Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z

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Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z
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Chapitre no 5
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Sous-groupe distingué et groupe quotient
Chap. suiv. :Groupes monogènes, ordre d'un élément

Exercices :

Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z
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Rappels de terminologie[modifier | modifier le wikicode]

Rappelons que si a et b sont des nombres naturels, on dit que a divise b, ou encore que a est (un) diviseur de b, ou encore que b est divisible par a, ou encore que b est (un) multiple de a, s'il existe un nombre naturel c tel que b = ac. On écrit souvent pour exprimer que a divise b. La relation «divise» est une relation d'ordre dans N. Si un nombre naturel a divise un nombre naturel b et que b n’est pas nul, alors pour la relation d'ordre usuelle dans N.

Si a et b sont maintenant des entiers rationnels, nous dirons de même que a divise b, ou encore que a est (un) diviseur de b, ou encore que b est divisible par a, ou encore que b est (un) multiple de a, s'il existe un entier rationnel c tel que b = ac. On vérifie facilement que si a et b sont naturels, a divise b selon la seconde définition si et seulement s'il le divise suivant la première. La relation «divise» est une relation de préordre dans Z. (Elle est réflexive et transitive, mais non antisymétrique, deux éléments de Z se divisant l'un l'autre si et seulement s'ils sont égaux ou opposés.)

Sous-groupes de Z[modifier | modifier le wikicode]

Rappelons qu'un groupe est dit monogène s'il est engendré par un seul élément. Nous avons vu que le sous-groupe (monogène) d'un groupe G engendré par un élément a de G est l’ensemble des éléments de G de la forme , n parcourant .

Soit a un entier relatif. Le sous-groupe de engendré par a est l’ensemble des éléments de de la forme na avec . Puisque la multiplication dans est commutative, c’est aussi l’ensemble des éléments de de la forme an avec . Nous noterons le sous-groupe de engendré par . Pour exprimer que deux éléments x, y de sont congrus modulo le sous-groupe a de , ce qui revient à dire que la différence de x et y est divisible par a, nous écrirons . Il est clair que si a = 1, alors a = 1 = , donc est monogène, avec l'élément 1 pour générateur. Nous allons montrer que tous les sous-groupes de sont du type a, autrement dit sont monogènes.




Pour une démonstration, voir par exemple « Division euclidienne », dans la leçon « Arithmétique ».






Théorèmes de divisibilité dans N et dans Z[modifier | modifier le wikicode]

Plus grand commun diviseur[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème


Fin du théorème

Ce théorème repose uniquement sur la caractérisation ci-dessus des sous-groupes de (Z, +). C'est donc un cas particulier de la caractérisation du plus grand commun diviseur dans un anneau principal (voir « PGCD, PPCM », dans la leçon « Anneau »).

Remarque. Si d n’est pas nul, c'est-à-dire si les ne sont pas tous nuls, d est aussi le plus grand des diviseurs naturels communs des pour la relation d'ordre usuelle dans .




Début d’un théorème


Fin du théorème

C'est à nouveau un cas particulier des propriétés du pgcd dans un anneau principal (voir « Identité de Bézout », dans la leçon « Anneau »).





Cela revient évidemment à dire que a et b n'ont pas d’autre diviseur commun dans que 1 et –1. Il est clair que cela revient aussi à dire que le pgcd de a et b est égal à 1.




Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'un lemme


Fin du lemme

On le déduit facilement du théorème de Bachet-Bézout (voir « Théorème de Gauss » dans la leçon « Arithmétique »).



Cf. « Corollaire », dans la leçon « Anneau ».

Plus petit commun multiple[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème


Fin du théorème

De même que précédemment pour le pgcd, c'est ici un cas particulier de la caractérisation du plus petit commun multiple dans un anneau principal (voir « PGCD, PPCM », dans la leçon « Anneau »).



Remarque. Le produit d'une famille finie (a1, ... , an) étant un multiple commun de a1, ... , an, il est multiple de leur ppcm.


Début d'un lemme


Fin du lemme


Début d’un théorème


Fin du théorème

Voir Arithmétique/Exercices/Divers#Exercice 11-8.


Début d’un théorème


Fin du théorème

Voir Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices#Exercice 4.


Début d’un théorème


Fin du théorème

Voir Arithmétique/PPCM.



Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Nombres premiers[modifier | modifier le wikicode]





Début d'un lemme


Fin du lemme

On le déduit du lemme de Gauss ci-dessus, via le corollaire qui le suit : cf. « Lemme d'Euclide », dans la leçon « Anneau ».


Début d’un théorème


Fin du théorème

Cf. « Décomposition en facteurs premiers », dans la leçon « Arithmétique ».