Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Commutateurs, groupe dérivé

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Commutateurs, groupe dérivé
Icône de la faculté
Chapitre no 16
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Groupe à opérateurs
Chap. suiv. :Groupes résolubles

Exercices :

Commutateurs, groupe dérivé
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Théorie des groupes : Commutateurs, groupe dérivé
Théorie des groupes/Commutateurs, groupe dérivé
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Commutateurs d'éléments et de sous-groupes[modifier | modifier le wikicode]



Remarque. Cette définition est celle qu'adopte Bourbaki[1]. D'autres auteurs[2] désignent comme le commutateur de x et y l'élément . Il est clair que le commutateur de x et de y selon une de ces définitions est le commutateur de x-1 et y-1 selon l'autre définition, ce qui permet de traduire facilement un énoncé relatif à une définition en un énoncé relatif à l'autre définition.

Il est clair que [y, x] = [x, y]-1. D'autre part, [x, y] = (yx)-1xy, donc [x, y] = 1 si et seulement si x et y commutent.




Remarques

  • Nous avons vu que, si x et y sont deux éléments de G, la relation [x, y] = 1 a lieu si et seulement si x et y commutent. Il en résulte que [A, B] = 1 si et seulement tout élément de A commute avec tout élément de B.
  • Il est clair que si A1 et B1 sont des sous-groupes de G contenus dans A et dans B respectivement, [A1, B1] est contenu dans [A, B] (puisqu’il y a une partie génératrice de [A1, B1] qui est contenue dans [A, B]).
  • Soit X l’ensemble des commutateurs avec et , soit Y l’ensemble des commutateurs avec et . Par définition, [A, B] est le sous-groupe de G engendré par X et [B, A] est le sous-groupe de G engendré par Y. Il est clair que , donc X et Y engendrent le même sous-groupe, donc [A, B] = [B, A].
Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration
Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

On en déduit facilement le corollaire suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème


(Pour ce qui est des sous-groupes normaux, on se rappellera qu'un sous-groupe de G est normal dans G si et seulement s'il est stable par tout automorphisme intérieur de G.)

Groupe dérivé[modifier | modifier le wikicode]



Remarques

  • Le groupe dérivé de G n’est pas forcément réduit à l’ensemble des commutateurs d'éléments de G[3].
  • Le groupe dérivé de G est parfois appelé groupe des commutateurs de G, ce qui est un abus de langage, vu la remarque précédente.
  • Nous avons vu que, si A et B sont deux sous-groupes de G, [A, B] = 1 si et seulement tout élément de A commute avec tout élément de B. En faisant A = B = G, nous trouvons que D(G) = 1 si et seulement G est commutatif.
Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration
Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration
Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration
Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration




Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Remarque. On trouvera une autre démonstration dans les exercices.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Le sous-groupe dérivé d'un groupe G est donc le plus petit sous-groupe normal H de G tel que G/H soit abélien.

Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Remarque. Dans le théorème précédent, X ne contient pas nécessairement l'inverse de chacun de ses éléments ; on peut donc légitimement se demander si le théorème n'est valable qu'avec la définition des commutateurs adoptée dans ce cours, c'est-à-dire [x, y] = x-1y-1xy (et non [x, y] = xyx-1y-1) pour tous x et y dans G. En examinant la démonstration ci-dessus, on peut constater qu'elle ne repose que sur des résultats indépendants de la définition choisie pour le commutateur de deux éléments d'un groupe. Le théorème est donc valable tel quel indépendamment de la définition choisie.

Une autre façon de voir cela consiste à montrer que le sous-groupe normal de G engendré par Com1(X) est égal au sous-groupe normal de G engendré par Com2(X), où Com1(X) (resp. Com2(X)) est l'ensemble des éléments de la forme x-1y-1xy (resp. xyx-1y-1) avec x et y dans X. Pour ce faire, remarquons tout d'abord que tout élément de Com1(X) est conjugué d'un élément de Com2(X) : en effet, si a et b sont deux éléments d'un groupe, ab est toujours conjugué de ba, puisque ab = a(ba)a-1 ; on obtient donc l'argument en posant a = x-1y-1 et b = xy. De même, tout élément de Com2(X) est conjugué d'un élément de Com1(X). Il en résulte que les conjugués des éléments de Com1(X) sont exactement les conjugués des éléments de Com2(X), car la relation d'équivalence sur G « être conjugué à » est transitive. Or nous avons vu dans un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur que dans un groupe quelconque G0, le sous-groupe normal engendré par une partie Y de G0 est le sous-groupe de G0 engendré par les conjugués des éléments de Y. Le sous-groupe normal de G engendré par Com1(X) (resp. Com2(X)) est donc le sous-groupe de G engendré par les conjugués des éléments de Com1(X) (resp. Com2(X)). On en déduit que le sous-groupe normal de G engendré par Com1(X) est égal au sous-groupe normal de G engendré par Com2(X), comme annoncé.

Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Remarques

  • Pour prouver que (a b c) est un commutateur, on aurait aussi pu noter que (a b c) = (a b) (a c) (a b)-1 (a c)-1.
  • Comme déjà dit, le groupe dérivé d'un groupe G n’est pas forcément réduit aux commutateurs d'éléments de G. On verra cependant dans les exercices que tout élément de An est un commutateur d'éléments de Sn.

Compléments[modifier | modifier le wikicode]

On va donner dans cette section quelques résultats qui ne figurent pas dans tous les livres d’introduction à la théorie des groupes.

Soient x, y, z des éléments d'un groupe G. On écrit xy pour y-1xy, notation qu’il ne faut évidemment pas confondre avec la notation xn, où n est un entier rationnel. On a toujours xyz = (xy)z (composition des automorphismes intérieurs).

Début d’un théorème


Fin du théorème


Démonstration. La relation 1° a déjà été notée. La relation 4° s'obtient en appliquant l'égalité f([x, y]) = [f(x), f(y)] , vraie pour tout homomorphisme de groupes f, au cas où f est l'automorphisme intérieur . La relation 2° s'obtient par un calcul immédiat. Il en est de même de 3°, qu'on peut aussi tirer de 2° en passant aux inverses et en remplaçant x par x-1. La relation 5° se vérifie par calcul. On peut obtenir 6° à partir de 5° en remplaçant dans 5° [x, y]z par une valeur tirée de 3°. On peut tirer 7° de 5° en passant aux inverses et en faisant un changement de variables. On peut tirer 8° de 7° à l'aide de 2° comme on a tiré 6° de 5° à l'aide de 3° ; on peut aussi tirer 8° de 6° en passant aux inverses et en faisant un changement de variables. On obtient 9° en faisant z = y-1 dans 5°. On obtient 10° en faisant y = z-1 dans 6° et en opérant un changement de variable. Pour prouver 11° (l'identité de Hall-Wittt), on peut abréger les calculs en notant que le premier facteur de l'identité peut s'écrire

où on pose:

Des expressions analogues des deux autres facteurs de l'identité de Hall-Witt s'obtiennent à partir de celle-ci par une permuation circulaire des variables et quand on multiplie les trois résultats membre à membre, chaque facteur T() est détruit par le facteur T()-1 qui suit.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Démonstration. Soient a et a' deux éléments de A, soit b un élément de B. D'après la septième des identités énumérées plus haut,

Ceci donne

Les deux facteurs du second membre appartiennent à [A, B], donc appartient à [A, B]. Puisque les [a, b], avec a dans A et b dans B, engendrent [A, B], il en résulte que A normalise [A, B]. De même, B normalise [B, A] = [A, B].

Début d’un théorème


Fin du théorème


Démonstration. Il suffit de prouver que

si [ [K, L], H] et [ [L, H], K] sont contenus dans N, [ [H, K], L] l'est aussi.

(Les autres cas s'en déduisent par une permutation circulaire des variables.)

Commençons par le prouver dans le cas particulier où N = 1.

Dans ce cas, [ [K, L], H] = [ [L, H], K] = 1 et il s'agit de prouver que [ [H, K], L] = 1.

Cette thèse revient à dire que tout élément de L commute avec tout élément de [H, K] ; puique [H, K] est engendré par les éléments [h, k] avec h dans H et k dans K, la thèse revient à dire que pour tout h dans H, pour tout k dans K et pour tout l dans L, [ [h, k], l] = 1.

D'après l'identité de Hall-Witt,

D'après les hypothèses [ [K, L], H] = [ [L, H], K] = 1, nous avons d'où donc (2) donne donc [ [h, k], l] = 1. Comme nous l'avons vu, cela prouve la thèse (1) dans le cas particulier où N = 1.

Passons au cas général. Désignons par p l'homomorphisme canonique de G sur G/N. Alors

[ [p(K), p(L)], p(H)] = p([ [K, L], H]).

Puisque [ [K, L], H] est supposé contenu dans N, le second membre est égal à {N}, autrement dit au sous-groupe de G/N réduit à l'élément neutre. Donc [ [p(K), p(L)], p(H)] est le sous-groupe de G/N réduit à l'élément neutre. De même, [ [p(L), p(H)], p(K)] est le sous-groupe de G/N réduit à l'élément neutre. D'après la première partie de la démonstration, [ [p(H), p(K)], p(L)] est le sous-groupe de G/N réduit à l'élément neutre. Autrement dit, [ [p(H), p(K)], p(L)] = {N}, ce qui revient à dire que [ [H, K], L] est contenu dans N. Le théorème est donc démontré.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Puisque H, K et L sont supposés normaux dans G, [ [K, L], H] et [ [L, H], K] le sont aussi, donc [ [K, L], H] [ [L, H], K] est un sous-groupe normal de G. Comme il contient [ [K, L], H] et [ [L, H], K], il résulte du théorème des trois sous-groupes qu’il contient [ [H, K], L].

Ce corollaire du théorème des trois sous-groupes permet de démontrer certaines propriétés de la suite centrale descendante d'un groupe.

Remarque. Si H, K et L sont des sous-groupes d'un groupe G, [ [H, K], L] n’est pas forcément égal au sous-groupe de G engendré par les éléments [ [h, k], l] avec h dans H, k dans K et l dans L. (Voir les exercices.)

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, no 2; Paris, 1970, p. 65.
  2. Par exemple P. Tauvel, Algèbre, 2e éd., Paris, 2005, p. 42.
  3. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, exerc. 16, Paris, 1970, p. 137, en donne un exemple qui repose sur la théorie des espaces vectoriels. Voir aussi J. J. Rotman, An introduction to the theory of groups, 4e éd., tirage 1999, pp. 34-35.