Leçons de niveau 14

Structure algébrique/Anneau (mathématiques)

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Anneau (mathématiques)
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Chapitre no 5
Leçon : Structure algébrique
Chap. préc. :Groupe
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Structure algébrique/Anneau (mathématiques)
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Ce chapitre décrit de façon succincte la structure d'anneau, et donne les exemples fondamentaux.

Remarque :

Insistons sur certaines propriétés qui ne sont pas toujours valides pour un anneau :

  1. La loi n'admet pas nécessairement d'élément neutre.
  2. Quand cet élément neutre existe, tous les éléments de l'anneau ne sont pas forcément inversibles. En particulier, l'élément neutre pour la loi n'est jamais inversible.
  3. La loi n'est pas forcément commutative.

Voyons maintenant quelques exemples classiques permettant d'illustrer la définition et la remarque.

Exemples :

  1. L'anneau des entiers relatifs  : Considérons l'ensemble des entiers relatifs munit de l'addition et de la multiplication usuelles. Alors, le triplet est un anneau commutatif unitaire où l'élément neutre pour l'addition est et l'élément neutre pour la multiplication est . L'ensemble des éléments inversibles est .
  2. L'anneau  : On considère l'ensemble des entiers pairs que l'on munit également de l'addition et de la multiplication usuelles. C'est alors un anneau inclus dans l'anneau (on parle alors de sous-anneau) qui est commutatif mais pas unitaire, et l'élément neutre pour l'addition est toujours 0.
  3. L'anneau  : On considère l'ensemble des entiers modulo un entier que l'on munit de l'addition et de la multiplication modulo . C'est un anneau unitaire et commutatif dont l'élément neutre pour l'addition est la classe d'équivalence de , et l'élément neutre pour la multiplication est la classe de . L'ensemble des éléments inversibles est désigne la classe d'équivalence de .
  4. L'anneau des polynômes  : On considère l'ensemble des polynômes à coefficients réels munit de l'addition et de la multiplication des polynômes. C'est un anneau commutatif unitaire dont l'élément neutre pour l'addition est le polynôme nul, et l'élément neutre pour la multiplication est le polynôme constant égal à . L'ensemble des éléments inversibles est . Notons que l'on peut définir de façon similaire l'anneau des polynômes à coefficient dans un anneau commutatif que l'on note
  5. L'anneau des matrices  : On considère l'ensemble des matrices carrés de taille à coefficient dans munit de l'addition et la multiplication usuelles des matrices. C'est un anneau unitaire mais non commutatif dont l'élément neutre pour l'addition est la matrice nulle et l'élément neutre pour la multiplication est la matrice identité . L'ensemble des éléments inversibles est . Comme dans l'exemple précédent on peut également considérer l'ensemble des matrices carrés à coefficient dans un anneau .

Voyons maintenant une propriété qui montre les subtilités de la structure d'anneau. Observons l'exemple suivant sur l'anneau des matrices : soit , un calcul direct montre que . Cet exemple montre que dans un anneau il est possible qu'un produit soit nul sans qu'aucuns des facteurs ne le soit. Cela pousse à définir la notion d'anneau intègre suivante :


A l'exception de l'anneau des matrices, tous les anneaux présentés dans l'exemple précédent sont intègres. Cette propriété est très utile pour la résolution d'équation produit-nul comme dans les ensembles de nombres classiques.

Pour conclure cette présentation des concepts fondamentaux de la théorie des anneaux intéressons nous à la notion d'idéal. Un idéal est une partie d'un anneau stable pour les deux opérations et munit d'une propriété d'absorption pour la multiplication. C'est une sous-structure importante pour un anneau qui va permettre l'étude de sa structure ainsi que la construction de nouveaux anneaux (dits anneaux quotients). Nous donnons la définition uniquement dans le cas d'un anneau commutatif pour ne pas surcharger cette page de présentation.


Exemple :

  1. Dans l'anneau , les sous-ensembles de la forme sont des idéaux. L'anneau est alors l'anneau quotient de par .
  2. Dans l'anneau , les idéaux sont de la forme avec fixé.

A partir de ces quelques définitions, on peut déjà dégager deux questions importantes lors de l'étude d'un anneau  :

  • Quels sont les éléments inversibles de l'anneau, s'il en a?
  • Quels sont les idéaux de l'anneau? On décline cette question par la recherche d'idéaux possédant des propriétés particulières (premiers, maximaux...).