Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Exercices/Représentations complexes des groupes finis, 1

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Représentations complexes des groupes finis, 1
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Exercices no38
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Représentations complexes des groupes finis, 1

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Théorème de Maschke
Exo suiv. :Représentations complexes des groupes finis, 2
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Théorie des groupes/Exercices/Représentations complexes des groupes finis, 1
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe fini. Donner une démonstration des deux remarques suivantes, énoncées dans le chapitre théorique :

  1. (V4) Deux -représentations de G de degré n, l'une vectorielle, T, et l'autre matricielle, U, se correspondent, si et seulement si T est équivalente à la représentation vectorielle T' définie par :
    pour tout élément g de G, T'(g) est l'automorphisme de de matrice U(g) dans la base canonique.
  2. (M3) Deux -représentations matricielles de G de degré n, U1 et U2, sont équivalentes si et seulement si les -représentations vectorielles T1 et T2 définies comme suit sont équivalentes :
    pour tout élément g de G, Ti(g) est l'automorphisme de de matrice Ui(g) dans la base canonique.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

On va construire un exemple de -représentation irréductible de degré 2.
a) Soit une racine primitive troisième de l'unité, c'est-à-dire une racine cubique de 1 distincte de 1. Cela revient à dire que est un élément d'ordre 3 du groupe multiplicatif du corps . (On peut par exemple prendre )
Prouver qu'il existe un et un seul homomorphisme U du groupe dans le groupe qui applique

(1 2 3) sur

et

(1 2) sur .

(Indication : on peut utiliser le théorème « Homomorphismes partant d'un groupe diédral » du chapitre Groupes diédraux.)

b) Prouver que U est une -représentation matricielle irréductible de degré 2 de .

Remarque. Nous avons ainsi trouvé une -représentation vectorielle (resp. matricielle) irréductible de degré 2 du groupe diédral . Dans un chapitre ultérieur, nous déterminerons (à équivalence près) toutes les -représentations irréductibles des groupes diédraux.