Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Groupes, premières notions

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Groupes, premières notions
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Chapitre no 2
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Lois de composition internes, monoïdes
Chap. suiv. :Classes modulo un sous-groupe

Exercices :

Groupes, premières notions
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Groupe : définitions et exemples[modifier | modifier le wikicode]



Un groupe est donc un ensemble muni d'une loi de composition interne possédant les propriétés suivantes :

  • La loi de composition est associative :  ;
  • Il existe un (et un seul) élément neutre, noté e vérifiant  ;
  • Tout élément a un symétrique (dit aussi inverse en notation multiplicative et opposé en notation additive),

Remarque : le symétrique de x est noté x-1 en notation multiplicative et -x en notation additive.

Comme on l'a vu dans le chapitre sur les monoïdes,

  • l'élément neutre est unique ;
  • un élément donné n'a qu'un symétrique ;
  • le symétrique du symétrique d'un élément x est x lui-même.

On vérifie facilement que si un magma M est isomorphe comme magma à un groupe, M est un groupe.


Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Nous avons vu dans le chapitre sur les monoïdes que tout élément inversible d'un monoïde est simplifiable.


Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Supposons d’abord xy = 1 et prouvons que y est l'inverse de x. Il suffit de multiplier à gauche les deux membres de l'égalité xy = 1 par x-1 et d'appliquer l'associativité. Si maintenant y x = 1, on peut multiplier à droite par x-1, ou encore dire que d’après le résultat précédent, x est l'inverse de y, ce qui entraîne que y est l'inverse de x.




Exemples.

1)  : groupe trivial (la loi est définie par ).

2) Soit X un ensemble. Rappelons qu'en théorie des ensembles, on appelle permutation de X une bijection de X sur lui-même. L'application de X dans lui-même qui applique chaque élément sur lui-même est évidemment une permutation de X, que nous noterons idX. Soient f, g et h des permutations de X. On montre en théorie des ensembles que

  • ,

f-1 désigne la permutation réciproque de f, définie en théorie des ensembles. Cela montre que l’ensemble des permutations de X, muni de la loi de composition , est un groupe, qu'on appelle groupe symétrique de X, et qu'on note ou .

3) L'ensemble des entiers relatifs (ou entiers rationnels), muni de l'addition des entiers est un autre exemple de groupe. (Cet ensemble est connu dès le niveau des lycées et collèges, mais nous le construirons dans la suite du présent chapitre.) On peut constater que l'addition de deux entiers ne dépend pas de l’ordre dans lequel l'addition est effectuée. On dit que c’est un groupe commutatif :




Début d’un théorème


Fin du théorème


Démonstration. Si x et y sont deux éléments distincts de X, désignons par (x, y) la permutation de X qui applique x sur y, y sur x, et laisse fixes tous les autres éléments de X. Par hypothèse, nous pouvons choisir trois éléments distincts a, b et c de X. Les permutations

et

ne sont pas égales, car la première applique b sur c et la seconde l'applique sur a. Ceci prouve bien que le groupe SX n’est pas commutatif.

Remarque : Quand on parle d'un groupe, il arrive (souvent) que la loi soit sous-entendue, mais s'il y a un risque de confusion il faut la mettre explicitement.
Par convention tacite, la loi d'un groupe est généralement notée de la même façon que la multiplication, d'élément neutre 1. Les groupes abéliens sont notés comme l'addition, d'élément neutre 0 et d'inverse -x (on dit « l'opposé »). Attention cependant, aucune convention explicite n'existe, les auteurs sont donc libres de noter les lois comme ils veulent ; et souvent les notations dépendent de la nature des objets constituant le groupe.

Extension de la loi aux parties[modifier | modifier le wikicode]

Si et sont des parties de , nous désignerons par l’ensemble des éléments de de la forme avec et . Nous désignerons par l’ensemble des éléments de G de la forme avec .
Il est clair que, pour toutes parties et de , nous avons :

Si X est le singleton , on écrit au lieu de et, de même, au lieu de .

En notation additive, on écrit au lieu de , et au lieu de .

Construction du groupe des entiers relatifs (ou entiers rationnels)[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Construction des entiers relatifs ».

(Cette section peut être omise en première lecture.)

L'ensemble des nombres naturels, muni de l'addition, est un monoïde commutatif où tout élément est simplifiable. Le seul élément de ce monoïde qui admette un opposé est 0[1]. Nous allons montrer que peut être « plongé » dans un groupe. De façon générale, si M est un monoïde commutatif, on peut « plonger » M dans un monoïde commutatif plus grand, où tout élément est de la forme ms-1, -que l’on notera (m / s) en notation multiplicative et (m - s) en notation additive,- m appartenant à M et s étant un élément simplifiable de M. On procède comme suit. Soit S l’ensemble des éléments simplifiables de M. Dans le produit cartésien , on considère la relation d'équivalence entre et définie par la condition . On note m/s (en contexte multiplicatif) la classe d'équivalence de (m,s). On montre que, pour et , la classe d'équivalence de (mn, st) ne dépend que des classes d'équivalence de (m,s) et (n,t), ce qui permet de munir l’ensemble quotient d'une loi de composition qui peut être caractérisée par . On munit ainsi l’ensemble quotient d'une structure de monoïde. Ce monoïde est noté . Le monoïde M est isomorphe au sous-monoïde de formé par les éléments de la forme (m/1), m parcourant M. On identifie M à ce sous-monoïde de et on a donc bien «plongé» M dans un monoïde tel qu'annoncé. On vérifie en effet (i) que tout élément simplifiable s de M est inversible dans , (ii) que s-1 est identique à la classe associée au couple (1,s), et (iii) que toute classe m/s associée au couple (m,s) est égale au produit ms-1 dans .

Si tout élément de M est simplifiable, S est égal à M tout entier et est un groupe. On étend, dans ce cas, la notation a/b à tous les éléments a et b du groupe , en convenant que ( en contexte additif).
Dans le cas particulier où M est le monoïde additif , on plonge ainsi dans un groupe commutatif noté ℤ, +, qu'on appelle groupe des entiers rationnels, ou des entiers relatifs.

Soient a, b deux nombres naturels, et soit n le nombre naturel constituant l'écart entre a et b. Ainsi a+n=b ou bien a=b+n, selon que ou bien . L'élément (a-b) de ℤ peut donc s'écrire d'une des deux façons (0-n), (n-0) avec n naturel (selon que ou ). On en tire que tout élément de ℤ est égal à un élément de la forme -n ou n, avec n naturel (si on identifie comme ci-dessus à un sous-monoïde de ℤ). Autrement dit, . On peut aussi montrer que 0 est le seul élément de ℤ qui appartienne à la fois à et à [2].

On a dans ℤ une relation d'ordre total

qui coïncide dans avec la relation d'ordre usuelle dans . Cette relation d'ordre dans ℤ est dite relation d'ordre usuelle dans ℤ. Quand nous parlerons d'une relation d'ordre dans ℤ sans la préciser, il s'agira de celle-là.

Si r est un entier relatif, il résulte d'une remarque ci-dessus que r ou -r est naturel et qu’ils ne le sont tous deux que si r = -r = 0. On appelle valeur absolue de r et on note l'unique entier naturel qui appartient à l’ensemble {r, -r}. C'est aussi le plus grand des deux entiers rationnels r et -r.

Remarque : la méthode de plongement ci-dessus sert aussi à définir le corps des fractions d'un anneau intègre.

Sous-groupes[modifier | modifier le wikicode]



D'après la condition de stabilité, la loi de G induit une loi de composition interne dans H, qui, pour tous éléments h1, h2 de H, applique (h1, h2) sur l'élément h1 h2 de H. Cette loi induite est évidemment associative. Puisque l'élément neutre de G appartient à H, il est évidemment élément neutre pour la loi induite. Enfin, puisque pour tout élément h de H, l'inverse de h pour * appartient à H, il est clair que cet inverse est aussi l'inverse de h pour la loi induite. Tout ceci montre que la loi induite fait de H un groupe.

Pour exprimer que H est sous-groupe de G, on écrit souvent[3] plutôt que . De même, pour exprimer que H est un sous-groupe propre de G (c'est-à-dire distinct de G), on écrit souvent[4] .

Début d’un théorème


Fin du théorème


Exemples :

  • Dans tout groupe, l’ensemble constitué de l'élément neutre est un sous-groupe.
  • Dans , toute partie de la forme avec est un sous-groupe. Nous verrons dans un autre chapitre que tout sous-groupe de est de cette forme.


Début d’un théorème


Fin du théorème


Panneau d’avertissement Une réunion de sous-groupes n’est pas toujours un sous-groupe. (Par exemple, dans , est un sous-groupe, est un sous-groupe mais la réunion n’est pas un groupe car .) Voir dans les exercices à quelle condition la réunion de deux sous-groupes est un sous-groupe.






Si G est un groupe fini, tout sous-groupe propre de G est contenu dans au moins un sous-groupe maximal. (Si H est un sous-groupe propre de G, il existe au moins un sous-groupe propre de G qui contient H, à savoir H lui-même. L'ensemble des ordres des sous-groupes propres de G qui contiennent H est donc non vide. D'autre part, puisque G est fini, cet ensemble est fini. Comme tout ensemble fini non vide de nombres naturels admet un plus grand élément, il existe donc un sous-groupe propre de G contenant H dont l’ordre est le plus grand possible. Il est clair qu'un tel sous-groupe propre de G est un sous-groupe maximal de G. On pourrait dire aussi que l’ensemble des sous-groupes propres de G contenant H, ordonné par inclusion, est un ensemble ordonné fini non vide et admet donc un élément maximal.) En particulier, tout groupe fini G non réduit à l'élément neutre contient au moins un sous-groupe maximal. (En effet, d’après ce qui précède, le sous-groupe propre 1 de G est contenu dans au moins un sous-groupe maximal de G.)

Homomorphismes[modifier | modifier le wikicode]



Remarque 
Un homomorphisme d'un groupe G dans lui-même est appelé endomorphisme (de groupe) de G.

Rappelons que selon les conventions sur la préséance des évaluations, f(x)–1 désigne ( f(x) )–1. Cela étant, nous avons la



Exemples d'homomorphismes.

1) Si G et H sont des groupes, l’application de G dans H qui envoie tout élément de G sur l'élément neutre de H est un homomorphisme de G dans H, qu'on appelle l'homomorphisme trivial de G dans H.
2) Nous avons vu que, dans Z, la multiplication est distributive par rapport à l'addition. On en tire que si n est un élément de Z, l’application de Z dans lui-même (multiplication par n) est un endomorphisme de Z.

Pour un morphisme de groupes de G dans H, l'image de tout sous-groupe de G et la préimage de tout sous-groupe de H, sont des sous-groupes de H et de G respectivement (c'est une conséquence immédiate de la propriété correspondante pour les magmas et de la proposition précédente). En particulier :






Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Isomorphismes[modifier | modifier le wikicode]

  • Si un homomorphisme est bijectif, on parle d'isomorphisme de groupes. (On montre qu'alors est également un morphisme de groupes).
  • Un isomorphisme d'un groupe G sur lui-même est appelé un automorphisme de G.

Soient G, H et K trois groupes. Il existe évidemment un isomorphisme de G sur lui-même, car la transformation identique est un tel isomorphisme. S'il existe un isomorphisme de G sur H, il existe un isomorphisme de H sur G (l'inverse de n’importe quel isomorphisme de G sur H). Enfin, s'il existe un isomorphisme f de G sur H et un isomorphisme g de H sur K, alors il existe un isomorphisme de G sur K, car est un tel isomorphisme. Ceci montre que la relation « il existe un isomorphisme de G sur H » est une relation d'équivalence entre groupes.




D'après ce qui précède, la relation « être des groupes isomorphes » est une relation d'équivalence. On peut considérer que deux groupes isomorphes ont la même structure de groupe, qu'on passe de l'un à l'autre par un changement de notation.

Nous écrirons ou encore pour exprimer que deux groupes G et H sont isomorphes.

Exemples d'isomorphismes de groupes.

1) Si G est un groupe, la permutation identique de G est évidemment un automorphisme de G.
2) L'application de Z dans lui-même est un automorphisme du groupe (additif) Z. Plus généralement, si G est un groupe commutatif, l’application de G dans lui-même est un automorphisme de G.
3) Automorphismes intérieurs. Soient G un groupe et g un élément de G. L'application est un automorphisme de G. (Par exemple, pour montrer que cette application est une permutation, on peut montrer qu'elle admet l’application pour réciproque.) Un tel automorphisme est appelé automorphisme intérieur de G.
4) Si X et Y sont des ensembles équipotents, si f est une bijection de X sur Y, l’application du groupe symétrique SX dans le groupe symétrique SY est un isomorphisme de SX sur SY. (Pour montrer que c’est une bijection, noter qu'on obtient sa réciproque en remplaçant par .) Dans le cas particulier où X et Y sont égaux, f est un élément du groupe SX et l'isomorphisme en question est un automorphisme intérieur.
Début d’un théorème


Fin du théorème


Puissances d'un élément[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe noté multiplicativement, x un élément de G et n un nombre naturel. On appelle n-ième puissance de x et on note le composé d'une séquence de n éléments égaux à x. (Ce composé a été défini au chapitre Lois de composition internes, monoïdes.)
Si le groupe G est noté additivement, on écrit nx plutôt que .
En particulier, en notation multiplicative, , et en notation additive, 0x = 0 (le premier zéro étant celui de Z et le second celui de G).
On étend la définition de au cas où n est un entier relatif négatif en posant, pour r naturel > 0,

.

En notation additive, ceci s'écrit

.

On démontre (par d'assez fastidieuses récurrences et distinctions entre cas positif et négatif) que, pour tous entiers rationnels m et n,

,

ce qui montre que, pour un x donné, l’application de ℤ dans G est un homomorphisme.
En notation additive : (m+n)x = mx+nx et, pour un x donné, l’application de ℤ dans G est un homomorphisme. Si le groupe G est commutatif, alors (récurrence sur n ou application d'un résultat plus général sur les séquences si n est naturel; passage aux inverses si n est négatif). En notation additive, cela s'écrit . Cela revient à dire que si G est commutatif, alors, pour un entier relatif n donné, l'application

( en notation additive)

de G dans lui-même est un endomorphisme.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Démonstration. Récurrence sur n pour n positif; passage aux inverses pour n négatif.

Multiplication dans ℤ[modifier | modifier le wikicode]

Dans le cas particulier où G est le groupe commutatif ℤ noté additivement, l’application est une loi de composition interne dans ℤ, qu'on appelle multiplication dans ℤ et qu'on note multiplicativement (par juxtaposition ou au moyen du symbole ). À l'aide des résultats mentionnés dans la section précédente, on peut démontrer les propriétés classiques de la multiplication dans ℤ : coïncidence dans avec la multiplication dans définie en théorie des ensembles, associativité, neutralité de 1, commutativité, distributivité à gauche et à droite par rapport à l'addition. (Nous verrons plus loin qu'en raison de ces propriétés, l'addition et la multiplication font de ℤ un anneau commutatif.)

Si r et s sont des entiers rationnels, . On dit qu'un entier relatif a divise un entier relatif b s'il existe un entier relatif c tel que a c = b. Il est clair qu'un entier relatif a divise un entier relatif b dans ℤ si et seulement si divise dans . En particulier, un nombre naturel a divise un nombre naturel b dans ℤ si et seulement si a divise b dans .

Si G est un groupe, x un élément de G et m, n des entiers rationnels, nous avons

en notation multiplicative

et

en notation additive.

L'ensemble ℤ, muni de son addition et de sa multiplication, est un anneau commutatif. (Pour la notion d'anneau, voir un cours d'algèbre.) Par une construction analogue à celle des entiers relatifs, on construit le corps des nombres rationnels, qui est le corps des fractions de l'anneau ℤ. Nous ne détaillerons pas cette construction et supposerons connu le corps des nombres rationnels, ainsi que ses propriétés de corps ordonné.

Parties génératrices[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Partie génératrice d'un groupe ».

Si A est une partie d'un groupe G, l'intersection des sous-groupes de G qui contiennent A est un sous-groupe de G d’après ce qui précède. C'est évidemment le plus petit sous-groupe de G contenant A. On l'appelle le sous-groupe engendré par A et nous le noterons 〈A〉. On dit qu'une partie A d'un groupe G engendre G, ou encore est une partie génératrice de G, si 〈A〉 = G. Si est une famille de parties de G, le sous-groupe de G engendré par est aussi appelé le sous-groupe de G engendré par les parties , ou encore par les . Nous noterons ce sous-groupe . On dit qu'un groupe est de type fini s'il admet une partie génératrice finie.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Si sont des parties de G, le sous-groupe de G engendré par se désigne aussi comme le sous-groupe de G engendré par et se note plutôt que .

Si la partie A de G se réduit à un élément a, on dit « sous-groupe engendré par a » au lieu de « sous-groupe engendré par {a} » et on écrit 〈a〉 au lieu de 〈{a}〉. De même, le sous-groupe engendré par la partie finie est appelé « sous-groupe engendré par  » et noté . Un groupe est dit monogène s'il est engendré par une partie à un élément.

D'après la caractérisation ci-dessus des éléments de 〈A〉, il est clair que si a est un élément de G, 〈a〉 est l’ensemble des éléments de G de la forme , n parcourant ℤ.


Début d’un théorème


Fin du théorème




Puisque l'image d'un sous-groupe par un homomorphisme est un sous-groupe du groupe d'arrivée, f(〈A〉) est un sous-groupe de H ; de plus, puisque , f(〈A〉) contient f(A). Ainsi, f(〈A〉) est un sous-groupe de H qui contient f(A). Par minimalité de f(〈A〉), nous avons donc

.

Prouvons l'inclusion réciproque, à savoir

.

Il revient au même de prouver que tout sous-groupe K de H qui contient f(A) contient f(<A>). Or est un sous-groupe de G qui contient A, donc, par minimalité de <A>,

, donc , ce qui démontre notre argument.
Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d’un théorème


Fin du théorème


Opposé d'un groupe[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe, noté multiplicativement (par juxtaposition). La loi de composition sur l’ensemble sous-jacent de G définie par :

est une loi de groupe. Le groupe ainsi défini est appelé le groupe opposé de G, ou l'opposé de G[5]. L'élément neutre est le même dans les deux groupes et le symétrique d'un élément donné est également le même dans les deux groupes. L'opposé de l'opposé de G est G lui-même. Un groupe est identique à son opposé si et seulement s'il est commutatif. Dans tous les cas, G est isomorphe à son opposé par l’application .
(La considération du groupe opposé nous permettra d'éclaircir les rapports entre actions à gauche et actions à droite d'un groupe sur un ensemble.)

Identité de Dedekind[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Remarque. L'identité de Dedekind est le plus souvent utilisée quand U et V sont des sous-groupes de G, mais elle nous servira sous sa forme générale dans la démonstration des théorèmes de Gaschütz et de Schur-Zassenhaus.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Pour le prouver dans le cadre de Bourbaki, où les entiers naturels sont définis comme des cardinaux, on peut dire que si un entier naturel a admet un opposé b, alors a + b = 0, d'où (N. Bourbaki, Théorie des ensembles, Paris, 1998, ch. III, § 3, prop. 13, p. 29) a ≤ 0, d'où, puisque 0 est le plus petit des cardinaux (ib. § 3, p. 25), a = 0.
  2. Voir les détails dans N. Bourbaki, Algèbre, Paris, Hermann, 1970, ch. I, § 2, num. 4 et 5, pp. 17-21.
  3. Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 30.
  4. Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 30.
  5. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, no 1; Paris, Hermann, 1970, p. 29.