Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupe distingué, groupe quotient

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Sous-groupe distingué, groupe quotient
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Exercices no4
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Sous-groupe distingué et groupe quotient

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Classes modulo un sous-groupe
Exo suiv. :Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z
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Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupe distingué, groupe quotient
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Prouver que tout sous-groupe d'indice 2 est normal.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Désignons par S le groupe des permutations de l’ensemble E = {1, 2, 3}, la loi de groupe étant la composition (f, g) ↦ f ∘ g. Désignons par id la permutation identique de E. Si a et b sont deux différents éléments de E, désignons par (a b) la permutation de E qui applique a sur b, b sur a et laisse donc fixe l'élément de E distinct de a et de b. Il est clair que {id, (1 2)} est un sous-groupe de S. Prouver que ce n’est pas un sous-groupe normal de S.

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et une famille de sous-groupes de G. On désigne par H le sous-groupe de G engendré par les Hi. Prouver que

et que l'inclusion réciproque n’est pas forcément vraie.

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient G1 et G2 deux groupes, f un homomorphisme surjectif de G1 sur G2. Soit A une partie de G1. Désignons par Dist(A) le sous-groupe distingué de G1 engendré par A. Prouver que f(Dist(A)) est le sous-groupe distingué de G2 engendré par f(A).

Problème 5[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et H, K des sous-groupes normaux de G tels que H ⋂ K = 1. Tout élément de H commute avec tout élément de K. (Indication : x étant un élément de H et y un élément de K, considérer l'élément x-1 y-1 x y de G. Nous retrouverons les éléments de la forme x-1 y-1 x y au chapitre Commutateurs, groupe dérivé.)

Remarque. L'énoncé de ce problème nous servira au chapitre Produit de groupes.

Problème 6[modifier | modifier le wikicode]

Soient un groupe, un sous-groupe distingué de et un sous-groupe de contenant . Notons l’ensemble des classes à gauche de suivant (ici, n'est donc pas nécessairement un groupe, contrairement à ).

  1. Montrer qu’il existe une unique application de dans telle que, pour tout dans , .
  2. Montrer que, pour tous et dans , équivaut à ce que et appartiennent à la même classe à gauche du groupe suivant son sous-groupe .

Problème 7[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G et H deux groupes. Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1° il existe un homomorphisme surjectif de G sur H;
2° il existe un sous-groupe normal N de G tel que H soit isomorphe au groupe quotient G/N.

b) Si les conditions équivalentes 1° et 2° du point a) sont satisfaites, on dit parfois que H est un quotient de G.
Soit H un quotient de G dans ce sens de l'expression. Prouver que pour tout groupe K,

(Indication : à partir d'un homomorphisme surjectif de G sur H, définir une injection de Hom(H, K) dans Hom(G, K).)

Remarque. Le point b) nous servira dans une démonstration de l'équipotence des bases d'un même groupe libre.