Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Commutateurs, groupe dérivé

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Commutateurs, groupe dérivé
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Exercices no16
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Commutateurs, groupe dérivé

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. : Groupe à opérateurs
Exo suiv. : Groupes résolubles
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Théorie des groupes/Exercices/Commutateurs, groupe dérivé
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Prouver que tout conjugué de H dans G est contenu dans HD(G).

b) En déduire que tout sous-groupe de G qui contient D(G) est distingué dans G.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient une famille finie de groupes, et deux familles telles que pour tout i, Ai et Bi soient des sous-groupes de Gi. Prouver que

désigne le produit direct externe. En particulier, soient G1 et G2 deux groupes, A1 et B1 deux sous-groupes de G1, A2 et B2 deux sous-groupes de G2; alors [A1 × A2, B1 × B2] = [A1, B1] × [A2, B2].

b) Soit une famille finie de groupes. Prouver que

où, comme au point a), désigne le produit externe.
En particulier, si G1 et G2 sont deux groupes, D(G1 × G2) = D(G1) × D(G2).

c) Soit G un groupe, produit direct interne d'une famille finie de sous-groupes. Prouver que D(G) est produit direct interne de la famille .

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Dans le chapitre Sous-groupes distingués des groupes alternés, on a considéré le sous-groupe V de A4 formé par l'élément neutre et les trois éléments (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3). Prouver que V est le dérivé de A4.

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

Le but de cet exercice[1]est de prouver que tout élément du groupe alterné An est un commutateur d'éléments de Sn.

a) Montrer qu'un élément de Sn est un commutateur d'éléments de Sn si et seulement si c’est le produit de deux permutations ayant la même structure cyclique.

b) Soit un cycle d'ordre impair. Prouver que est le carré d'une permutation de même support que .

c) Soient et deux cycles d'ordre pair à supports disjoints. Montrer que est le produit de deux cycles d'ordre r + s + 1 à supports contenus dans la réunion des supports de et de . (Indication : regarder la solution.)

d) Montrer que toute permutation paire peut s'écrire , où pour chaque i, et sont des cycles de même longueur et où, pour tous i et j distincts, et sont disjoints. (Rappel : supp désigne le support.)

e) Montrer que toute permutation paire est un commutateur d'éléments de Sn.

Problème 5[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient N et A1, .... , Ar des sous-groupes distingués d'un groupe G. Prouver que [N, A1 .... Ar] = [N, A1] .... [N, Ar]. (Indication : utiliser une des identités énoncées dans la section Compléments du chapitre théorique.)

b) Tirer du point a) une autre démonstration du fait suivant, qui a été démontré au problème 2 :
Si un groupe G est produit direct interne d'une famille G1, ... , Gn de sous-groupes, D(G) est produit direct interne de la famille D(G1), ... , D(Gn).

Problème 6[modifier | modifier le wikicode]

On va prouver que si H, K et L sont des sous-groupes d'un même groupe G, [ [H,K], L] n’est pas forcément égal au sous-groupe de G engendré par les éléments [ [h, k], l] avec h dans H, k dans K et l dans L[2].

a) Soient G un groupe, H, K et L des sous-groupes d'ordre 2 de G. Prouver que le sous-groupe de G engendré par les éléments [ [h, k], l] avec h dans H, k dans K et l dans L, est monogène.

b) Soit P un sous-groupe d'ordre 5 du groupe G = A5, groupe alterné de degré 5. (Puisque A5 est d'ordre 60, il admet de tels sous-groupes. Ce sont ses 5-sous-groupes de Sylow.) Prouver que NG(P) est d'ordre 10 et contient exactement 5 sous-groupes d'ordre 2.

c) Soit P comme au point b) et soient H, K deux différents sous-groupes d'ordre 2 de NG(P). (Il en existe d’après le point b).) Prouver que [H, K] = P.

d) Prouver que A5 est engendré par ses éléments d'ordre 2.

e) Soit P comme au point b). Prouver qu’il existe au moins un sous-groupe d'ordre 2 de A5 qui ne normalise pas P. Prouver que si L est un tel sous-groupe, alors <P, L> = A5.

f) Soient P comme au point b) et L comme au point e). Prouver que [P, L] = A5.

g) En conclure que si H, K et L sont comme aux points c) et e), [ [H,K], L] n’est pas égal au sous-groupe de G engendré par les éléments [ [h, k], l] avec h dans H, k dans K et l dans L.

Remarques. 1° On pourrait évidemment poser P = <(1 2 3 4 5)>, H = <(1 5) (2, 4)>, K = <(1 2) (3 5)>, L = <(1 2) (3 4)> et vérifier par calcul que [ [H, K], L] = A5, mais cette méthode serait sans gloire et assez fastidieuse.
2° On montre dans le problème suivant que si [H, K] normalise L, alors [ [H,K], L] est égal au sous-groupe de G engendré par les éléments [ [h, k], l] avec h dans H, k dans K et l dans L.

Problème 7[modifier | modifier le wikicode]

On va prouver que si G est un groupe et H, K, L des sous-goupes de G, si [H, K] normalise L, alors [ [H,K], L] est égal au sous-groupe de G engendré par les éléments [ [h, k], l] avec h dans H, k dans K et l dans L.

a) Soient G un groupe, A, B et H des sous-groupes de G. On suppose que B normalise A. Désignons par S l’ensemble des élément x de B tels que, pour tout élément a de A, [a, x] appartienne à H. Prouver que S est un sous-groupe de B. (Indication : utiliser certaines des identités énoncées dans la partie Compléments du chapitre théorique.)

b) Soient G un groupe, A et B des sous-groupes de G et Y une partie génératrice de B. On suppose que B normalise A. Prouver que [A, B] est le sous-groupe de G engendré par les commutateurs [a, y] avec a dans A et y dans Y. (Indication : dans l'énoncé du point a), prendre pour H le sous-groupe de G engendré par les [a, y] en question.)

c) Soient G un groupe, H, K et L des sous-groupes de G. On suppose que [H, K] normalise L. Prouver que [ [H, K], L] est le sous-groupe de G engendré par les éléments [ [h, k], l] avec h dans H, k dans K et l dans L.

Problème 8[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe, A un sous-groupe normal de G et B un sous-groupe de G. Soit A0 une partie de G telle que A soit contenu dans le sous-groupe de G engendré par A0. Soit B0 une partie de G telle que B soit contenu dans plus petit sous-groupe normal de G contenant B0 (c'est le cas en particulier si B est contenu dans le sous-groupe de G engendré par B0.) On se propose de prouver que [A, B] est contenu dans le plus petit sous-groupe normal de G comprenant les commutateurs [a0, b0] avec a0 dans A0 et b0 dans B0.

a) Soit N le plus petit sous-groupe normal de G comprenant les commutateurs [a0, b0] avec a0 dans A0 et b0 dans B0 (on pourrait se contenter de supposer que N est un sous-groupe normal de G comprenant ces commutateurs). Désignons par f l'homomorphisme canonique de G sur G/N. Prouver que f(B0) est contenu dans le centralisateur de f(A) dans G/N.

b) Prouver que f(B) est contenu dans tout sous-groupe normal de G/N qui contient f(B0).

c) Prouver que f(B) est contenu dans le centralisateur de f(A) dans G/N.

d) Déduire de c) que [A, B] est contenu dans N (ce qui démontre l'énoncé général du problème).

e) Soient G un groupe, A et B des sous-groupes normaux de G, soit A0 une partie génératrice de A. Soit B0 une partie de B telle que B soit le plus petit sous-groupe normal de G contenant B0 (c'est le cas en particulier si B0 est une partie génératrice de B). Prouver que [A, B] est le plus petit sous-groupe normal de G comprenant les commutateurs [a0, b0] avec a0 dans A0 et b0 dans B0.

Remarques.
1° En faisant A = B = G et A0 = B0 = X dans l'énoncé du point e), nous retrouvons le théorème suivant, qui a été démontré dans le chapitre théorique : si G est un groupe et X une partie génératrice de G, le dérivé de G est le sous-groupe normal de G engendré par les commutateurs [x, y], où x et y parcourent X.
2° Nous utiliserons l'énoncé e) de ce problème dans un exercice sur les groupes nilpotents.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Jean Fresnel, Groupes, exerc. 8.29, Paris, Hermann, 2001, p. 92.
  2. L'exemple utilisé ici est donné par I. Martin Isaacs, Finite Group Theory, American Mathematical Society, 2008, exerc. 4A.2, p. 122-123.
  3. Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 214.