Suites numériques, modèles discrets

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1) Définitions

Une suite numérique $(U_{n})$ est une liste ordonnée de nombres réels telle qu’à tout entier $n\in \mathbb {N}$, on associe un nombre réel noté $U_{n}$.

Exemple de suite

Les doubles :

$U_{0}=0$
$U_{1}=2$
$U_{2}=4$
$U_{50}=100$

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2) Générer une suite numérique par une formule explicite

Exemples

Pour tout $n\in \mathbb {N}$, on définit la suite $(U_{n})$ par : $U_{n}=3^{n}$.

Pour tout $n\in \mathbb {N}$, on définit la suite $(V_{n})$ par : $V_{n}=3n^{2}-1$.

Determiner les 3 premiers termes et le 20eme

${\begin{aligned}U_{0}&=0\\U_{1}&=3\\U_{2}&=6\\U_{19}&=1082\\\end{aligned}}$

Lorsqu’on génère une suite par une formule explicite, chaque terme de la suite est exprimé en fonction de $n$ et indépendamment des termes précédents.

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3) Générer une suite numérique par une relation de récurrence

Exemples

On définit la suite $(U_{n})$ par : ${\begin{cases}U_{0}=5\\U_{n+1}=3U_{n}\end{cases}}$

On définit la suite $(V_{n})$ par : ${\begin{cases}V_{0}=3\\V_{n+1}=4V_{n}-6\end{cases}}$

Déterminer les trois premiers termes et le dixième terme.

Suite $(U_{n})$

${\begin{aligned}U_{0}&=5\\U_{1}&=3\times 5=15\\U_{2}&=3\times 15=45\end{aligned}}$

Le dixième terme est : $U_{10}=5\times 3^{10}$.

Suite $(V_{n})$

${\begin{aligned}V_{0}&=3\\V_{1}&=4\times 3-6=6\\V_{2}&=4\times 6-6=18\end{aligned}}$

Le dixième terme est : $V_{10}=3\times 4^{10}-2$.

Pour une suite définie par récurrence, on définit un terme en fonction de son prédécesseur. Contrairement à une suite définie par une formule explicite, il n’est pas possible, en l’état, de calculer par exemple $V_{13}$ sans connaître $V_{12}$.