Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Lois de composition internes, monoïdes

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Lois de composition internes, monoïdes
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Chapitre no 1
Leçon : Théorie des groupes
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Chap. suiv. :Groupes, premières notions

Exercices :

Élément neutre
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Théorie des groupes/Lois de composition internes, monoïdes
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Loi de composition interne[modifier | modifier le wikicode]




En toute rigueur, le magma (E, ) est distinct de l’ensemble sous-jacent E, mais on commet souvent l'abus de langage de les identifier.




On verra plus loin des exemples de morphismes entre des magmas d'un type particulier, les monoïdes. En fait, la notion générale de magma servira très peu dans ce cours et uniquement dans la situation suivante : devant prouver qu'un ensemble G muni d'une loi de composition interne est un groupe (notion encore à définir), on prouvera que, comme magma, G est isomorphe à un groupe, ce qui entraîne que G est un groupe.






On voit que si une loi est associative, les parenthèses peuvent être omises sans ambiguïté : on écrit plutôt que ou

Une loi associative est souvent notée multiplicativement, c'est-à-dire qu'on écrit au lieu de . On peut aussi la noter additivement, c'est-à-dire écrire au lieu de , mais on préfère en général réserver la notation additive aux lois associatives et commutatives.




Un élément neutre pour une loi notée multiplicativement est généralement noté 1. Un élément neutre pour une loi notée additivement est généralement noté 0.

Une loi de composition interne admet au plus un élément neutre.




Monoïdes[modifier | modifier le wikicode]



Dans la suite, E désigne un monoïde et sa loi de composition est notée sous forme multiplicative, c'est-à-dire que nous écrirons pour désigner le composé noté plus haut . L'élément neutre est alors désigné par 1. Remarquons que E est non vide.

Début d’un théorème


Fin du théorème


On dit donc « le » symétrique de x. Il est clair que le symétrique du symétrique de x est x lui-même. En notation multiplicative :

Début d’un théorème


Fin du théorème



Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Monoïde/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes.



Composé d'une séquence (finie) d'éléments d'un monoïde[modifier | modifier le wikicode]

Searchtool.svg Voir le cours Monoïde/Composé d'une séquence.

On peut définir récursivement le composé (« produit » dans notre notation) d'une séquence d'éléments de E — c'est-à-dire d'une famille indexée par un ensemble fini totalement ordonné — de telle manière que

.

On démontre alors :

  • un théorème d'associativité selon lequel, dans un monoïde, un produit , évalué par cette définition ou en plaçant les parenthèses de n'importe quelle autre façon, donnera le même résultat (par exemple : ).
  • un théorème de commutativité selon lequel, dans un monoïde commutatif (ou plus généralement, pour une famille dont les éléments commutent deux à deux) le composé d'une famille finie ne dépend pas de l'ordre choisi sur l'index de cette famille.

On démontre également le lemme suivant, qui nous servira au chapitre « Produit de groupes » :

Début d'un lemme


Fin du lemme


Remarque
C'est vrai a fortiori dans l'hypothèse plus forte où tous les éléments x1, … , xn, y1, … , yn commutent deux à deux. Dans ce cas, l'énoncé est un cas particulier du théorème de commutativité.