Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Transfert, théorème du complément normal de Burnside

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Transfert, théorème du complément normal de Burnside
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Exercices no26
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Transfert, théorème du complément normal de Burnside

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Groupes dicycliques
Exo suiv. :Premiers résultats sur les groupes simples
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Théorie des groupes/Exercices/Transfert, théorème du complément normal de Burnside
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe, Q un sous-groupe d'indice fini de G et T une transversale droite de Q dans G. Tout élément x de G peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme

avec et
Pour tout élément a de G, on pose (le produit étant pris dans le groupe commutatif Q/Q'). Prouver que R est égal au transfert de G vers Q/Q' défini dans la théorie à partir des transversales gauches. (Indication : d’après un exercice de la série Classes modulo un sous-groupe, est une transversale gauche de Q dans G.)

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G un groupe fini opérant (par exemple à gauche) sur un ensemble X, soit Q un sous-groupe de G, soient x et y deux points fixes de Q dans X. (Donc Q est contenu dans Gx et dans Gy.) On suppose que x et y appartiennent à la même G-orbite et que Q est un sous-groupe de Sylow de Gx. Prouver que x et y appartiennent à la même -orbite.

b) Soient G un groupe fini opérant (par exemple à gauche) sur un ensemble X, soit Q un sous-groupe de Sylow de G, soient x et y deux points fixes de Q dans X. (Donc Q est contenu dans Gx et dans Gy.) On suppose que x et y appartiennent à la même G-orbite. Prouver que x et y appartiennent à la même -orbite.

c) Tirer de b) une nouvelle preuve du fait suivant : si G est un groupe fini et Q un sous-groupe de Sylow de G, si deux éléments de sont conjugués dans G, ils sont conjugués dans . (Ce fait a été démontré dans le chapitre théorique Transfert, théorème du complément normal de Burnside.)

d) Déduire de b) ce théorème de Burnside qui a été démontré dans les exercices sur les théorèmes de Sylow : soient G un groupe fini, p un diviseur premier de l’ordre de G, P un p-sous-groupe de Sylow de G, U et W des sous-groupes distingués de P; U et W sont conjugués dans G si et seulement s'ils sont conjugués dans le normalisateur NG(P).

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini et H un sous-groupe de Hall normal de G. Prouver que H est seul de son ordre parmi les sous-groupes de G et est un sous-groupe caractéristique de G.

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit G un groupe fini. On suppose que pour tout diviseur premier p de l’ordre de G, G admet un p-sous-groupe de Sylow cyclique. (Puisque deux p-sous-groupes de Sylow sont toujours conjugués et donc isomorphes, ceci revient à supposer que tous les p-sous-groupes de Sylow sont cycliques.) Prouver que G est résoluble. (Indication. Raisonner par récurrence sur . Appliquer l'hypothèse de récurrence au complément normal N d'un p-sous-groupe de Sylow de G, p désignant le plus petit facteur premier de l’ordre de .)

b) On dit qu'un nombre naturel est sans carrés s'il n'est divisible par le carré d'aucun nombre naturel > 1, ce qui revient à dire qu’il n'est divisible par le carré d'aucun nombre premier. Prouver que si n est un nombre naturel sans carrés, tout groupe d'ordre n est résoluble.

Problème 5[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit p un nombre premier. Prouver qu'aucun groupe d'ordre p(p+1) ni aucun groupe d'ordre p2(p+1) n'est simple.

Remarque. La même démonstration prouve le résultat suivant : soit p un nombre premier, soit m un nombre naturel > 1 et congru à 1 modulo p. On suppose que 1 et m sont les seuls diviseurs naturels de m qui soient congrus à 1 modulo p. Alors aucun groupe d'ordre pm ni aucun groupe d'ordre p2m n'est simple.

b) Soit G un groupe simple fini non commutatif, soit p le plus grand facteur premier de |G|. À l'aide du point a), prouver que p(2p+1) ≤ |G|.

Problème 6[modifier | modifier le wikicode]

Soit n un nombre naturel impair, soit G un groupe d'ordre 2n. On a vu dans les exercices de la série Groupes alternés que G admet un sous-groupe d'ordre n. Prouver ce fait à l'aide du théorème du complément normal de Burnside.

Problème 7[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit p un nombre premier impair (autrement dit > 2), soit G un groupe fini d'ordre Prouver que G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow. (Cette partie du problème ne fait intervenir que les propriétés classiques des sous-groupes de Sylow démontrées au chapitre Théorèmes de Sylow.)

b) Soit G un groupe d'ordre 2p (p2 + 1), où p est un nombre premier > 3. Prouver que G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow. (Indication. Dans le chapitre théorique, on a démontré un « cas particulier » du théorème du complément normal de Burnside. Appliquer ce cas particulier à un 2-sous-groupe de Sylow de G, puis utiliser le point a).)