale aux autres instants que ceux de début et fin d'évolution, une évolution monobare est donc usuellement non isobareune évolution isobare se faisant à pression interne du système constante.
↑ 25,025,125,2 et 25,3 Le poids du piston étant simplement noté sur les schémas dans le but de simplifier l'écriture.
↑ 29,0 et 29,1 Si le piston a « une masse » et que son accélération reste de norme faible », le produit « est » et « la résultante dynamique s'exerçant sur le piston peut être considérée comme nulle ».
↑ En effet devant être il est nécessaire pour qu'un équilibre du piston soit réalisable que n'ait pas une masse trop grande ; dans la mesure où « serait à », au moment où la pression interne moyenne de atteindrait une valeur moyenne nulle, la résultante des forces appliquées à s'écrirait c'est-à-dire nulle ou verticale descendante, impliquant la poursuite de l'éloignement de du fond du cylindre sans possibilité de freiner cette chute, l'air s'échappant alors du cylindre par exemple, pour une pression atmosphérique de , un piston d'aire et une intensité de la pesanteur terrestre , la masse du piston doit être telle que «», ce qui est une limite qui ne risque pas d'être atteinte avec les matériaux usuels par exemple du laiton de masse volumique , pour que le piston n'atteigne pas d'équilibre il faudrait un volume c'est-à-dire une épaisseur de piston ce qui ne serait en aucun cas réaliste.
↑ Pour la définition d'un équilibre thermique et celle d'un équilibre physique, voir la note « 86 » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».
↑ Bien sûr cela suppose qu'il est possible de définir un tel échantillon mésoscopique de l'extérieur de côtoyant en c'est-à-dire qu'il y a suffisamment de molécules de cet extérieur pour pouvoir appliquer la loi des grands nombres ; dans le cas contraire la notion même de température extérieure en n'a aucun sens.
↑ 33,0 et 33,1 L'instant d'observation de tous les vecteurs vitesse de C.D.I. de chaque molécule de l'échantillon mésoscopique peut être quelconque en étant néanmoins le même pour toutes les molécules car, l'extérieur de étant en équilibre thermodynamique, la répartition statistique des vecteurs vitesse de translation des molécules d'un échantillon mésoscopique est stationnaire voir le paragraphe « propriété supplémentaire de la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules d'un gaz parfait en équilibre thermodynamique » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », propriété étendue à n'importe quel fluide ou solide dans les conditions usuelles d'observation.
↑ 37,037,137,2 et 37,3Ludwig Eduard Boltzmann (1844 - 1906) physicien et philosophe autrichien, il est l'un des fondateurs de la mécanique statistique qui explique les lois de la thermodynamique à l'aide des propriétés statistiques des grands ensembles des particules ; en mathématiques il est aussi, avec Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, l'un des fondateurs de l'analyse vectorielle.
↑ Dans le cas où il y a plusieurs types de molécules extérieures ayant chacun une masse individuelle de molécule différente « l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation de chaque type de molécule extérieure » est indépendante du type considéré car tous les types de molécules extérieures sont en équilibre thermique entre eux mais par contre ils n'ont pas la même vitesse quadratique moyenne, celle-ci étant d'autant plus grande que la masse individuelle est petite
↑ 43,043,143,243,343,4 et 43,5 C.-à-d. parfaitement « isolante de la chaleur » la chaleur est définie au paragraphe « échange d'énergie entre un système thermodynamique fermé et son extérieur » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », elle correspond à un échange d’énergie cinétique microscopique moyenne d’agitation thermique entre des particules voisines les particules de plus grande énergie cinétique microscopique moyenne d’agitation thermique cédant une partie de leur réserve aux particules de plus faible énergie cinétique microscopique moyenne d’agitation thermique jusqu’à une uniformisation locale, l'isolation ne permet donc pas cette redistribution.
↑ La température extérieure au système au niveau d’une paroi calorifugée ne peut donc pas être définie par l’intermédiaire de cette dernière
↑ « Au-delà » signifiant du côté de la paroi calorifugée non au contact du système ; par exemple si la paroi calorifugée sépare le système de l’atmosphère, «» est alors égale à la température locale de l'atmosphère.
↑ Si le système thermodynamique est en contact avec deux parois diathermanes à des températures extérieures et différentes, il ne pourra pas être en équilibre thermique dans la mesure où les températures extérieures ne varient pas avec le tempsen effet les échanges de chaleur de avec la paroi diathermane de proximité perdurent tant que les énergies cinétiques microscopiques moyennes des molécules de et de la paroi diathermane de proximité n'ont pas la même valeur c'est-à-dire tant que la température locale de n'est pas égale à la température extérieure au niveau de la paroi diathermane considérée et comme l'équilibre thermique interne de nécessite que l'énergie cinétique microscopique moyenne de toutes les molécules de soit la même c'est-à-dire que la température interne «» de soit uniforme, nous aboutissons à une impossibilité « ne pouvant être simultanément égale à et » mais Si le système thermodynamique est en contact avec deux parois diathermanes à des températures extérieures et différentes, il ne pourra atteindre un « état dynamique stationnaire si les températures extérieures ne dépendent pas du temps» avec une répartition de la température interne dépendant de l’échantillon mésoscopique considéré dans et indépendante du temps.
↑ Un isolant thermique ne permet pas la propagation de la chaleur en son sein.
↑ Usuellement, pendant une évolution monotherme, la température interne du système variant le plus souvent cette dernière n'est d'ailleurs pas uniforme dans tout le système et peut même être mal ou non définie pendant la durée d'une évolution monotherme brutale aux autres instants que ceux de début et fin d'évolution, une évolution monotherme est donc usuellement non isothermeune évolution isotherme se faisant à température interne du système constante.
↑ Pour la définition d'un équilibre mécanique et celle d'un équilibre physique, voir la note « 86 » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».
↑ Le volume étant rigoureusement extensif pour un corps pur ce qui est nécessairement le cas d'un système monophasé, voir la note « 81 » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».
↑ Entre parenthèses car très souvent sous-entendu.
↑ Voir le paragraphe « fonction implicite entre trois variables réelles ou plus (remarques 2) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », l'équation d'état étant en fait l'équation implicite dont les quatre fonctions implicites théoriquement explicitables sont solutions, celle qui nous intéresse étant «» dans laquelle est une fonction réelle de classe C1c'est-à-dire continue et différentiable jusqu'à l'ordre inclus définie sur un ouvert de , étant une fonction réelle de classe C1c'est-à-dire continue et différentiable jusqu'à l'ordre inclus définie sur un intervalle ouvert de ; même, si pour une « pression » et une « température » imposées, une « quantité fixée » de ce système monophasé en équilibre ne peut occuper physiquement qu’un « volume » unique, la fonction implicite peut ne pas être explicitable algébriquement, ce qui est le cas si la dérivée partielle 1ère de par rapport à à , et gelées s'annule sur l'ouvert , une conséquence mathématique étant alors plusieurs valeurs possibles de pour un triplet imposé dont seule la solution physique est à retenir voir le paragraphe « théorème des fonctions implicites en dimension quatre ou plus » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »nous verrons ultérieurement un modèle de fluide où l’explicitation algébrique en de l'équation d’état sous formes intégrale et implicite n’est pas possible, voir le paragraphe « équation d'état sous forme intégrale d'une quantité n fixée d'un fluide de van der Waals » plus loin dans ce chapitre ce n’est pas le seul exemple de modèle où l’explicitation algébrique en n’est pas possible mais c’est le plus connu ; même si la dérivée partielle 1ère de par rapport à à , et gelées ne s'annule pas sur l'ouvert , ce qui permet théoriquement l'explicitation algébrique de la fonction implicite, celle-ci peut ne pas être possible faute de fonctions algébriques adéquates, alors il reste à procéder à une évaluation numérique
↑ 59,0 et 59,1 Forme locale car elle ne fait intervenir que des grandeurs intensives du système.
↑ C.-à-d. la grandeur intensive associée au volume d’une quantité du système monophasé en équilibre selon «».
↑ Voir le paragraphe « fonction implicite entre trois variables réelles ou plus » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », l'équation d'état étant en fait l'équation implicite dont les trois fonctions implicites théoriquement explicitables sont solutions, celle qui nous intéresse étant «» dans laquelle est une fonction réelle de classe C1c'est-à-dire continue et différentiable jusqu'à l'ordre inclus définie sur un ouvert de , étant une fonction réelle de classe C1c'est-à-dire continue et différentiable jusqu'à l'ordre inclus définie sur un intervalle ouvert de ; même, si pour une « pression » et une « température » imposées, le système monophasé en équilibre ne peut avoir physiquement qu’un « volume molaire » unique, la fonction implicite peut ne pas être explicitable algébriquement, ce qui est le cas si la dérivée partielle 1ère de par rapport à à et gelées s'annule sur l'ouvert , une conséquence mathématique étant alors plusieurs valeurs possibles de pour un doublet imposé dont seule la solution physique est à retenir voir le paragraphe « théorème des fonctions implicites en dimension trois » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »nous verrons ultérieurement un modèle de fluide où l’explicitation algébrique en de l'équation d’état sous formes locale et implicite n’est pas possible, voir le paragraphe « équation d'état sous forme locale d'un fluide de van der Waals » plus loin dans ce chapitre ce n’est pas le seul exemple de modèle où l’explicitation algébrique en n’est pas possible mais c’est le plus connu ; même si la dérivée partielle 1ère de par rapport à à et gelées ne s'annule pas sur l'ouvert , ce qui permet théoriquement l'explicitation algébrique de la fonction implicite, celle-ci peut ne pas être possible faute de fonctions algébriques adéquates, alors il reste à procéder à une évaluation numérique
↑ Qui peut aisément être écrite sous forme implicite selon «».
↑ Encore appelée « concentration volumique molaire à exprimer dans la même unité » personnellement j'éviterai cette expression car, quand cette dernière est utilisée en chimie, elle est exprimée « en », ce qui ne doit jamais être fait en physique.
↑ 68,068,1 et 68,2Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) est un physicien et chimiste du Piémontrégion actuelle de l'Italie à qui on doit essentiellement la loi d'Avogadro Ampère qu'il énonça en et proposée indépendamment par Ampère en , celle-ci spécifiant que « des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules ». André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.
↑ 69,069,169,269,3 et 69,4 À connaître même si sa valeur est usuellement rappelée en exercices.
↑ 76,076,1 et 76,2James Prescott Joule (1818 - 1889) physicien anglais à qui on doit une étude sur la nature de la chaleur et son lien avec le travail mécanique ainsi qu'une relation entre l'intensité du courant électrique traversant un conducteur ohmique et la chaleur dissipée dans ce dernier ; il a étudié la magnétostrictionpropriété que possèdent les matériaux ferromagnétiques de se déformer en fonction de l'orientation de leur aimantation, par exemple sous l'influence d'un champ magnétique et a également travaillé avec le physicien britannique d'origine irlandaise William Thomson (1824 - 1907)encore connu sous le nom de Lord Kelvin pour développer l'échelle absolue de température.
↑ 78,078,178,2 et 78,3 En fait, l'unité équivalente la plus utilisée pour étant le «» car «».
↑ La notion de pression moléculaire ainsi que la tentative de son évaluation dans le modèle de van der Waals ont été introduites dans le paragraphe « distinction entre les pressions “ effective ” et cinétique exercées par le gaz sur un élément de paroi, notion de pression moléculaire du gaz s'exerçant sur l'élément de paroi ainsi que son sous-paragraphe “ tentative d'évaluation de la pression moléculaire, modèle dit de van der Waals ” » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », l'extension de la définition de la pression moléculaire en tout point du gaz étant faite à l'identique de celle de la pression cinétique voir le paragraphe « pression p en un point M d'un G.R. (gaz réel) » du même chap. de la même leçon « Thermodynamique (PCSI) » ; la pression moléculaire du gaz de van der Waals a été évaluée dans le paragraphe « précité ci-dessus » selon « où est la densité volumique moléculaire s'exprimant en et est une grandeur caractérisant les interactions intermoléculaires du G.R. s'exprimant en » la pression moléculaire due aux interactions intermoléculaires est à la densité bivolumique de couples de molécules c'est-à-dire à ou en englobant le facteur dans le 2ème facteur , le caractère attractif des interactions impliquant et par suite ; on passe aisément à «» car la densité volumique molaire est liée à la densité volumique moléculaire par « dans laquelle est la constante d’Avogadro » d'où « en posant », cette dernière grandeur intensive, caractéristique des interactions intermoléculaires grandeur pour une interaction attractive n’est pas baptisée car son nom serait trop complexe, on qualifiera simplement «» de « valeur absolue de pression moléculaire ». Johannes Diderik van der Waals (1837 - 1923) est un physicien néerlandais : voir note « 75 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails. Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) est un physicien et chimiste du Piémontrégion actuelle de l'Italie : voir note « 68 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ Si on considère un corps pur dans un état diphasé « liquide – vapeur », chaque phase peut être décrit simultanément par ce même modèle de van der Waals avec bien sûr des volumes molaires pour « une même pression et une même température » différents.
↑ 82,0 et 82,1 À partir de l'équation «» entre trois variables dans laquelle est une fonction réelle de classe C1c'est-à-dire continue et différentiable jusqu'à l'ordre inclus définie sur un intervalle ouvert de , on peut d'après le paragraphe « énoncé (du théorème des fonctions implicites en dimension trois) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » explicité « en fonction de » selon «» car la dérivée partielle 1ère de par rapport à à et gelées ne s'annule pas sur l'ouvert physiquement possible c'est-à-dire «» car ainsi que « en fonction de » selon «» car la dérivée partielle 1ère de par rapport à à et gelées ne s'annule pas sur l'ouvert physiquement possible c'est-à-dire «» car physiquement toujours .
↑ En effet l'équation implicite développée «» se réécrit aisément selon «» c'est-à-dire une équation algébrique du 3ème degré en dont les solutions en ne sont pas algébriquement explicitables.
↑ Il s'agit alors de résoudre numériquement l'équation algébrique du 3ème degré en «» équivalente à l'équation implicite.
↑ S'écrivant encore sous forme implicite «», mais cette forme mettant en évidence l'équation implicite «» voir le paragraphe « définition, sous forme intégrale, de l'équation d'état d'un système thermodynamique monophasé pour une quantité fixée » plus haut dans ce chapitre n'a guère d'intérêt dans la mesure où deux des quatre fonctions implicites solutions de l'équation implicite s'explicitent très aisément «» et «» l'existence des deux autres fonctions implicites éventuelles et étant d'une part conditionnelle le théorème des fonctions implicites en dimension trois voir le paragraphe « énoncé (du théorème des fonctions implicites en dimension trois) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » se généralisant aisément à la dimension quatre et d'autre part, dans le cas où les conditions d'existence s'avèreraient vérifiées sur un ouvert de , n'étant pas algébriquement explicitables en effet la 1ère nécessitant la résolution de l'équation algébrique du 3ème degré en «» et la 2nde celle de l'équation algébrique du 3ème degré en «».
↑ Il faut être capable de vérifier la justesse de l’équation en terme d’extensivité : le 2nd membre «» étant extensif par «» étant intensif, le 1er membre doit être extensif, or le facteur «» est extensif l'est ainsi que et est intensif ce qui nécessite que le facteur «» soit intensif, «» étant intensif, «» doit l’être ce qui est réalisé car «» est intensif et «» aussi.
↑ Nous pouvons conserver la notation pour repérer le rayon des molécules supposées sphériques car, dans ce paragraphe, la constante molaire des G.P. n'intervient pas.
↑ On parle alors du « modèle des sphères dures » on devrait plutôt dire le « modèle des boules dures » mais on conserve le nom historique.
↑ L'ångströmde symbole «» est une unité dérivé de longueur particulièrement adaptée à la physique atomique ou moléculaire «» en désuétude de nos jours ; Anders Jonas Ångström (1814 - 1874) est un astronome et physicien suédois du XIXème siècle, c'est l'un des fondateurs de la spectroscopie.
↑ Considérer une forme sphérique pour une molécule d'eau est bien sûr une approximation très grossière mais permettant toutefois de donner un ordre de grandeur du covolume molaire de l'eau.
↑ 92,092,192,2 et 92,3 Le litre de symbole «» est une unité dérivée de volume, surtout utilisée en chimie et parfois aussi en thermodynamique à condition de ne pas oublier de convertir, dans les formules, cette unité en , «».
↑ Il faut tenir compte, à près, du covolume molaire dans la vapeur d’eau si ; à la température , ce sera le cas pour des pressions en effet le volume molaire d’un G.P. dans les conditions normales de température et de pression c'est-à-dire et valant étant la constante molaire des G.P., il faut, pour que le volume molaire soit de à la température , une pression définie par le volume molaire étant à et inversement à d'où en soit ou telle que ; les molécules d’eau peuvent être considérées en 1ère approximation comme ponctuelles à une température de pour une pression et, si la pression de la vapeur d’eau est à la même température sans que la pression ne soit pas trop supérieure c'est-à-dire restant , « le covolume molaire relatif » est un infiniment petit d’ordre un avec une pression le rapport devenant ne pourrait plus être raisonnablement considéré comme infiniment petit.
↑ Appellation personnelle et temporaire pour traduire que c'est cette pression qui est subie par l'élément de paroi et non la pression cinétique sauf dans le cas d'un G.P., par la suite nous ne parlerons que de « pression » sauf avis contraire.
↑ 96,0 et 96,1 Réel ou fictif centré en un point strictement intérieur au gaz.
↑ 97,0 et 97,1 L'approximation «» est justifiée par le fait que est très grand «».
↑ Il faut tenir compte, à près, de la pression moléculaire dans la vapeur d’eau si dans la mesure où est considérée comme un correctif de c'est-à-dire si le rapport de la 1ère sur la 2nde est un infiniment petit d'ordre un il est légitime d'y reporter l'évaluation de à l’ordre zéro en effet pour déterminer le développement limité D.L. d'un produit de facteurs à l'ordre un quand l'un des facteurs est à un infiniment petit d'ordre un il suffit d'y reporter le D.L. de l'autre facteur à l'ordre zéro, voir le paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le D.L. d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infinment petit d'ordre p » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », plus précisément si est un infiniment petit d'ordre un et si on y reporte le D.L. de à l'ordre un selon dans lequel est à l'infiniment petit d'ordre un que nous ne déterminons pas, nous obtenons après utilisation du D.L. à l'ordre un de , voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », d'où le 1er terme étant un infiniment petit d'ordre un, le 2nd, produit du terme précédent par un infiniment petit d'ordre un, est un infiniment petit d'ordre deux et doit être éliminé dans la mesure où le développement est limité à l'ordre un , donc par équation d’état de G.P. selon soit finalement il faut tenir compte, à près, de la pression moléculaire dans la vapeur d’eau si ou si ; à la température , ce sera le cas pour des pressions ; les molécules d’eau peuvent être considérées en 1ère approximation sans interactions intermoléculaires à une température de pour une pression et, si la pression de la vapeur d’eau est à la même température sans que la pression ne soit pas trop supérieure c'est-à-dire restant , « la valeur absolue de la pression moléculaire relative est un infiniment petit d’ordre un évalué à » avec une pression le rapport devenant ne pourrait plus être raisonnablement considéré comme infiniment petit.
↑ Assez souvent le paramètre d’état intensif est remplacé par le paramètre d'état extensif associé à une quantité fixée du système.
↑ En effet il n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. en principe sa définition doit être rappelée avant utilisation dans des problèmes ou exercices.
↑ Le facteur «» dans la définition du cœfficient de dilatation isobare est présent pour que ce dernier soit « intensif » c'est-à-dire indépendant de la quantité envisagée ; usuellement le cœfficient de dilatation isobare est positif car le volume quand la température à pression maintenue constante il n'y a que l'eau entre et qui a un cœfficient de dilatation isobare négatif.
↑ 104,0104,1 et 104,2 Seules les dépendances relativement aux paramètres thermodynamiques sont précisées, la dépendance par rapport au point de l'espace étant omise.
↑ Il suffit de diviser haut et bas la définition de par et d'utiliser la définition du volume molaire.
↑ Il suffit de diviser haut et bas la définition de par et d'utiliser la définition du volume massique.
↑ Il suffit de partir de la définition équivalente de «» et d'y reporter le « lien entre volume massique et masse volumique » d'où «».
↑ 109,00109,01109,02109,03109,04109,05109,06109,07109,08109,09109,10109,11109,12109,13109,14109,15109,16109,17109,18109,19109,20109,21109,22109,23109,24 et 109,25 Voir le paragraphe « définition des dérivées logarithmiques partielles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; si l'utilisation du logarithmique népérien d'une fonction scalaire dans la définition d'une dérivée logarithmique partielle de cette fonction ne présente aucune difficulté en mathématiques les grandeurs scalaires n'ayant pas d'unités en mathématiques, il n'en est pas de même en physique ou autres sciences appliquées comme la chimie la valeur de l'image d'une fonction dépendant de l'unité choisie et par suite le logarithme népérien de cette image aussi en physique ou autres sciences appliquées comme la chimie l'argument d'un logarithme népérien devant être un nombre sans dimension il est incorrect d'écrire ou ou etc car leur valeur dépend de l'unité choisie si on change d'unité de mesure de la grandeur, la valeur du logarithme de la grandeur varie d'une constante dépendant du rapport entre les unités initiale et finale, mais toutefois cette modification n'intervient plus après une dérivation partielle, s'il est incorrect d'écrire ou ou etc celle de leur dérivée partielle est parfaitement définie ; pour rendre correct, en physique ou autres sciences appliquées comme la chimie, l'écriture de ou ou etc il conviendrait de la remplacer par ou ou etc dans laquelle ou ou etc sont des valeurs de référence comme par exemple ou ou etc mais, par abus, cela n'est usuellement pas fait.
↑ Le facteur «» dans la définition du cœfficient de compressibilité isotherme est présent pour que ce dernier soit « intensif » c'est-à-dire indépendant de la quantité envisagée ; l'ajout d'un signe permet au cœfficient de compressibilité isotherme d'être toujours positif car le volume quand la pression à température maintenue constante.
↑ Il suffit de diviser haut et bas la définition de par et d'utiliser la définition du volume molaire.
↑ Il suffit de diviser haut et bas la définition de par et d'utiliser la définition du volume massique.
↑ Il suffit de partir de la définition équivalente de «» et d'y reporter le « lien entre volume massique et masse volumique » d'où «».
↑ Le facteur «» dans la définition du cœfficient de compression isochore n'est pas nécessaire pour que ce dernier soit « intensif » c'est-à-dire indépendant de la quantité envisagée mais il est introduit pour que les cœfficients de compression isochore et dilatation isobare s'expriment avec la même unité ; usuellement le cœfficient de compression isochore est positif car la pression quand la température à volume maintenu constant il n'y a que l'eau entre et qui a un cœfficient de compression isochore négatif.
↑ D'une part geler le volume d'une quantité fixée revient à geler le volume molaire ; d'autre part bien que les fonctions et sont mathématiquement différentes et devraient être notées différemment selon les critères mathématiques, elles ont les mêmes images pour un même état thermodynamique, on les note donc par la même lettre celle représentant les images selon l'usage fait par abus en physique.
↑ D'une part geler le volume d'une masse fixée revient à geler le volume massique ; d'autre part bien que les fonctions et sont mathématiquement différentes et devraient être notées différemment selon les critères mathématiques, elles ont les mêmes images pour un même état thermodynamique, on les note donc par la même lettre celle représentant les images selon l'usage fait par abus en physique.
↑ D'une part geler le volume d'une masse fixée revient à geler la masse volumique ; d'autre part bien que les fonctions et sont mathématiquement différentes et devraient être notées différemment selon les critères mathématiques, elles ont les mêmes images pour un même état thermodynamique, on les note donc par la même lettre celle représentant les images selon l'usage fait par abus en physique.
↑ Voir le paragraphe « définition des dérivées logarithmiques partielles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; si l'utilisation du logarithmique népérien d'une fonction scalaire dans la définition d'une dérivée logarithmique partielle de cette fonction ne présente aucune difficulté en mathématiques les grandeurs scalaires n'ayant pas d'unités en mathématiques, il n'en est pas de même en physique ou autres sciences appliquées comme la chimie la valeur de l'image d'une fonction dépendant de l'unité choisie et par suite le logarithme népérien de cette image aussi en physique ou autres sciences appliquées comme la chimie l'argument d'un logarithme népérien devant être un nombre sans dimension il est incorrect d'écrire ou etc car leur valeur dépend de l'unité choisie si on change d'unité de mesure de la grandeur, la valeur du logarithme de la grandeur varie d'une constante dépendant du rapport entre les unités initiale et finale, mais toutefois cette modification n'intervient plus après une dérivation partielle, s'il est incorrect d'écrire ou etc celle de leur dérivée partielle est parfaitement définie ; pour rendre correct, en physique ou autres sciences appliquées comme la chimie, l'écriture de ou etc il conviendrait de la remplacer par ou etc dans laquelle ou etc sont des valeurs de référence comme par exemple ou mieux adapté à l'échelle mesoscopique ou macroscopique ou etc mais, par abus, cela n'est usuellement pas fait.
↑ L’intérêt de ce lien est très limité pour un G.P. car moins riche que de retenir «» et «» mais, en connaissant les trois valeurs des cœfficients thermoélastiques d’un G.P. il est très aisé d’en déduire d'une part et d'autre part d'où le lien «» entre les cœfficients thermoélastiques d’un G.P., lien qui est généralisable à tout fluide monophasé ce n’est toutefois pas une démonstration laquelle est exposée au paragraphe « lien entre les trois cœfficients thermoélastiques d'un fluide monophasé » plus bas dans ce chapitre mais un moyen mnémotechnique.
↑ 124,0 et 124,1 Nous pourrions aussi partir de l’équation d’état du fluide monophasé dans sa forme locale connue sous forme implicite «».
↑ Ou, à partir de l’équation d’état du fluide monophasé dans sa forme locale et implicite «», comment calculer les dérivées partielles de ou d’ailleurs les dérivées partielles de ou de en dérivant partiellement la forme implicite «» de l'équation d’état.
↑ 126,00126,01126,02126,03126,04126,05126,06126,07126,08126,09126,10126,11 et 126,12 L'usage en physique et particulièrement en thermodynamique consiste à confondre le nom d'une fonction de plusieurs variables avec celui de l'image de ces variables par cette fonction, par exemple, alors qu'« en mathématique, on notera », « en physique, on note »
↑ Attention «» sous-entendu à gelée, «» sous-entendu à gelé et «» sous-entendu à gelée ne sont pas des quotients mais résultent respectivement de l'action de l'opérateur «» sous-entendu à gelée sur », de l'opérateur «» sous-entendu à gelé sur » et de l'opérateur «» sous-entendu à gelée sur » simplifier la notation des dérivées partielles sans préciser la variable gelée comme fait en début de note et faire l'erreur de considérer chaque dérivée partielle comme un quotient, induit inexorablement un résultat faux en effet si nous écrivions le produit selon nous serions tentés de simplifier en oubliant que les dérivées partielles ne sont pas des quotients et trouverions alors que le résultat correct est .
↑ Attention «» sous-entendu à gelée, «» sous-entendu à gelé et «» sous-entendu à gelée ne sont pas des quotients mais résultent respectivement de l'action de l'opérateur «» sous-entendu à gelée sur », de l'opérateur «» sous-entendu à gelé sur » et de l'opérateur «» sous-entendu à gelée sur » simplifier la notation des dérivées partielles sans préciser la variable gelée comme fait en début de note et faire l'erreur de considérer chaque dérivée partielle comme un quotient, induit inexorablement un résultat faux en effet si nous écrivions le produit selon nous serions tentés de simplifier en oubliant que les dérivées partielles ne sont pas des quotients et trouverions alors que le résultat correct est .
↑ Revoir les notes « 98 pour le paramètre » et « 93 pour le paramètre » plus haut dans ce chapitre, la condition sur le paramètre étant plus contraignante.
↑ Revoir les notes « 98 pour le paramètre » et « 93 pour le paramètre » plus haut dans ce chapitre, la condition sur le paramètre fixant l'ordre de grandeur du minimum de pression pour que la modification due à ne soit pas négligeable et la condition sur le paramètre l'ordre de grandeur du maximum de pression pour que la modification due à soit infiniment petite d'ordre un celle due à étant aussi infiniment petite d'ordre un car condition moins contraignante.
↑ Plus précisément l'application de la règle exposée dans la note « 147 » plus haut dans ce chapitre, appliquée au produit que l'on réécrit en faisant apparaître l'infiniment petit d'ordre un soit «» dans lequel on cherche le D.L. à l'ordre du produit dont le 1er facteur étant un infiniment petit d'ordre il est suffisant de prendre le D.L. à l'ordre de l'autre facteur
↑ Revoir les notes « 98 pour le paramètre » et « 93 pour le paramètre » plus haut dans ce chapitre, la condition sur le paramètre étant la plus contraignante.
↑ 150,0150,1150,2 et 150,3 Le G.P. associé à un fluide monophasé est la limite de ce fluide quand les paramètres caractéristiques de ce dernier dans les mêmes conditions de température, de pression et de densité volumique molaire tendent vers zéro.
↑ Plus précisément l'application de la règle exposée dans la note « 147 » plus haut dans ce chapitre, appliquée à
« réécrit sous forme de produit » avec « le D.L. à l'ordre un de supposé connu» dans lequel on cherche le D.L. à l'ordre du produit dont le 1er facteur étant un infiniment petit d'ordre il est suffisant de prendre le D.L. à l'ordre de l'autre facteur soit d'où «»,
« réécrit sous forme de produit » avec « le D.L. à l'ordre un de supposé connu» dans lequel on cherche le D.L. à l'ordre du produit dont le 1er facteur étant un infiniment petit d'ordre il est suffisant de prendre le D.L. à l'ordre de l'autre facteur soit d'où «».
↑ 161,0161,1161,2161,3161,4161,5161,6161,7 et 161,8Robert Boyle (1627 - 1691) physicien et chimiste irlandais, considéré comme le père de la philosophie naturelleétude de la nature qui régnait avant le développement de la science dite moderne c'est-à-dire avant Galilée, traditionnellement alliée à la théologie naturelle, son domaine s'étendait à cette époque à l'astronomie, la physique, la chimie et la biologie ; il reste principalement connu pour sa découverte, en , de la loi de Boyle-Mariottevérifiée en par le physicien et botaniste français Mariotte. Galileo Galilei (1564 - 1642) mathématicien, géomètre, physicien et astronome italien plus exactement pour l'époque florentin, à qui on doit en l'amélioration de la longue vue inventée par l'opticien hollandais Hans Lippershey (1570 - 1619) en lunette d'observation des objets célestes sans inversion de l'image par ajout d'une lentille divergente ; dès en observant les phases de Vénus, il est convaincu que le géocentrisme ne permet pas une explication simple de cette observation contrairement à l'héliocentrisme théorie physique dont l'essor est essentiellement dû à Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais et défend cette thèse en poursuivant ses observations jusqu'en où il fût déclaré suspect d'hérésie par l'Inquisition romaine et dût adjurer ; il a aussi posé les bases de la mécanique en étudiant l'équilibre et le mouvement des corps solides en particulier leur chute, leur translation rectiligne et leur inertie ainsi que la généralisation des mesures de temps en particulier par l'étude de l'isochronisme du pendule. Edme Mariotte (1620 - 1684) physicien et botaniste français, voir la note suivante « 162 » pour plus de détails.
↑ C.-à-d. telles que le terme variable de chacun des deux facteurs correctifs l'un par rapport à la pression, l'autre par rapport au volume de la forme intégrale de l'équation d'état d'une quantité fixée de fluide par rapport à celle de l'équation d'état de la même quantité de son G.P. associé revoir la définition dans la note « 150 » plus haut dans ce chapitre reste un infiniment petit d'ordre un.
↑ Ce n'est qu'à la température de Boyle-Mariotte que les deux conditions de pression non excessive celle concernant le terme correctif à et celle concernant le terme correctif à sont les mêmes.
↑ 170,0170,1 et 170,2 Une intégration partielle relativement à d'une fonction de deux variables indépendantes se faisant à gelé, donne une fonction de définissant une primitive relativement à de la fonction d'origine, à une constante relativement à cette intégration partielle c'est-à-dire une fonction arbitraire de la variable gelée.
↑ Dans le cas présent l'alternative à l'utilisation de permet donc un établissement plus direct de l'équation d'état du fluide mais ce n'est pas toujours le cas
↑ En effet le cœfficient de compressibilité isotherme de l'eau liquide à température ordinaire valant «» est très petit d'où, à l'aide de «» voir le paragraphe « cœfficient de compressibilité isotherme χT (3ème définition équivalente) » plus haut dans ce chapitre, se réécrivant, compte-tenu de sa petitesse, «» ou «».
↑ En effet le cœfficient de dilatation isobare de l'eau liquide à pression ordinaire valant «» n’étant que petit et non très petit d'où, à l'aide de «» voir le paragraphe « cœfficient de dilatation isobare α (3ème définition équivalente) » plus haut dans ce chapitre, se réécrivant, compte-tenu de sa petitesse, «» ou «» ou encore «».
↑ Attention la relation trouvée dans le paragraphe « lien entre les trois cœfficients thermoélastiques d'un fluide monophasé quelconque » plus haut dans ce chapitre à savoir «» Attention la relation n'est pas applicable si les dérivées partielles des trois paramètres intensifs, et par rapport à l'un quelconque des deux autres s'annulent c'est-à-dire Attention la relation n'étant pas compatible avec l'un quelconque de trois cœfficients thermoélastiques s'annulant ou devenant infini en effet la démonstration du paragraphe « lien entre les trois cœfficients thermoélastiques d'un fluide monophasé quelconque » plus haut dans ce chapitre nécessitant d'utiliser les résultats du paragraphe « conséquence, expression du produit (әມ/әT)p (әT/әp)ມ (әp/әມ)T » également plus haut dans ce chapitre lesquels nécessitent que les dérivées partielles de la forme locale de l'équation d'état ne s'annulent pas Attention la relation ne s'applique donc pas au modèle idéal de phase condensée
↑ 183,0 et 183,1 La masse volumique de l'eau liquide valant .
↑ Si nous tenons compte d'une légère différence entre les volumes massiques du glycérol et de l'eau liquide, la densité du glycérol relativement à l'eau liquide étant le volume massique du glycérol est fois plus faible que celui de l'eau liquide une meilleure approximation de son volume molaire est «» soit seulement quatre fois plus grand que celui de l'eau liquide dans les mêmes C.N.T.P..
![{\displaystyle \;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33263eb6c354af0722b254de6db7a0db9b045467)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p,\,{\text{ext}}}\,\left[V_{{\text{ext}},\,M}^{\,*}\right]^{2}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T_{e}(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf87c30e7dd0d6593704b2b9aa81534ac82924df)
![{\displaystyle \;p=N_{\text{vol}}\,\left[{\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e630eda9147ca5a3933125e4290684c653c26d)
![{\displaystyle \;{\Big \langle }k_{\text{molécule, transl}}{\Big \rangle }={\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d546306b81a5a31ac51696cfb7e2c9775c009ec4)
![{\displaystyle \;{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T={\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1575bd2e2acca6a696b449d11a8479670bf265)
![{\displaystyle \;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}=3\;k_{B}\;T\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de0faaea4a8a2d20a58348828e6a1d5a2f34978)
![{\displaystyle \;p=N_{\text{vol}}\,\left[{\dfrac {1}{3}}\;3\;k_{B}\;T\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ad84506163f667ab6080476872a35ac4f2f293)
![{\displaystyle \;p=\left[n_{\text{vol}}\;{\mathcal {N}}\right]\,{\dfrac {R}{\mathcal {N}}}\;T\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c0b8dd3b4d0c34861cc95ed3b2cd4c8591cd3f)
![{\displaystyle \;p-p_{m}=N_{\text{vol}}\;{\dfrac {m_{p}\,\left[V^{\,*}\right]^{2}}{3}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466c1cfb464280a8605c1c73a5a8f4cc6134293b)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V^{\,*}\right]^{2}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af8fcd33397da236158e845c0cddb119d889755)
![{\displaystyle \;{\dfrac {m_{p}\,\left[V^{\,*}\right]^{2}}{3}}=k_{B}\;T\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa6f53618208dda821116a3c4a7291abb41b3d5)
![{\displaystyle \;{\dfrac {\delta N\,\left[\delta N-1\right]}{2}}\simeq {\dfrac {\delta N^{\,2}}{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310e0075ac3294361d94e8df060f2b43d5cb60b4)
![{\displaystyle \;{\dfrac {\delta N\,\left[\delta N-1\right]}{2\;{\mathcal {N}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {\delta N^{\,2}}{2\;{\mathcal {N}}^{\,2}}}={\dfrac {\delta n^{\,2}}{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a9196e8c8301b409784eedd21af68db55c5c43)
![{\displaystyle \;\alpha \left(T,\,p\right)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {V}}\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7977a14e55b97ae6635db6ad64ce7d22e7f1337)
![{\displaystyle \;\alpha \left(T,\,p\right)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3597b96d719c9f2c647cf6daf50b01479da70a)
![{\displaystyle \;\alpha \left(T,\,p\right)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(v\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37a2808281e84675cbe60db24aec64fc89d9a11)
![{\displaystyle \;\alpha \left(T,\,p\right)=-\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(\mu \right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6181c67ba2ed24a0eb52843b41260041f332f3a5)
![{\displaystyle \;\chi _{T}\left(T,\,p\right)=-\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {V}}\right)\right]}{\partial p}}\right\rbrace _{\!T}\!\left(T\,,\,p\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a8fb6e796f8abe61c01245393f9ed82adb8e94)
![{\displaystyle \;\chi _{T}\left(T,\,p\right)=-\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)\right]}{\partial p}}\right\rbrace _{\!T}\!\left(T\,,\,p\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876d3e9dabe0e1901ede1dab7683e20ff43a1b13)
![{\displaystyle \;\chi _{T}\left(T,\,p\right)=-\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(v\right)\right]}{\partial p}}\right\rbrace _{\!T}\!\left(T\,,\,p\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5704048c07fa0e19b7862ed625a70ed27f177595)
![{\displaystyle \;\chi _{T}\left(T,\,p\right)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(\mu \right)\right]}{\partial p}}\right\rbrace _{\!T}\!\left(T\,,\,p\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925e64a389dd4aaa49734fca607bd6cca1db487f)
![{\displaystyle \;\beta \left(T,\,{\mathcal {V}}\right)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(p\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!{\mathcal {V}}}\!\left(T\,,\,{\mathcal {V}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a78c8043554393abf84cd6bdb181e9285a811c)
![{\displaystyle \;\beta \left(T,\,{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(p\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}\!\left(T\,,\,{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fff640240c646744818e8d3a581b218bcfeba8)
![{\displaystyle \;\beta \left(T,\,v\right)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(p\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!v}\!\left(T\,,\,v\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ece1cfdf3dc5a51572695c54a70a612484aff7)
![{\displaystyle \;\beta \left(T,\,\mu \right)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(p\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!\mu }\!\left(T\,,\,\mu \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfacc943f5c96d0bae882ccb32f8091d579e4b0b)
={\dfrac {\alpha }{\chi _{T}}}(p\,,\,T)\;:\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38ee00a49ae5a51ebe918abfc3fb640939524ac)
={\dfrac {\alpha }{\chi _{T}}}(p\,,\,T)\;:\;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54588252ac43a738b4c5a61c66bc168e418dddac)
![{\displaystyle \;\left[n\;R\;T+n\;b\;p-{\dfrac {n^{2}\;a}{\mathcal {V}}}\left(1-{\dfrac {n\;b}{\mathcal {V}}}\right)\right]-{\dfrac {n^{2}\;a}{\mathcal {V}}}\left(1-2\;{\dfrac {n\;b}{\mathcal {V}}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7f0cb864da8d305ce2358faad475f8b7ed2bfe)
![{\displaystyle \;p\;{\underset {\sim }{\in }}\left[8\;bar\,,\,50\;bar\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4751d68c145fd97c45fc21446fd9d0e854472e87)
![{\displaystyle \;\alpha _{v.d.W.}\left(T,\,p\right)={\dfrac {1}{T}}\left[1+{\dfrac {b\;p}{R\;T}}-{\dfrac {n\;a}{R\;T\;{\mathcal {V}}}}\left(2\;{\cancel {-3\;{\dfrac {n\;b}{\mathcal {V}}}}}\right)\right]^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1846c61df96fecb9a1ea6ee303a9c93876b67455)
![{\displaystyle \;\alpha _{v.d.W.}\left(T,\,p\right)\simeq {\dfrac {1}{T}}\left[1-{\dfrac {b\;p}{R\;T}}+{\dfrac {2\;n\;a}{R\;T\;{\mathcal {V}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6866e75b3988970d99bd6f33029451ef2b7c9e1)
![{\displaystyle \;\alpha _{v.d.W.}\left(T,\,p\right)\simeq {\dfrac {1}{T}}\left[1-{\dfrac {b\;p}{R\;T}}+{\dfrac {2\;a\;p}{R^{2}\;T^{2}}}\right]=\alpha _{G.P.}(T)\left[1+\left({\dfrac {2\;a}{R\;T}}-b\right){\dfrac {p}{R\;T}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e93ce662cb6528444b21b7b5b34c57d5e9365e1)
![{\displaystyle \;{\dfrac {R\;T}{\left(1+{\dfrac {a}{p\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}^{\,2}}}\right)\left(1-{\dfrac {b}{{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}}\right)}}={\dfrac {R\;T}{1+{\dfrac {a}{p\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}^{\,2}}}-{\dfrac {b}{{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}}\;{\cancel {-{\dfrac {a}{p\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}^{\,2}}}\;{\dfrac {b}{{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}}}}}}\simeq R\;T\left[1+{\dfrac {a}{p\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}^{\,2}}}-{\dfrac {b}{{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}}\right]^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa6526478c0fdecfc89bcc6f84e918280b86847)
![{\displaystyle \simeq \ln \left({\dfrac {R\;T}{p}}\right)+\left[-{\dfrac {a\;p}{R^{2}\;T^{2}}}+{\dfrac {b\;p}{R\;T}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90eb47662cfe6ead3bb56655f8e60f832383ff27)
![{\displaystyle \;\alpha _{v.d.W.}\left(T,\,p\right)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {V}}_{{\text{mol}},\,v.d.W.}\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bdb88615c0045a4e0f0a537de589d9e1829a3c9)
![{\displaystyle \left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\dfrac {R\;T}{p}}\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}+\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[-{\dfrac {a\;p}{R^{2}\;T^{2}}}+{\dfrac {b\;p}{R\;T}}\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\simeq {\dfrac {1}{T}}+\left[2\;{\dfrac {a\;p}{R^{2}\;T^{3}}}-{\dfrac {b\;p}{R\;T^{2}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e35bfaf628f6bda8a4b45a5affebe5711ebfe4)
![{\displaystyle \;\alpha _{v.d.W.}\left(T,\,p\right)\simeq {\dfrac {1}{T}}\left[1+\left({\dfrac {2\;a}{R\;T}}-b\right){\dfrac {p}{R\;T}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c676d79d8541c7df91d7e309eca044cff34cf80)
![{\displaystyle \simeq \alpha _{G.P.}(T)\left[1+\left({\dfrac {2\;a}{R\;T}}-b\right){\dfrac {p}{R\;T}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080f48dccf0e24e112af18f0adcca85dd7e65c32)
![{\displaystyle \;\alpha _{v.d.W.}\left(T,\,p\right)\simeq \alpha _{G.P.}(T)\left[1+\left({\dfrac {2\;a}{R\;T}}-b\right){\dfrac {p}{R\;T}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d29af4d1269a3f90c3b416d2544c249d4a542b)
![{\displaystyle \;p\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[10^{-2}\;{\dfrac {R^{2}\;T^{2}}{a_{\text{vap. eau}}}}\,,\,10^{-1}\;{\dfrac {R^{2}\;T^{2}}{a_{\text{vap. eau}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2bcb552339c185e83c74e7b2c347547d800d0d3)
![{\displaystyle \;p\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[10^{-2}\;{\dfrac {4\;a_{\text{vap. eau}}}{b_{\text{vap. eau}}^{\,2}}}\,,\,10^{-1}\;{\dfrac {4\;a_{\text{vap. eau}}}{b_{\text{vap. eau}}^{\,2}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b7af3de38eb6ff69af73c8699fbc152400110f)
![{\displaystyle \;p\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[55\;bar\,,\,550\;bar\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291c273c3053777f023c0b41eb0dc6b8c17bcbe9)
![{\displaystyle \;p\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[10^{-2}\;{\dfrac {R\;T}{b_{\text{vap. eau}}}}\,,\,10^{-1}\;{\dfrac {R\;T}{b_{\text{vap. eau}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59514b5b3ea6bbfc92b19598c5cca220bb6eb73)
![{\displaystyle \;p\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[10^{-2}\;{\dfrac {2\;a_{\text{vap. eau}}}{b_{\text{vap. eau}}^{\,2}}}\,,\,10^{-1}\;{\dfrac {2\;a_{\text{vap. eau}}}{b_{\text{vap. eau}}^{\,2}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08edfccf437c8b018e4ef0064c5de3fcc9cf8092)
![{\displaystyle \;p\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[27\;bar\,,\,270\;bar\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c251348aa9199cb6ba5ebcc362211c6ed11f5b)
![{\displaystyle \;p\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[55\;bar\,,\,270\;bar\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea5768c1960b9438b67bcdd809e74e792b92e2c)
![{\displaystyle \;p\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[4,5\;bar\,,\,45\;bar\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69c71a97ac925469725a9e7cb47ee32720d0237)
![{\displaystyle \;p\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[7,8\;bar\,,\,78\;bar\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f007d9540a40ccf3685dbb707efb7a30948d3c8)
![{\displaystyle \;p\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[7,8\;bar\,,\,45\;bar\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca44cd1f1016141ea44e98ba79115c239029cb6)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;\alpha \left(T\,,\,p\right)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6dfd576507a24ae9f2b27c35b2aef099f274751)
![{\displaystyle \;\left[\ln \left({\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)\right]\left(T\,,\,p\right)=f\left(T\,,\,p\right)+\varphi (p)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe10192339e100db4419522fb717cc360e78f0ae)
![{\displaystyle \;\beta \left(T\,,\,{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(p\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}\!\left(T\,,\,{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa905e8353034ac42bc92bcbf54a571dad6f2b57)
![{\displaystyle \;\left[\ln \left({\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)\right]=f\left(T\,,\,p\right)+\varphi (p)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ba0d268fb0d9b1baf9ab16d5e4ee845302fcd5)
![{\displaystyle \;\chi _{T}\left(T\,,\,p\right)=-\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)\right]}{\partial p}}\right\rbrace _{\!T}\!\left(T\,,\,p\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041f30d4a470369b5985a554e4d256d6283b2880)
![{\displaystyle \;\left[\ln \left({\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc124f234bde3c1e2d376ca0505f46779bf2fd9)
![{\displaystyle \;\alpha \left(T\,,\,p\right)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)={\dfrac {1}{T}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4cdf929b79e7e4d811d1a92a01a287a3859524)
![{\displaystyle \;\left[\ln \left({\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)\right]\left(T\,,\,p\right)=\ln(T)+\varphi (p)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a8b4c5a6104a606eadd29281d2fdef48a67b9e)
![{\displaystyle \;p=\varphi ^{-1}\!\left[\ln {\dfrac {{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}{T}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5297a70a2448ef16a7f0f9ea406d79c59f5ff7fa)
![{\displaystyle \;\ln(p)=\ln \left[F\!\left({\dfrac {{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}{T}}\right)\right]=\psi \!\left({\dfrac {{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}{T}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c456dc766e7a95d1abdf8a8bfa4bcbb383e7a70e)
![{\displaystyle \;\beta \left(T\,,\,{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(p\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}\!\left(T\,,\,{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)={\dfrac {1}{T}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9380966be70e8afe4d5c152f24ca7d703e8094f)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(p\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}\!\left(T\,,\,{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)=\psi \,'\!\left({\dfrac {{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}{T}}\right)\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[{\dfrac {{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}{T}}\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebdfa2627befece4570a45ef21dfdac3e532d810)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(p\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}\!\left(T\,,\,{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)=\psi \,'\!\left({\dfrac {{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}{T}}\right)\;{\dfrac {-{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}{T^{2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe48028701a5d95a01ef85c2bdbb0eb208d4b723)
![{\displaystyle \;\chi _{T}\left(p\,,\,T\right)=-\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)\right]}{\partial p}}\right\rbrace _{\!T}\!\left(p\,,\,T\right)={\dfrac {1}{p}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6579f9031854c0da561558e92cf6fb3bdc8d775)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right)\right]}{\partial p}}\right\rbrace _{\!T}\!\left(p\,,\,T\right)=\varphi \,'(p)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5a85a2483f5299d8033e8e21c61928eacee9ed)
![{\displaystyle \;\chi _{T,\,{\text{φs cond. id.}}}=-\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {V}}_{\text{φs cond. id.}}\right)\right]}{\partial p}}\right\rbrace _{\!T}\!\left(p\,,\,T\right)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5449b91c3d71a1d58b77dc6f4db646e434da3d)
![{\displaystyle \;\alpha _{\text{φs cond. id.}}=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {V}}_{\text{φs cond. id.}}\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(p\,,\,T\right)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084075714b4213096d21eccee5a9c6f4b4c5d461)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {V}}_{\text{φs cond. id.}}\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(p\,,\,T\right)=\varphi \,'(T)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42acc3cd0dcc001d3ece1828932602d4fb320ab7)
![{\displaystyle \;{\dfrac {p_{0}-p(z')}{p_{0}}}\simeq {\dfrac {z'}{d}}\simeq 1,2\;10^{-2}{\bigg ]}{\bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf261d9fc42409bc468025fba6e7b13649986420)
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd0c02f32f607a22fbd5b1388a07b45e1c3f614)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle 7,8\;10^{5}\;Pa=7,8\;bar{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5e184c23a53cf50821d0ecccbfcf7fbe06faf2)
![{\displaystyle \;p\lesssim 10^{2}\;\vert p_{m}\vert =10^{2}\;{\dfrac {a}{\left[{\mathcal {V}}_{\text{mol}}(p,\,T)\right]^{\,2}}}\simeq 10^{2}\;{\dfrac {a}{\left[{\dfrac {R\;T}{p}}\right]^{\,2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1c7d1b134646eaffb3f7d71fce8d79f23c0c26)
![{\displaystyle \;{\dfrac {\vert p_{m}\vert }{p}}={\dfrac {a}{p\;\left[{\mathcal {V}}_{\text{mol}}(p,\,T)\right]^{\,2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6438f3b0f6bbf4706c3a135df4a8747c58ff26df)
![{\displaystyle \;{\dfrac {\vert p_{m}\vert }{p}}\simeq {\dfrac {a}{p\;\left[{\dfrac {R\;T}{p}}\left(1+\varepsilon \right)\right]^{2}}}\simeq {\dfrac {a\;p}{R^{2}\;T^{2}}}\left(1-2\;\varepsilon \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eddbc6dfac3eb2b382a1a9fdc08462d4fda8c3f0)
![{\displaystyle \ldots {\Bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c61fba4fddcdf70747672d80eacefa43b663499)
![{\displaystyle \;x\;{\underset {\sim }{\in }}\left[x_{1}\,,\,x_{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a578a6ceb7ca9715d0918c305ded6139c289bf9b)
