Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives

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Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
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Chapitre no 32
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall
Chap. suiv. :Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs

Exercices :

Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
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On va exposer ici quelques notions sur les opérations transitives, les opérations n fois transitives et les opérations primitives d'un groupe sur un ensemble. On se limitera à quelques énoncés qui permettront de résoudre dans un chapitre suivant la question de la simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs. Quelques compléments seront donnés en exercice.

Rappels[modifier | modifier le wikicode]

Si un groupe G opère sur un ensemble X, si H est un sous-groupe de G, l'opération de G induit de façon évidente une opération de H sur X. C'est toujours de cette opération qu’il s'agira quand nous parlerons d'une opération de H sans préciser laquelle.



Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Appliquer le premier théorème d'isomorphisme à l'homomorphisme de G dans SX associé à l'opération de G sur X.


Si un groupe G opère transitivement sur un ensemble X, on dit que X est un G-ensemble homogène[2] ou encore un G-espace homogène[3].

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Un élément h de G appartient à Stab(y) si et seulement si hy = y, c'est-à-dire si hgx = gx, ce qui équivaut à g-1hgx = x, ce qui équivaut à ce que g-1hg appartienne à Stab(x), autrement dit à ce que h appartienne à g(Stab(x))g-1.

Opérations k fois transitives[modifier | modifier le wikicode]


Il est clair qu'un G-ensemble est 1-transitif si et seulement s'il est transitif.

Opérations primitives[modifier | modifier le wikicode]


Il est clair que l’ensemble vide, les parties de X à un élément et X lui-même sont des blocs relativement à n’importe quelle opération de groupe sur X.



Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Soit G un groupe opérant de façon deux fois transitive sur un ensemble X. Soit B une partie de X distincte de X et comptant au moins deux éléments. Il s'agit de prouver que B n’est pas un bloc de l'opération en question. Par hypothèse sur B, nous pouvons choisir deux éléments distincts x et y dans B et un élément z de X qui n'appartient pas à B. Puisque l'opération de G sur X est deux fois transitive, il existe un élément g de G tel que gx = y et gy = z. Alors B et gB ne sont pas disjoints (car ils comprennent tous deux y) et ils ne sont pas égaux (car gB comprend z, qui n'appartient pas à B), donc B n’est pas un bloc.

Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. Si , il existe un élément h de H tel que y = hx. Alors Hy = H(hx) = (Hh)x = Hx, d'où la première assertion de l'énoncé.
Supposons que, de plus, H est sous-groupe normal de G. Soit x un élément de X, prouvons que Hx est un bloc. Pour tout élément g de G, nous avons gH = Hg (puisque H est sous-groupe normal de G), d'où gHx = Hgx. Si on a donc , d'où, d’après la première partie de l'énoncé, Hgx = Hx, autrement dit gHx = Hx, ce qui prouve que Hx est un bloc.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Puisque, par définition, une opération primitive est transitive, l'opération de G est transitive, donc X n’est pas vide. Il reste à prouver que, pour tout élément x de X, Hx = X. D'après le lemme précédent, Hx est un bloc de l'opération de G sur X. Puisque l'opération de G est supposée primitive, Hx est donc soit vide, soit réduit à un élément, soit égal à X. Il est clair que Hx comprend x et n'est donc pas vide. Si Hx était réduit à un seul élément, H serait contenu dans le stabilisateur de x. Puisque l'action de G est transitive, tous les stabilisateurs de points relativement à cette action sont conjugués, donc, puisque H est sous-groupe normal de G, H serait contenu dans tous les stabilisateurs de points de X, autrement dit, H serait contenu dans le noyau de l'opération de G, ce qui contredit les hypothèses. Donc Hx n’est pas réduit à un élément et, d’après ce qui précède, il est égal à X.

Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. Par hypothèse, chaque élément g de G est de la forme

avec et
Puisque, par hypothèse, G = HS, chaque est de la forme , avec et , d'où

Puisque K est normal dans S, les appartiennent à K, donc , donc G = <H, K>. Si, de plus, H est normal dans G, notre dernier résultat donne G = HK. D'après le second théorème d'isomorphisme, G/H est donc isomorphe à un quotient de K. Si, de plus, K est commutatif, G/H est donc commutatif, donc H contient le dérivé de G.

Le théorème suivant est une des différentes formes du critère d'Iwasawa qu'on trouve dans la littérature[4].

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Commençons par prouver la partie a) de l'énoncé. Soit H un sous-groupe normal de G non contenu dans le noyau de l'action de G sur X. Il s'agit de prouver que H = G. Puisque G opère primitivement sur X, il résulte d'un théorème ci-dessus que H opère transitivement sur X. D'après l'argument de Frattini (forme générale), on a donc G = HS, où S désigne le stabilisateur de x dans G. Donc, d’après le précédent lemme, H contient le dérivé de G. Puisque, par hypothèse, G est parfait, H est donc égal à G, ce qui prouve la partie a) de l'énoncé.

La partie b) se tire facilement de la partie a). Par définition d'une action primitive, l'action de G sur X est transitive, donc, puisque X est supposé comprendre au moins deux éléments, cette action n'est par triviale, autrement dit, si K désigne le noyau de cette action, le groupe G/K n'est pas trivial, ce qui est une première condition à satisfaire pour être simple. Soit maintenant N un sous-groupe normal de G/K non réduit à l'élément neutre. D'après le théorème de correspondance, N est de la forme H/K, où H est un sous-groupe normal de G contenant K et non réduit à K. D'après la partie a) de l'énoncé, H est égal à G tout entier, donc N, étant égal à H/K, est égal à G/K tout entier, ce qui achève de prouver que le groupe G/K est simple.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Définition conforme à Marc Hindry, Université Paris 7, Cours d’algèbre au magistère de Cachan, en ligne, p. 6.
  2. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, no 5, Paris, 1970, p. 56.
  3. P. Tauvel, Algèbre, 2e éd., Paris, 2005, p. 65.
  4. Le théorème qui suit est donné (sous une forme un peu plus forte) dans Donald E. Taylor, The Geometry of the Classical Groups, 1992, théorème 1.2.