Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Exercices/Intermède : groupes simples d'ordre 168

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Intermède : groupes simples d'ordre 168
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Exercices no34
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Intermède : groupes simples d'ordre 168

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs
Exo suiv. :Intermède : groupes simples d'ordre 360
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Théorie des groupes/Exercices/Intermède : groupes simples d'ordre 168
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit G un groupe fini, soit p un nombre premier; on suppose que (nombre des p-sous-groupes de Sylow de G) est le plus petit diviseur d de tel que d > 1 et d ≡ 1 (mod p).
Soient P, Q deux différents p-sous-groupes de Sylow de G. Prouver que est contenu dans tous les p-sous-groupes de Sylow de G. (Indication : utiliser l'énoncé qu'on a appelé « lemme de l'intersection maximale » dans le chapitre théorique.)

b) Soit G un groupe fini, soit p un nombre premier; on suppose que

est le plus petit diviseur d de tel que d > 1 et d ≡ 1 (mod p);
n'est pas congru à 1 modulo la plus grande puissance de p qui divise l'ordre de G.

Prouver que G n'est pas simple. (Utiliser le point a) et une forme forte du théorème de congruence de Sylow qu'on a démontrée dans les exercices sur les théorèmes de Sylow.)

c) Soit G un groupe d'ordre 4400. Prouver que G n'est pas simple. (Indication. Si le nombre des 5-sous-groupes de Sylow de G est égal à 16 ou à , utiliser le théorème du complément normal de Burnside; si utiliser le point b).)

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe simple d'ordre 168, soit H un sous-groupe d'ordre 2 de G. Prouver que H est contenu dans exactement cinq 2-sous-groupes de Sylow de G.

Remarque. Comme 5 ne divise pas 168, cela montre qu'on ne peut pas énoncer ce renforcement d'un théorème de Sylow : soit G un groupe fini, soit p un nombre premier, soit P un p-sous-groupe de G; le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G qui contiennent P divise l'ordre de G.