Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Groupes libres, premiers éléments

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Groupes libres, premiers éléments
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Chapitre no 44
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Caractères irréductibles de quelques groupes

Exercices :

Groupes libres, premiers éléments
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Théorie des groupes/Groupes libres, premiers éléments
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Dans ce chapitre, on va exposer les premiers éléments sur les groupes libres. Le contenu du chapitre et ses exercices sont à la portée du lecteur connaissant les sept premiers chapitres de la leçon (groupe, sous-groupe, partie génératrice, homomorphisme, sous-groupe normal, groupe quotient, groupes monogènes et , éléments conjugués) et les propriétés les plus classiques des cardinaux infinis.

Groupe libre construit sur un ensemble[modifier | modifier le wikicode]



Remarque. L'expression « mot signé » n'est pas standard. Bourbaki[1] définit un mot sur l'ensemble X comme un multiplet d'éléments de X. Cette notion de mot sur X ne revient évidemment pas à celle de mot signé sur X qui est définie ici. Nos mots signés sur X sont, dans le langage de Bourbaki, les mots sur le produit cartésien
J. Calais[2] recourt à un ensemble choisi arbitrairement parmi les ensembles équipotents à X et disjoints de X; elle parle alors de « mot sur  », où « mot » a le même sens que dans Bourbaki. Les « mots sur  » de J. Calais sont une autre version de nos « mots signés sur X ».
J.J. Rotman[3] et D.J.S. Robinson[4] recourent eux aussi à un ensemble choisi arbitrairement parmi les ensembles équipotents à X et disjoints de X; Rotman appelle « word on X » et Robinson appelle « word in X » ce que J. Calais appelle « mot sur  ». Les « words on X » de Rotman et les « words in X » de Robinson sont donc une autre version de nos « mots signés sur X ».






On vérifie facilement que, dans l'ensemble des mots signés sur X, définit une loi de composition interne associative admettant le mot signé vide pour élément neutre. C'est donc une loi de monoïde.

Pour des raisons qui apparaîtront plus loin, on écrit généralement le mot signé sous la forme

et on omet même les égaux à 1. Dans cette notation, le mot signé vide est noté 1.
La notation d'un mot signé sur X est ambiguë si l'ensemble X est supposé contenu dans un groupe, cas que nous rencontrerons. Il faudra alors faire les distinctions nécessaires.




Exemples. Tout mot signé de longueur est réduit.

Le mot signé est réduit.
Un mot signé de la forme n'est pas réduit.
Si a et b sont distincts, tout mot signé de la forme est réduit.

Nous allons maintenant définir une loi de composition interne dans l'ensemble des mots réduits sur X. La juxtaposition (mise bout à bout) ne convient pas, car, par exemple, x x et x-1 sont des mots réduits mais x x x-1 n'en est pas un.



Le résultat est le même que si on mettait v et w bout à bout et qu'on supprimait du mot signé ainsi obtenu l'éventuel « digramme » de la forme ou , en continuant les suppressions tant qu'il reste un tel « digramme ».

Par exemple, si a, b, c sont trois différents éléments de X, le composé réduit v w de v = a b b c-1 et de w = c b-1 a est a b a.

On a employé l'expression « composé réduit » pour faire la distinction avec la mise bout à bout, mais dans la suite, on dira « composé » tout court au lieu de « composé réduit ».

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. On a noté que le composé de deux mots réduits sur X est un mot réduit sur X, donc la loi de composition en question est une loi de composition interne. On pourrait démontrer l'associativité de cette loi par d'assez longues distinctions de cas, mais cette méthode étant fastidieuse, nous allons préférer un procédé de van der Waerden.
Pour toute lettre signée dans F(X), notons (où les barres verticales n'ont rien à voir avec le cardinal) l'application de F(X) dans lui-même définie de la façon suivante :

pour tout mot réduit v,
.

(Il est clair que la fonction prend bien ses valeurs dans F(X).)
Vérifions que

(thèse 1)

Si v est un mot signé qui ne commence pas par la lettre signée , nous avons

d'où

(2)

Si maintenant v commence par la lettre signée , nous avons

(3) pour un certain mot signé w ne commençant pas par la lettre signée ; alors

d'où,

.

Puisque w ne commence pas par la lettre signée , cela peut s'écrire

,

ou encore, d'après (3),

Avec (2), cela prouve que

Les hypothèses sur étant satisfaites par , on en tire

On a donc prouvé la thése (1), donc et sont deux permutations de F(X), inverses l'une de l'autre.
Notons le groupe symétrique de F(X); notons le sous-groupe de engendré par les permutations , où x parcourt X.
D'après la « description constructive du sous-groupe engendré » (chapitre Groupes, premières notions), tout élément g de peut s'écrire

avec n naturel (), dans X et dans {1, -1}.
Puisque nous avons vu que et sont deux permutations de F(X) inverses l'une de l'autre, cela peut encore s'écrire

En considérant une telle écriture de gn est le plus petit possible, on voit qu'on peut supposer qu'il n'y a pas dans {1, ... , n} deux indices consécutifs i et i + 1 tels qu'on ait à la fois et . Nous dirons qu'une décomposition de g pour laquelle il n'y a pas deux tels indices est réduite.
Alors, d'après la définition de ,

autrement dit, en revenant à la notation initiale des mots signés,

Il en résulte que la décomposition réduite de g est unique : si est une décomposition réduite de g, alors et pour tout i dans {1, ... , n}.
Notons f l'application de F(X) dans telle que, pour tout élément (mot réduit)

D'après ce qui précède,

(4) f est une bijection de F(X) sur .

Prouvons que c'est un homomorphisme de magmas, c'est-à-dire que, pour tous mots réduits v et w sur X,

(thèse 5)

Soit s le plus grand nombre naturel possédant la propriété suivante :

v est de la forme

et

w est de la forme

Par définition de la loi de composition dans F(X), nous avons

donc, par définition de f,

(6)

D'autre part,

et

donc

La comparaison avec (6) donne

ce qui prouve notre thèse (5). Donc f est un homomorphisme de magmas de F(X) dans . Nous avons vu en (4) que f est une bijection, donc c'est un isomorphisme de magmas de F(X) sur . Puisque est un groupe et qu'un magma isomorphe comme magma à un groupe est un groupe (voir chapitre Groupes, premières notions), nous avons prouvé que F(X) est un groupe (isomorphe à ).
Les deux autres assertions de l'énoncé se vérifient facilement.




Pour tout élément de X, notons le mot signé ; notons l'ensemble des , où parcourt X.
Alors définit une bijection de X sur la partie de F(X). On commet souvent l'abus d'identifier à et à .
Le mot signé peut s'écrire, selon la loi du groupe F(X),

Si, pour tout élément de X, on identifie à x, le mot signé s'écrit donc

ce qui explique pourquoi nous avons introduit cette notation plus haut.

Groupes libres[modifier | modifier le wikicode]



Remarques. 1° On peut noter l'analogie entre la définition d'une base d'un groupe et une caractérisation des bases d'un espace vectoriel ou, plus généralement, d'un module.
2° On définit un groupe abélien libre comme un groupe abélien qui est libre en tant que -module. Dans l'expression « groupe abélien libre », le mot « libre » n'a pas le même sens que dans l'expression « groupe libre » : un groupe abélien libre n'est généralement pas un groupe libre.
3° Un groupe admet sa partie vide pour base si et seulement s'il est trivial (c'est-à-dire réduit à son élément neutre). En effet, dire que l'ensemble vide est une base d'un groupe F revient à dire que pour tout groupe G, il existe un et un seul homomorphisme de F dans G. Cette condition est évidemment satisfaite si F est trivial. Réciproquement, supposons que pour tout groupe G, il existe un et un seul homomorphisme de F dans G. C'est alors vrai pour G égal à F, donc il existe un seul homomorphisme de F dans lui-même, donc l'endomorphisme identité de F et l'endomorphisme de F constant de valeur 1 sont égaux, ce qui revient à dire que F est réduit à son élément neutre.
4° Le singleton {1} est une base du groupe , +. En effet, cela revient à dire que pour tout groupe G et tout élément x de G, il existe un et un seul homomorphisme de , + qui applique 1 sur x. Or on a noté que est le seul homomorphisme de , + qui applique 1 sur x. (Voir chapitre Groupes, premières notions.)
5° On verra dans les exercices des exemples de groupes n'admettant pas de bases.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. La seconde assertion de l'énoncé résultant évidemment de la première, nous nous contenterons de démontrer la première (ce que le lecteur, d'ailleurs, devrait normalement pouvoir faire lui-même en s'aidant d'un diagramme).
Soit K un groupe, soit f une application de dans K. Il s'agit de prouver

(thèse 1) qu'il existe un et un seul homomorphisme de H dans K qui prolonge f.

Désignons par l'application

Puisque X est une base de G, il existe un et un seul homomorphisme de G dans K qui prolonge , c'est-à-dire tel que

pour tout x dans X,

Donc, pour tout y dans ,

ce qui montre que

(2) est un homomorphisme de H dans K qui prolonge f.

Si est un « autre » homomorphisme de H dans K qui prolonge f, nous avons,

pour tout x dans X,

donc est un homomorphisme de G dans K qui prolonge . Par unicité de , il faut

d'où

.

Joint à (2), ceci montre que est l'unique homomorphisme de H dans K qui prolonge f, d'où notre thèse (1).

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Soit G un groupe. Notons l'application de Hom(L, G) dans qui à tout homomorphisme de L dans G fait correspondre la restriction de à X. Du fait que X est une base de L, il résulte que est une bijection de Hom(L, G) sur , donc et Hom(L, G) sont équipotents.
Remarque. Ce lemme nous servira, plus loin dans ce chapitre, à démontrer l'équipotence des bases d'un même groupe libre.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Soit G un groupe, soit f une application de dans G; il s'agit de prouver qu'il existe un et un seul homomorphisme de F(X) dans G qui prolonge f.
Pour tout élément

de F(X),

posons

le second membre étant calculé dans le groupe G. Nous définissons ainsi une application de F(X) dans G.
En faisant nous trouvons

donc

(1) l'application prolonge f.

Prouvons que est un homomorphisme de F(X) dans G.
Soient v, w deux éléments de F(X), c'est-à-dire deux mots réduits sur X; il s'agit de prouver que

le produit du premier membre étant calculé dans le groupe F(X) et le produit du second membre étant calculé dans le groupe G.
Soit s le plus grand nombre naturel () possédant la propriété suivante :

v est de la forme

et w est de la forme

avec

Alors, par définition de la loi de groupe de F(X), vw est le mot réduit

donc, par définition de ,

(2)

D'autre part, toujours par définition de ,

et

d'où

La comparaison avec (2) montre que

,

comme annoncé. De ceci et de (1), il résulte que est un homomorphisme de F(X) dans G qui prolonge f. Par exemple parce que est clairement une partie génératrice du groupe F(X), est le seul homomorphisme de F(X) dans G qui prolonge f, ce qui achève la démonstration.

Remarques. 1° Le théorème qui précède montre essentiellement qu'étant donné un ensemble X, il existe un groupe libre admettant une base équipotente à X.
2° Rappelons que, vu la bijection canonique de sur , on commet volontiers l'abus de langage d'identifier à . On dit alors que X est une base de F(X). On pourrait d'ailleurs, à l'aide de remplacements convenables dans F(X) et d'un transport de structure, construire un groupe libre dont X serait une base en toute rigueur des termes, mais cela n'en vaut pas la peine. Dans le présent chapitre, on continuera à faire la distinction entre et , mais on avertit l'étudiant qu'un examinateur pourrait trouver qu'il s'agit là d'une mauvaise pratique.




Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration.
Supposons d'abord 1° et prouvons 2°.
De façon générale, soit B une base d'un groupe H. Par définition d'une base, il existe un et un seul homomorphisme de H dans lui-même qui prolonge l'application de B dans H. Puisque l'endomorphisme identité de H est un tel homomorphisme de H dans lui-même, cela prouve que

(1) si B est une base d'un groupe H, le seul endomorphisme de H qui fixe tout élément de B est l'endomorphisme identité.

En particulier, puisque nous supposons que X est une base de L,

(2) le seul endomorphisme de L qui fixe tout élément de X est l'endomorphisme identité.

De même, puisque d'après l'énoncé 4, l'ensemble des ((x, 1)), où x parcourt X, est une base de F(X),

(3) le seul endomorphisme de F(X) qui fixe tout élément de est l'endomorphisme identité.

(En fait, ce dernier point peut aussi se déduire du fait que est clairement une partie génératrice de F(X).)
Puisque est une base de F(X),

(4) il existe un (et un seul) homomorphisme

qui, pour tout x dans X, applique ((x, 1)) sur x.
D'autre part, puisqu'on suppose que X est une base de L, il existe un (et un seul) homomorphisme

qui, pour tout x dans X, applique x sur ((x, 1)).
Alors est un endomorphisme de F(X) qui fixe tout élément ((x, 1)) de et est un endomorphisme de L qui fixe tout élément x de X.
D'après (1), il en résulte que est l'endomorphisme identité de F(X) et que est l'endomorphisme identité de L Donc et sont des isomorphismes réciproques l'un de l'autre. En particulier, est un isomorphisme de F(X) sur L, ce qui, vu la définition (4) de , prouve que la condition 1° de l'énoncé entraîne la condition 2°.

Supposons maintenant 2° et prouvons 3°.
D'après l'hypothèse 2°, l'homomorphisme qui, pour tout x dans X, applique ((x, 1)) sur x est un isomorphisme. Le fait que soit bijectif signifie que

(5) pour tout élément y de L, il existe un et un seul élément de F(X) tel que

Puisque est un homomorphisme de F(X) dans L et que

dans le groupe F(X), le résultat (5) revient à dire (compte tenu de la définition de ) que pour tout élément y de L, il existe un et un seul élément de F(X) tel que

le second membre étant calculé dans L. Cela prouve que la condition 3° est satisfaite, comme annoncé.

Supposons maintenant 3° et prouvons 1°.
Soient G un groupe et f une application de X dans G; il s'agit de prouver

(thèse 6) qu'il existe un et un seul homomorphisme de L dans G qui prolonge f.

Considérons l'application

Puisque, d'après l'énoncé 4, est une base de F(X), cette application h se prolonge (d'une seule façon) en un homomorphisme de F(X) dans L. Puisque est un homomorphisme, nous avons, pour tout élément de F(X),

(7)

le second membre étant calculé dans L.
Puisque nous supposons que la condition 3° (existence et unité d'une certaine décomposition) est satisfaite, la relation (7) montre que l'homomorphisme est bijectif et est donc un isomorphisme de F(X) sur L.
Puisque prolonge h,

(8) l'isomorphisme de L sur F(X) applique tout élément x de X sur ((x, 1)).

D'autre part, puisque est une base de F(X), l'application

se prolonge (d'une seule façon) en un homomorphisme de F(X) dans G.

Alors, compte tenu de (8), est un homomorphisme de L dans G qui, pour tout x dans X, applique x sur f(x); autrement dit,

(9) l'homomorphisme de L dans G prolonge f.

La condition 3° de l'énoncé, que nous supposons satisfaite, entraîne clairement que X est une partie génératrice de L, donc, d'après (9), est l'unique homomorphisme de L dans G qui prolonge f, ce qui prouve notre thèse (6), donc 3° entraîne 1°.
Nous avons donc prouvé la première assertion de l'énoncé, à savoir l'équivalence des conditions 1° à 3°. La seconde assertion de l'énoncé, à savoir que tout groupe de base X est isomorphe à F(X), résulte évidemment du fait que 1° entraîne 2°.




Avec cette définition, l'équivalence des conditions 1° et 3° de l'énoncé 5 revient à l'énoncé suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Soit X une base d'un groupe L. La condition 3° de l'énoncé 5 est alors satisfaite. Or l'existence affirmée par cette condition entraîne que X est une partie génératrice de L. (On l'a d'ailleurs noté dans la démonstration de l'énoncé 5, partie 3° 1°.)

Rappelons (voir un exercice de la série Sous-groupe distingué, groupe quotient) que s'il existe un homomorphisme surjectif du groupe G sur le groupe H, on dit que H est un quotient de G.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Notons l'homomorphisme de F(X) dans G qui prolonge l'application L'image de l'application f est la partie X de G, donc, puisque prolonge f, l'image de contient X. Puisque X est une partie génératrice de G et un homomorphisme, il en résulte que est surjectif. Donc G est isomorphe au quotient , ce qui prouve la première assertion de l'énoncé.
En prenant pour X l'ensemble (sous-jacent) de G, nous trouvons que G est un quotient du groupe libre F(G), ce qui prouve la seconde assertion de l'énoncé.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Puisque Y est une partie génératrice de L, il résulte de l'énoncé 7 que

(1) L est un quotient de F(Y).

Donc

(2)

Puisque X est une base de L, L est isomorphe à F(X) (énoncé 5, seconde assertion), donc (2) peut s'écrire

(3)

Supposons d'abord que

(hyp. 4) la partie Y de G est infinie.

Rappelons que, de façon générale (voir un exercice de la série Groupes, premières notions),

(5) si G est un groupe, si T est une partie génératrice infinie de G, alors

Puisque est équipotente à Y, elle est infinie; puisque, de plus, est une partie génératrice (et même une base) de F(Y), la relation (5) donne

d'où, puisque est équipotente à Y,

D'après (3), on a donc

(6)

Puisque est équipotent à X et contenu dans F(X), nous avons , donc (6) donne

ce qui prouve que la première assertion de l'énoncé est vraie si Y est infinie.

Supposons maintenant Y finie.
Puisque X est une base de L et une base de F(Y), nous avons, d'après l'énoncé 3,

(7)

et

(8)

désigne « le » groupe à deux éléments.
De façon générale, si un groupe H est un quotient d'un groupe G, on a, pour tout groupe K,

(9)

(Voir un problème de la série Sous-groupe distingué, groupe quotient.)
Or on a vu en (1) que L est un quotient de F(Y). Donc, d'après (9),

D'après (7) et (8), cela peut s'écrire

Puisque nous supposons fini, il en résulte que \vert X \vert </math> est lui aussi fini et que (car l'application de dans lui-même est strictement croissante).
Cela achève la démonstration de la première assertion de l'énoncé. La seconde résulte clairement de la première.

Remarques. 1° Pour démontrer la relation nous n'avons pas supposé que la partie Y est finie, mais nous avons fait cette supposition pour déduire de que . Il est nécessaire de distinguer les cas Y finie et Y infinie, car la question de savoir si pour tous ensembles infinis X et Y la relation entraîne est indécidable dans l'axiomatique ZFC de la théorie des ensembles (sauf contradiction dans cette axiomatique)[5].
2° Pour prouver que deux bases d'un même groupe libre ont toujours le même cardinal, on peut aussi démontrer que l'abélianisé d'un groupe libre de base X est un -module admettant une base équipotente à X et utiliser le fait que deux bases d'un même -module ont toujours le même cardinal[6].




Remarque. Nous avons vu (remarque 3° après la définition d'une base) qu'un groupe admet sa partie vide pour base si et seulement s'il est trivial (réduit à l'élément neutre). Cela revient à dire qu'un groupe est libre de rang 0 si et seulement s'il est trivial.


Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Prouvons d'abord que si X et Y sont équipotentes, F et G sont isomorphes. Nous pouvons le fairedirectement à partir de la définition d'une base.
Par hypothèse, il existe une bijection f de X sur Y. Puisque X est une base de F, il existe un (et un seul) homomorphisme de F dans G qui prolonge f, c'est-à-dire tel que

pour tout x dans X,

D'autre part, puisque Y est une base de G, il existe un (et un seul) homomorphisme de G dans F tel que

pour tout y dans Y,

Alors, pour tout x dans X,

Donc est un homomorphisme dans lui-même qui prolonge la transformation identique de X. Puisque X est une base de F, est donc l'endomorphisme identique de F.
De même, est l'endomorphisme identique de G. Donc et sont des homomorphismes réciproques l'un de l'autre et sont donc des isomorphismes, donc F et G sont isomorphes, comme annoncé.

Réciproquement, supposons que F et G sont isomorphes et prouvons que X et Y sont équipotentes. Choisissons un isomorphisme de F sur G. Alors (énoncé 2) est une base de G. Puisque Y est elle aussi une base de G, et sont donc équipotentes (énoncé 8). Puisque et sont équipotentes, il en résulte que X et Y sont équipotentes, comme annoncé.

Remarque. On a vu (remarque 4° suivant la définition d'une base) que le singleton {1} est une base du groupe . Donc, d'après l'énoncé 9, un groupe est libre de rang 1 si et seulement s'il est isomorphe à .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. I.78.
  2. J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 329-330.
  3. J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage corrigé de 1999, p. 344.
  4. D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2e éd., 1996, p. 45.
  5. Voir J.-L. Krivine, Théorie des ensembles, 2007, chap. 12.
  6. Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, théor. 9.23, p. 344-345.