Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Exercices/Représentations complexes des groupes finis, 1

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Représentations complexes des groupes finis, 1
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Exercices no36
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Représentations complexes des groupes finis, 1

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. : Théorème de Maschke
Exo suiv. : Représentations complexes des groupes finis, 2
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Théorie des groupes/Exercices/Représentations complexes des groupes finis, 1
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

On a énoncé dans le chapitre théorique que si G est un groupe fini, si et sont des -représentations vectorielles de G, si et sont des -représentations matricielles de G, si et se correspondent, si et se correspondent, alors et sont équivalentes si et seulement et sont équivalentes.
Donner une démonstration.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

On va construire un exemple de -représentation irréductible de degré 2.
a) Soit une racine primitive troisième de l'unité, c'est-à-dire une racine cubique de 1 distincte de 1. Cela revient à dire que est un élément d'ordre 3 du groupe multiplicatif du corps . (On peut par exemple prendre )
Prouver qu'il existe un et un seul homomorphisme U du groupe dans le groupe qui applique

(1 2 3) sur

et

(1 2) sur .

(Indication : on peut utiliser le théorème « Homomorphismes partant d'un groupe diédral » du chapitre Groupes diédraux.)

b) Prouver que U est une -représentation matricielle irréductible de degré 2 de .

Remarque. Nous avons ainsi trouvé une -représentation vectorielle (resp. matricielle) irréductible de degré 2 du groupe diédral . Dans un chapitre ultérieur, nous déterminerons (à équivalence près) toutes les -représentations irréductibles des groupes diédraux.