Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Groupes, premières notions

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Groupes, premières notions
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Exercices no2
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes, premières notions

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Élément neutre
Exo suiv. :Classes modulo un sous-groupe
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes, premières notions
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Problème 1 (très facile)[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que et ne sont pas des groupes.

Problème 2 (très facile)[modifier | modifier le wikicode]

On définit une loi sur  :

  • forme t-il un groupe ?


Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

(Ce problème suppose la connaissance des propriétés de corps ordonné de l’ensemble des nombres réels.)

Soit S l'intervalle réel . On définit une loi sur  :

  • Montrer que est un groupe


Problème 4 (Sous-groupe réunion de deux sous-groupes ?)[modifier | modifier le wikicode]

On a vu dans la théorie que la réunion de deux sous-groupes d'un groupe G n’est pas forcément un sous-groupe de G.

  1. Prouver que si G est un groupe, si H et K sont deux sous-groupes de G, alors est un sous-groupe de G (si et) seulement si ou . (H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 4, p. 9.)
  2. Prouver que si G est un groupe et une suite de sous-groupes de G croissante pour l'inclusion, alors la réunion est un sous-groupe de G.

Problème 5 (Quand tous les carrés sont égaux à 1.)[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe, noté multiplicativement, tel que, pour tout élément x de G, x2 = 1. Prouver que G est commutatif.

Remarque. L'énoncé devient faux si on y remplace 2 par un nombre premier p distinct de 2. Le contre-exemple qui suit suppose connues quelques notions d'algèbre linéaire, ainsi que la structure d'anneau de

Soit

une matrice 3 × 3 unitriangulaire supérieure à coefficients dans un anneau quelconque. On prouve par récurrence sur n que, pour tout nombre naturel n,

Si p est un nombre premier distinct de 2, p(p-1)/2 est divisible par p. Il en résulte que pour toute matrice M unitriangulaire supérieure 3 × 3 à coefficients dans le corps Z/pZ, Mp est la matrice unité. Donc dans le groupe multiplicatif des matrices unitriangulaires supérieures 3 × 3 à coefficients dans le corps Z/pZ, la p-ième puissance de tout élément est égale à 1. Pourtant, ce groupe n’est pas commutatif, car, par exemple, les matrices

et

ne commutent pas.

Problème 6 (Passage à l'inverse et homomorphisme)[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit G un groupe. Prouver que la permutation x ↦ x-1 de G est un endomorphisme (et donc un automorphisme) de G si et seulement si G est commutatif.

b) En déduire une nouvelle preuve du fait que si x2 = 1 pour tout élément x de G, G est commutatif.

Problème 7. Monoïdes réguliers finis[modifier | modifier le wikicode]

a) Appelons monoïde régulier un monoïde dont tout élément est régulier (simplifiable). Prouver que tout monoïde régulier fini est un groupe. (Indication : pour un élément x d'un monoïde régulier fini M, considérer l’application de M dans lui-même.)

b) Soit S un sous-monoïde fini d'un groupe G. Prouver que S est un groupe.

Problème 8[modifier | modifier le wikicode]

Soient A et B des sous-groupes d'un groupe G. Prouver que AB est un sous-groupe de G si et seulement si AB = BA.

Problème 9[modifier | modifier le wikicode]

Par « ensemble dénombrable », on entendra ici un ensemble fini ou équipotent à l'ensemble des nombres naturels. Prouver que tout groupe admettant une partie génératrice dénombrable est dénombrable. (Indication : utiliser la « description constructive du sous-groupe engendré ». On rappelle que le lecteur est supposé connaître les propriétés les plus classiques des cardinaux infinis.)

Problème 10 (Cardinal d'une partie génératrice infinie)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et T une partie génératrice infinie de G. Prouver que . (Indication. Utiliser la « description constructive du sous-groupe engendré ». On rappelle que le lecteur est supposé connaître les propriétés les plus classiques des cardinaux infinis.)

Remarque. L'énoncé de ce problème servira dans une démonstration de l'équipotence des bases d'un groupe libre.

Problème 11[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G un groupe et deux familles de parties de G telles que pour tout indice i, .

Prouver que .

b) Soient G un groupe et une famille de sous-groupes de G. Soit une famille telle que, pour tout i dans I, Zi soit une partie génératrice de Hi (ce qui revient à dire que Hi est le sous-groupe ⟨Zi⟩ de G engendré par Zi).

Déduire du point a) que est une partie génératrice du sous-groupe de G engendré par les Hi.

(En particulier, si H et K sont des sous-groupes de G, si X est une partie génératrice de H et Y une partie génératrice de K, X∪Y est une partie génératrice de ⟨H, K⟩.)

Remarque. Il résulte du point b) que le sous-groupe engendré par une famille finie de sous-groupes de type fini d'un groupe G est lui-même un sous-groupe de type fini de G. Ce fait nous servira dans un chapitre ultérieur sur le théorème de Howson.