Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier

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Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier
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Exercices no45
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Groupes libres, premiers éléments
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit F un groupe libre, soient x et y des éléments de F commutant entre eux. Prouver qu'il existe un élément z de F tel que x et y sont tous deux puissances (à exposants entiers relatifs) de z.
(Indication. Appliquer le théorème de Nielsen-Schreier au sous-groupe de F engendré par x et y.)

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

On a vu dans le chapitre théorique que tout sous-groupe K d'un groupe libre L est un groupe libre. On va voir que si K est d'indice fini dans L, le rang de K peut s'exprimer en fonction du rang de L et de l'indice [L:K].
Soient X un ensemble, F(X) le groupe libre construit sur X, la base canonique de F(X), H un sous-groupe de F(X), T une transversale droite de Schreier de H dans F(X).
Pour t dans T et x dans , on désignera par (comme au lemme 6 du chapitre théorique) l'unique élément de H tel que

a) On pose

et

.

Prouver que définit une bijection de A sur B.
(Indication : on peut utiliser le lemme 6 du chapitre théorique.)

b) Prouver que le rang de H est égal au cardinal de l'ensemble

c) Soit E l'ensemble des tels que
(Donc, A étant défini comme au point a), )
Prouver que

1° E est l'ensemble des tels que

On désigne par (resp. ) l'ensemble des éléments de dont la dernière lettre signée appartient à (resp. à ).
On désigne par l'ensemble des éléments (t, x) de E tels que t ne finisse pas par la lettre signée ; on désigne par l'ensemble des éléments (t, x) de E tels que t finisse par la lettre signée
Prouver que

est équipotent à ;
est équipotent à ;
4° E est équipotent à

d) On suppose que H est d'indice fini dans F(X). Prouver que le rang de H est égal à

e) Soient L un groupe libre et K un sous-groupe d'indice fini de L. Prouver que, rg désignant le rang,

rg(K) = [L:K] rg(L) - ([L:K] - 1).

f) Soient L un groupe libre de rang fini et K un sous-groupe d'indice 2 de L. (On sait, par un exercice de la série Groupes libres, premiers éléments, qu'il existe un tel sous-groupe K.) Prouver que le rang de K est strictement supérieur à celui de L.

Remarque. Dans les hypothèses et notations du point f), choisissons une base Y de K. Alors Y est une partie libre de L. (En effet, Y est une base du sous-groupe de L qu'elle engendre, à savoir du sous-groupe K, donc, d'après une des définitions d'une partie libre, Y est une partie libre de L.) D'après le point f), le rang de K, autrement dit le cardinal de Y, est strictement supérieur au rang de L. Cela montre que le cardinal d'une partie libre d'un groupe libre L peut être strictement supérieur au rang de L.

g) Soit {a,b} un ensemble à 2 éléments (). Prouver que le dérivé F'({a,b}) du groupe libre F({a,b}) est de rang infini (ce qui montre qu'un sous-groupe d'un groupe libre de rang fini peut être de rang infini).
Indication : utiliser le point b) et une caractérisation du dérivé de F(X) donnée dans un exercice de la série Groupes libres, premiers éléments; noter que les éléments , avec r, s dans forment une transversale droite de Schreier de F'({a,b}) dans F({a,b}).

Puisque le rang de F'({a,b}) est infini et que le rang d'un groupe libre est le plus petit cardinal de partie génératrice de ce groupe, F'({a,b}) n'est donc pas de type fini. D'autre part, F({a,b}), ayant une base à deux éléments, est de type fini. Cela montre que, comme annoncé dans le chapitre Classes modulo un sous-groupe, un sous-groupe d'un groupe de type fini n'est pas forcément de type fini.

h) Il résulte du point e) que si L est un groupe libre et K un sous-groupe d'indice fini de L, le rang de K est déterminé par le rang de L et l'indice de K dans L. Montrer qu'il n'en est pas forcément de même si l'indice de K dans L est infini. Pour cela, donner un exemple de la situation suivante : L est un groupe libre, et sont deux sous-groupes de même indice (infini) de L et les rangs de et de sont différents. (On peut utiliser les résultats du point g) et le fait, démontré dans un exercice de la série Groupes, premières notions, que tout groupe engendré par une partie dénombrable est lui-même dénombrable, où « dénombrable » signifie « fini ou équipotent à  ».)

i) Soit G un groupe ayant une partie génératrice de cardinla fini m, soit H un sous-groupe d'indice fini j de G. On a vu au chapitre Classes modulo un sous-groupe que H admet une partie génératrice de cardinal Prouver, à l'aide du point e) que H admet une partie génératrice de cardinal