Leçons de niveau 13

Théorème de l'angle inscrit/Angle inscrit et angle au centre

Une page de Wikiversité.
Aller à : navigation, rechercher
Début de la boite de navigation du chapitre
Angle inscrit et angle au centre
Icône de la faculté
Chapitre no 1
Leçon : Théorème de l'angle inscrit
Retour au Sommaire
Chap. suiv. : Version relative aux angles orientés
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Théorème de l'angle inscrit : Angle inscrit et angle au centre
Théorème de l'angle inscrit/Angle inscrit et angle au centre
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Théorème de l'angle au centre[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

Fig. 1 : angles inscrits aigus AMB = ANB et angle au centre saillant AOB.
Fig. 2 : angle inscrit obtus AMB et angle au centre rentrant AOB.
Début d’un théorème
Fin du théorème

Il existe donc deux situations, l'une où l'angle inscrit est aigu, donc l'angle au centre saillant (Fig. 1), l'autre où l'angle inscrit est obtus, donc l'angle au centre rentrant (Fig. 2).

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

On adopte les notations suivantes :

  • C est un cercle de centre O, passant par deux points A et B, donc découpé en deux arcs  ;
  • M est un point de C, distinct de A et B, qui détermine donc un angle inscrit, noté  ;
  • l'angle au centre qui intercepte le même arc que cet angle inscrit est noté .

Il s'agit alors de démontrer que

.
Fig. 3 : les trois cas (a), (b) et (c).

Notons D le point de C diamétralement opposé à M et considérons trois cas, correspondant aux trois figures ci-contre :

(a) D est égal à A ou B, par exemple à B ;
(b) les cordes MA et MB sont de part et d’autre du diamètre MD ;
(c) MA et MB sont du même côté de MD.

Cas (a)[modifier | modifier le wikicode]

Montrons que .

et (car O appartient au segment [MD]).
(car le triangle MOA est isocèle en O).

donc

.

Cas (b)[modifier | modifier le wikicode]

D'après le cas (a), et de même, donc par somme : .

Cas (c)[modifier | modifier le wikicode]

Même raisonnement que dans le cas (b), en remplaçant « somme » par « différence ».

Théorème de l'angle inscrit[modifier | modifier le wikicode]

Fig. 4 : angles inscrits aigus AMB = ANB.
Fig. 5 : angles inscrits obtus AMB = ANB.

Le théorème de l'angle au centre a pour corollaire immédiat celui de l'angle inscrit :