Leçons de niveau 14

Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Statique dans le champ de pesanteur uniforme

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Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Statique dans le champ de pesanteur uniforme
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Chapitre no 2
Leçon : Statique des fluides (PCSI)
Chap. préc. :Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Forces surfaciques et volumiques
Chap. suiv. :Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Facteur de Boltzmann
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Établissement de la forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, la seule force volumique étant la force de pesanteur[modifier | modifier le wikicode]

But recherché[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant un fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre dans un référentiel galiléen, la seule force volumique s’exerçant sur le fluide étant la force de pesanteur et les seules forces surfaciques les « forces pressantes exercées sur chaque particule de fluide de la part du reste de fluide » [1], nous nous proposons de
     déterminer le lien existant entre la force volumique de pesanteur et la variation de la pression à l'intérieur du fluide en équilibre dans le référentiel d'étude galiléen.

Établissement de la forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, l’axe Oz étant vertical ascendant[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'une particule de fluide de forme cylindrique de bases horizontales et de génératrices verticales en équilibre dans un champ de pesanteur avec représentation des forces extérieures s'exerçant sur elle

     Soit une particule de fluide centrée en , de forme cylindrique dont la section droite est horizontale d’aire élémentaire [2] et dont les bases sont respectivement situées aux « altitudes et » [3] étant une variation élémentaire [2] en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme «» étant l'intensité de la pesanteur, la « masse volumique de fluide non nécessairement constante» étant notée «» [4] et le référentiel par rapport auquel nous nous proposons d'étudier l'équilibre du fluide est galiléen voir le schéma ci-contre le cylindre a été représenté de révolution d’axe à mais la base n’est pas nécessairement un disque ;

     les forces extérieures s'exerçant sur la particule de fluide «» [5] étant :

  • son poids «» seule force volumique,
  • les forces pressantes forces surfaciques
    sur la base supérieure «» [6],
    sur la base inférieure «» [6] et
    sur la surface latérale «» [7], [8],

     nous en déduisons la « C.N. [9] d’équilibre de la particule dans le référentiel d'étude galiléen » à savoir « la somme des forces extérieures appliquées à la particule en équilibre est égale à » cette C.N. [9] est une C.S. [10] si la particule de fluide est initialement au repos ce qui doit évidemment être envisagé pour un équilibre, sinon la C.N. [9] correspondant à une absence d’accélération, la particule de fluide aurait un mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel d'étude galiléen.

  • La seule force « active » étant le poids vertical, les forces « réactives » c.-à-d. les forces de pression se compensent horizontalement et, si on considère un cylindre à bases adaptées au système de coordonnées cartésiennes c.-à-d. « rectangulaires de côtés à et à » par exemple au plan de la figure ci-dessus et venant vers le lecteur, dans le plan de la figure à et orienté vers la droite tel que le trièdre soit orthogonal direct, nous en déduisons que
    les forces pressantes s’exerçant sur les surfaces latérales à , de direction au plan de la figure ci-dessus se compensent d'où
    «» [11]
          dont nous tirons, en projetant sur et en simplifiant par , «» [11] correspondant à l’« indépendance de la pression relativement à » et que
    les forces pressantes s’exerçant sur les surfaces latérales à , de direction dans le plan de la figure ci-dessus à se compensent d'où
    «» [12]
          dont nous tirons, en projetant sur et en simplifiant par , «» [12] correspondant à l’« indépendance de la pression relativement à » d'où
    une 1ère conséquence sur la variation de la pression avec les coordonnées du centre de la particule de fluide en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme
    « la pression en un point d'un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme ne dépend que de l'altitude de ».
  • La force « active » c.-à-d. le poids « étant verticale descendante », la somme des forces « réactives » c.-à-d. la somme des forces pressantes sur les bases inférieure et supérieure puisque les forces pressantes sur la surface latérale se compensent « doit être verticale ascendante » la force pressante sur la base inférieure est de norme plus grande que celle sur la base supérieure d'où
    « la pression est d’autant plus petite que l’altitude est grande »
    c.-à-d. « est une fonction de » ;
    la projection sur de la C.N. [9] d'équilibre du fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme dans galiléen nous conduisant à «» [6] se réécrit «» soit, en effectuant le « D.L. [13] de et de à l'ordre un en au voisinage de » [14] «» « qui s'identifie à l'opposé de la différentielle de la pression soit » [15] d'où en multipliant par et en simplifiant par la réécriture de la C.N. [9] d'équilibre du fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme dans galiléen
    «» quand , est est , donc
    avec axe vertical ascendant étant l'altitude de ,
    la relation «» étant la « forme différentielle de la r.f.s.f. [16] dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme ».

Remarque, forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, l’axe Oz étant vertical descendant[modifier | modifier le wikicode]

     La forme différentielle de la r.f.s.f. [16] dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme avec l'axe vertical orienté dans le sens descendant représentant alors la profondeur du point s'obtient à partir de la forme différentielle de la r.f.s.f. [16] avec orienté dans le sens ascendant en changeant en soit

«» quand , est est , donc
avec axe vertical descendant étant la profondeur de .

Forme locale de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, la seule force volumique s'exerçant sur le fluide étant la force de pesanteur[modifier | modifier le wikicode]

     Sachant que le « gradient d'un champ scalaire de l'espace » noté est « le champ vectoriel tel que sa circulation élémentaire [17] est égale à la différentielle de la fonction scalaire » dont il « dérive » c.-à-d. «» [18],

     la forme différentielle de la r.f.s.f. [16] pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen « avec axe vertical ascendant » peut être réécrite selon «» où «» est un vecteur déplacement élémentaire « quelconque » [19] de composante verticale «» correspondant à la hauteur de la particule de fluide cylindrique précédemment utilisée centrée au point  ;

     injectant «» dans «» nous obtenons «» ou, en utilisant la commutativité de la multiplication scalaire puis en factorisant scalairement par dans le 1er membre [20], «» soit encore, l'axe étant ascendant , la réécriture de la forme différentielle de la r.f.s.f. [16] pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen «» ;

     cette dernière relation «» étant vérifiée quel que soit le vecteur déplacement élémentaire nous en déduisons «» ou encore

« du fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur dans le référentiel galiléen »
cette relation étant la « forme locale de la r.f.s.f. [16] pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen »
l'avantage de la forme locale sur la forme différentielle est que la 1ère est indépendante du sens d'orientation de l'axe vertical.

Conséquence de la forme différentielle ou locale de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen sur la forme des isobares du fluide, ce dernier n’étant soumis qu’au champ de pesanteur[modifier | modifier le wikicode]

Conséquence de la forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, sur la forme des isobares[modifier | modifier le wikicode]

     Que l'axe vertical soit orienté dans le sens ascendant ou descendant, un déplacement élémentaire sur une isobare entraîne «» dont nous déduisons

     «» par utilisation de l'une ou l'autre de la forme différentielle de la r.f.s.f. [16] pour le fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme dans le référentiel d'étude galiléen à savoir c.-à-d. que

« les isobares du fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme dans le référentiel d'étude galiléen sont des plans horizontaux ».

     Nous pouvons aussi déduire de la forme différentielle de la r.f.s.f. [16] pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel d'étude galiléen avec vertical ascendant «» que « la pression diminue quand l’altitude augmente » car « » ainsi que

     Nous pouvons aussi déduire de la forme différentielle de la r.f.s.f. [16] pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel d'étude galiléen avec vertical descendant «» que « la pression augmente quand la profondeur augmente » car « ».

Conséquence de la forme locale de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, sur la forme des isobares[modifier | modifier le wikicode]

     Par utilisation de la forme locale de la r.f.s.f. [16] pour le fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme dans le référentiel d'étude galiléen «» laquelle peut être réécrite «», nous en déduisons que « est vertical descendant » et par suite

     sachant que « la surface iso-U passant par est à » [21], la surface isobare passant par étant à vertical est horizontal d'où

« les isobares du fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme dans le référentiel d'étude galiléen sont des plans horizontaux » et

     sachant que « est orienté dans le sens des » [22], le caractère vertical descendant de la pression dans le sens vertical descendant c.-à-d.
     sachant avec un axe vertical orienté dans le sens ascendant repérant alors l'altitude du point « la pression augmente quand l'altitude diminue »,
     sachant avec un axe vertical orienté dans le sens descendant repérant alors la profondeur du point « la pression augmente quand la profondeur augmente ».

Rappel de thermodynamique, notion de gaz parfait (G.P.)[modifier | modifier le wikicode]

     La notion de gaz parfait (G.P.) a été entrevue dans le cours de physique du secondaire, elle sera revue plus en détail dans le paragraphe « équation d'état sous forme intégrale d'une quantité n fixée d'un gaz parfait (G.P.) » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».

« Définition » d’un gaz parfait (G.P.), formes locales de son équation d’état à l’équilibre thermodynamique[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : La définition d'un G.P. [23] donnée ci-après est volontairement incomplète car n'est fournie que la partie nécessaire à l'introduction du « modèle du G.P. [23] » de l'atmosphère terrestre voir le paragraphe « modèle de l'atmosphère isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » plus loin dans le chapitre, il y manque l’aspect énergétique du G.P. [23] qui n'y sera pas utilisé

     Remarque : La forme locale de l’équation d’état du G.P. [23] en équilibre thermodynamique peut également s'écrire, en introduisant la « densité volumique molaire du gaz en avec le volume occupé par la quantité mésoscopique de gaz », sous la forme

«» dans laquelle

     Remarque : « est la pression du gaz en », « la température en [29] et « la constante molaire des G.P. [23] caractérisant ces derniers indépendamment de leur nature et approximativement égale à ».

Forme « globale » de l’équation d’état d’un gaz parfait (G.P.) à l’équilibre thermodynamique[modifier | modifier le wikicode]

     Dans la mesure où un G.P. [23] est nécessairement monophasé [30], il est « homogène », c.-à-d. que « sa densité volumique molaire est constante » ou, ce qui est équivalent, « son volume molaire est constant » étant la quantité d'entités contenue dans l'échantillon mésoscopique de volume centrée en  ;

     le caractère constant du volume molaire d'un G.P. [23] en équilibre thermodynamique permet de déduire le « volume » occupé par une « quantité finie d'entités » de ce G.P. [23] en équilibre thermodynamique selon «» ;

     partant de la forme locale de l’équation d’état d’un G.P. [23] à l’équilibre thermodynamique «» et multipliant chaque membre de cette forme locale par la quantité d'entités présente dans ce G.P. [23] étudié, nous obtenons «» ou «» soit enfin, avec «»,

la forme globale de l’équation d’état d'une quantité d'entités d'un [23] à l’équilibre thermodynamique
«» [31] dans laquelle
« est la pression du gaz en », « la température en [29] », « le volume en occupé par la quantité en » et
« la constante molaire des G.P.[23] caractérisant ces derniers indépendamment de leur nature et approximativement égale à ».

Modèle de l’atmosphère isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     Nous considérons que l'atmosphère terrestre est en « équilibre thermodynamique » c.-à-d. sans vents dans l'atmosphère dans un « champ de pesanteur uniforme » l'atmosphère terrestre n'est donc pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion d'atmosphère limitée dans l'espace de façon à ce que y soit uniforme [32] du « référentiel terrestre supposé galiléen » [33], de plus

     Nous considérons que l'atmosphère terrestre est supposée « isotherme » c.-à-d. que la température de l'atmosphère est supposée « constante » sur toute portion d'atmosphère étudiée [34] sa température étant notée par la suite, et enfin

     Nous considérons que toute « particule d'atmosphère [35] » au sens de particule de fluide [36] est « monophasée » constituant une phase élémentaire dont l’équation d’état est celle d’un « G.P. [23] en équilibre thermodynamique » pour cela il est nécessaire de remplacer les différentes sortes de molécules présentes dans la particule d'atmosphère par un seul type de molécule « moyenne » dont la masse molaire moléculaire est «» [37] s’écrivant sous forme intégrée

«» dans laquelle

     Nous considérons que toute « particule d'atmosphère « et sont respectivement la pression et la température locales », « la constante molaire des G.P.[23] approximativement égale à » et « la quantité de molécules « moyennes » de la particule d'atmosphère de volume liée à la masse de celle-ci [38] par » ;
     Nous considérons que toute « particule d'atmosphère reportant «» dans la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère [35] » en équilibre thermodynamique, nous obtenons pour nouvelle forme intégrée de cette particule d'atmosphère «» se réécrivant

«[39] » ;

     Nous considérons que toute « particule d'atmosphère de la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère [35] » en équilibre thermodynamique, nous obtenons, en divisant chacun de ses membres par et en introduisant la « masse volumique de la particule d'atmosphère » la forme locale associée à la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère [35] » en équilibre thermodynamique,

«[40] ».

     En conclusion la « particule d'atmosphère isotherme à la température centrée en [35] en équilibre thermodynamique » prend pour forme locale de son équation d'état faisant intervenir les deux paramètres locaux dépendant de à savoir « la pression et la masse volumique »

«[41] » étant à [42].

Détermination du champ de pression dans l’atmosphère isotherme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le référentiel terrestre galiléen, la forme différentielle de la r.f.s.f. [16] d’une atmosphère en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre le seul champ de force pris en compte uniforme pour cela l'atmosphère terrestre n'est pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion limitée dans l'espace d'« étendue horizontale maximale » et de « variation maximale d'altitude » [32], écrite au point [35] d'altitude l'axe vertical étant ascendant et le point de la surface du globe situé à la verticale du point étant

«[43] » avec
« et respectivement la pression et la masse volumique de l'atmosphère en », étant l'intensité de la pesanteur,

     le choix du « modèle de l’atmosphère isotherme à la température » permet, en utilisant la relation , de « remplacer par [43] » d'où «» et finalement la pression de l'atmosphère au point se détermine en résolvant l’équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en homogène

«» ;

     la résolution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en homogène [44] nous conduit à «» avec « constante à déterminer par utilisation de la C.A.L. [45] » «» soit finalement l'expression du champ de pression dans le modèle de l’atmosphère terrestre isotherme soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre galiléen

«» traduisant
une décroissance exponentielle de la pression de l'atmosphère avec l'altitude de sa mesure.

Ordre de grandeur du champ de pression dans l’atmosphère réelle en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et comparaison à celui du modèle de l’atmosphère isotherme[modifier | modifier le wikicode]

Constante d'altitude « d » du modèle de l'atmosphère isotherme à la température T0 en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et réécriture de son champ de pression en fonction de « d »[modifier | modifier le wikicode]

     La pression du modèle de l'atmosphère isotherme à la température en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, décroissant exponentiellement avec l'altitude du lieu de sa mesure dans le référentiel terrestre galiléen selon «» avec la pression au niveau du sol, nous définissons

     une constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température « en » permettant de réécrire la « variation de la pression avec l'altitude » selon

«» avec « en »,
et étant dans la même unité de pression « le » ou un multiple « le » ;

      à l'altitude , la pression vaut «»,

      à l'altitude , la pression vaut «» et

      à l'altitude , la pression vaut «» par rapport à , correspondant donc à un milieu très dilué assimilable au vide peut être considéré comme la hauteur pratique du modèle de l'atmosphère isotherme c.-à-d. que le « plafond de celui-ci, théoriquement situé à l'infini, est, dans la pratique, ramené à l'altitude ».

Face Nord de l'Everest vue du Camp de base tibétain situé à d'altitude Luca Galuzzi en

     A.N. [46] : Considérant une température centésimale d’atmosphère égale à «» soit une température absolue «» [29], la constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à cette température vaut « en soit » que nous arrondissons à «» [47] à comparer au « point culminant de l'Everest d’altitude » voir ci-contre ;

          A.N. : pour une pression au niveau du sol «», la pression du modèle de l'atmosphère isotherme à la température [29] en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme ne vaut plus que

          A.N. : à l'« altitude » [48] « en soit »,

          A.N. : à l'« altitude » « en soit »,

          A.N. : à l'« altitude » « en soit »,

          A.N. : à l'« altitude » « en soit » et

          A.N. : à l'« altitude » « en soit » soit moins de de la pression au niveau du sol Pouvant estimer qu'à cette altitude le modèle de l’atmosphère isotherme est suffisamment raréfié pour être assimilée à un « vide relatif » nous en déduisons le niveau pratique du plafond du modèle de l'atmosphère isotherme situé à l'altitude de .

Comparaison à l’atmosphère réelle[modifier | modifier le wikicode]

     Avec une température centésimale d’atmosphère au niveau du sol égale à «» soit une température absolue à l'altitude nulle «» [29], la pression réelle de l'atmosphère en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme pour une pression au niveau du sol «» est,

     à l'« altitude » [48] «» la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de de » l'erreur de l'ordre de restant dans le domaine du raisonnable,

     à l'« altitude » «» la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de de » [49] mesurant une pression de et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température [29] pour déterminer l'altitude principe des altimètres nous trouverions une altitude de  !,

     à l'« altitude » «» la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de » [49] mesurant une pression de et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température [29] pour déterminer l'altitude principe des altimètres nous trouverions une altitude de  ! !,

     à l'« altitude » «» la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de » [49] mesurant une pression de et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température [29] pour déterminer l'altitude principe des altimètres nous trouverions une altitude de  ! ! ! et

     à l'« altitude » «» la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de » [49] mesurant une pression de et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température [29] pour déterminer l'altitude principe des altimètres nous trouverions une altitude de  ! ! ! !.

     Remarque : Avec l'hypothèse qu'une mesure de pression réelle de moins de de la pression au niveau du sol permet de considérer l'atmosphère suffisamment raréfiée pour être assimilée à un « vide relatif » le niveau pratique du plafond de l'atmosphère réelle est situé à l'altitude de au lieu de pour le modèle de l'atmosphère isotherme à la température [29].

Interprétation des écarts de pression entre celle de l’atmosphère réelle et celle du modèle de l’atmosphère isotherme[modifier | modifier le wikicode]

     Modélisation plus fine de l'atmosphère réelle : pour modéliser plus finement l’atmosphère terrestre réelle, nous la considérerons comme constituée de couches sphériques se superposant à partir de la surface du globe selon les variations d'altitude suivantes :

  • nous trouvons sur «» la « troposphère » dans laquelle la température linéairement de «»,
  • nous trouvons sur «» la « tropopause suivie de la basse stratosphère » dans laquelle la température reste constante si la température centésimale du sol est «» celle de cette couche est «» soit une température absolue «» [29],
  • nous trouvons sur «» la « moyenne stratosphère » [50] dans laquelle la température linéairement de «» si la température centésimale du sol est «» celle de cette couche varie de «» à «» soit une température absolue variant de « » [29] à «» [29],
  • nous trouvons sur «» la « haute stratosphère » [50] dans laquelle la température linéairement de «» si la température centésimale du sol est «» celle de cette couche varie de «» à «» soit une température absolue de « » [29] à «» [29],
  • nous trouvons sur «» la « stratopause » dans laquelle la température reste constante si la température centésimale du sol est «» celle de cette couche est « » soit une température absolue «» [29] ensuite
  • nous trouvons sur «» la « mésosphère » [51], [52] se composant
    d'une « 1ère couche sur » dans laquelle la température linéairement de «» si la température centésimale du sol est «» celle de cette couche varie de «» à «» soit une température absolue de «» [29] à « » [29] et
Aurore australe en Antarctique
Aurore australe photographiée depuis la navette spatiale Discovery lors du maximum solaire de
d'une « 2ème couche sur » dans laquelle la température linéairement de «» si la température centésimale du sol est «» celle de cette couche varie de «» à « » soit une température absolue de «» [29] à « » [29] puis
  • nous trouvons sur «» la « thermosphère » [52], [53] dans laquelle la température reste constante sur «» puis avec l'altitude jusqu'à une température oscillant entre et suivant l'activité solaire [54] sur «», le dioxygène moléculaire absorbe les très courtes longueurs d'onde entre et de l'ultraviolet solaire ce qui a pour effet une de la température en rapport avec la quantité d'ultraviolet absorbée et enfin
  • nous trouvons sur «» l'« exosphère » [52], [53] dans laquelle la température n'a plus de signification en effet la température absolue en un point étant, par définition, à l’énergie cinétique moyenne d’agitation des molécules présentes à un instant donné dans un échantillon de petit volume à l'échelle macroscopique centré en [55] et cette moyenne ne pouvant être faite que si l'échantillon considéré est mésoscopique c.-à-d. s'il y a suffisamment de molécules pour faire de la statistique, ce qui n’est plus le cas dans l’exosphère ;
  • au-delà, le milieu étant beaucoup trop dilué et inhomogène, la notion d'atmosphère n'a plus de signification [56], nous y trouvons des particules circulant librement provenant de la « magnétosphère terrestre » ensemble des lignes de champs magnétiques terrestres entourant la Terre , située au-delà de l'ionosphère voir la localisation de celle-ci dans la note « 52 » plus haut dans ce chapitre, plus précisément au-dessus de à d'altitude, lignes déformées par l’action du vent solaire et à l'intérieur desquelles est piégé un plasma c.-à-d. des particules chargées libres sous forme d’électrons et d’ions ainsi que du « vent solaire » flux de plasma éjecté de la haute atmosphère du Soleil , essentiellement composé d’électrons et d’ions pouvant être très énergétiques, voir schéma ci-dessous à droite.
Structure de la magnétosphère terrestre

     Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : La principale cause d’écart, sur l'intervalle « d'altitude c.-à-d. la troposphère », du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur uniforme du référentiel terrestre galiléen par rapport au champ de pression de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L. [45] prise au niveau du sol est le caractère « non isotherme » de l’atmosphère voir un modèle mieux adapté traité « en exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l'atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » dans le paragraphe suivant ;

     Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle « d'altitude c.-à-d. la tropopause » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle est principalement dû à la température de l'atmosphère isotherme qui doit être choisie plus basse et très légèrement aussi à l'intensité de la pesanteur terrestre qui est un peu plus faible, la C.A.L. [45] devant bien sûr être choisie à la base de la tropopause ;

     Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle « d'altitude c.-à-d. la moyenne stratosphère » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L. [45] prise à la base de la moyenne stratosphère est principalement le caractère « non isotherme » de l’atmosphère et légèrement aussi la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre qui est un plus faible voir un modèle mieux adapté traité « en exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l'atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » dans le paragraphe suivant ;

     Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle « d'altitude c.-à-d. la haute stratosphère » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L. [45] prise à la base de la haute stratosphère est là encore principalement le caractère « non isotherme » de l’atmosphère et aussi la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre qui est plus faible voir un modèle mieux adapté traité « en exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l'atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » dans le paragraphe suivant ;

     Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle « d'altitude c.-à-d. la stratopause » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L. [45] prise à la base de la stratopause est principalement dû à la température de l'atmosphère isotherme qui doit être choisie plus basse et aussi à la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre qui est plus faible

En exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l’atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Modèle de l’atmosphère à gradient de température uniforme dans un champ de pesanteur uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     Nous considérons l'atmosphère terrestre en « équilibre thermodynamique » c.-à-d. sans vents dans l'atmosphère dans un « champ de pesanteur uniforme » l'atmosphère terrestre n'est donc pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion d'atmosphère limitée dans l'espace de façon à ce que y soit uniforme [32] du « référentiel terrestre supposé galiléen » [33], mais dans ce modèle

     Nous considérons la « température de l'atmosphère terrestre est supposée varier linéairement avec l'altitude » c.-à-d. que la température de l'atmosphère à l'altitude s'écrit « avec » sur toute portion d'atmosphère étudiée, étant la température du point de cette portion à l'altitude avec si avec l'altitude cas de l'atmosphère terrestre à partir de l'altitude nulle jusqu'à d'altitude c.-à-d. la troposphère et si avec l'altitude cas de l'atmosphère terrestre à partir de jusqu'à d'altitude c.-à-d. la moyenne stratosphère et celui de l'atmosphère terrestre à partir de jusqu'à d'altitude c.-à-d. la haute stratosphère, la variation linéaire de la température avec l'altitude correspondant à un « gradient de température [18] vertical uniforme » plus exactement «[57] avec » avec dans la troposphère, dans la moyenne stratosphère, dans la haute stratosphère et enfin

     Nous considérons toute « particule d'atmosphère [35] » au sens de particule de fluide [36] est « monophasée » constituant une phase élémentaire dont l’équation d’état est celle d’un « G.P. [23] en équilibre thermodynamique » pour cela il est nécessaire de remplacer les différentes sortes de molécules présentes dans la particule d'atmosphère par un seul type de molécule « moyenne » dont la masse molaire moléculaire est «» [37] s’écrivant sous forme intégrée

«» dans laquelle

     Nous considérons toute « particule d'atmosphère « et sont respectivement la pression et la température locales », « la constante molaire des G.P.[23] approximativement égale à » et « la quantité de molécules « moyennes » de la particule d'atmosphère de volume liée à la masse de celle-ci [38] par » ;
     Nous considérons toute « particule d'atmosphère reportant «» dans la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère [35] » en équilibre thermodynamique, nous obtenons pour nouvelle forme intégrée de cette particule d'atmosphère «» se réécrivant

«[39] » ;

     Nous considérons toute « particule d'atmosphère de la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère [35] » en équilibre thermodynamique, nous obtenons, en divisant chacun de ses membres par et en introduisant la « masse volumique de la particule d'atmosphère » la forme locale associée à la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère [35] » en équilibre thermodynamique,

«[40] ».

     En conclusion la « particule d'atmosphère à gradient de température uniforme [57] à partir de l'altitude de température centrée en [35] en équilibre thermodynamique » prend pour forme locale de son équation d'état faisant intervenir les trois paramètres locaux dépendant de à savoir « la pression , la température et la masse volumique »

«[58] » étant à et [59].

Équation différentielle en champ de pression « p(z) »[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le référentiel terrestre galiléen, la forme différentielle de la r.f.s.f. [16] d’une atmosphère en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre le seul champ de force pris en compte uniforme pour cela l'atmosphère terrestre n'est pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion limitée dans l'espace d'« étendue horizontale maximale » et de « variation maximale d'altitude » [32], écrite au point [35] d'altitude l'axe vertical étant ascendant et le point de la surface du globe situé à la verticale du point étant

«[43] » avec
«, et respectivement la pression, la température et la masse volumique de l'atmosphère en », étant l'intensité de la pesanteur,

     le choix du « modèle de l’atmosphère à gradient de température uniforme » permet, en utilisant la relation , de « remplacer par [43] » d'où «» et finalement la pression de l'atmosphère au point se détermine en résolvant l’équation différentielle linéaire du 1er ordre en homogène

«»,
équation toujours linéaire mais qui n'est plus à cœfficients constants.

Évaluation du champ de pression[modifier | modifier le wikicode]

     La « température absolue de l'atmosphère terrestre variant linéairement avec l'altitude » selon « avec sur toute la portion d'atmosphère étudiée, étant la température absolue du point de cette portion à l'altitude » cette variation linéaire de température avec l'altitude correspond à un « gradient de température [18] vertical uniforme » plus exactement «[57] avec si la température quand et si la température quand » son report dans l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en homogène précédemment établie nous conduit, après avoir fait un changement d'origine d'altitude en choisissant le point d'altitude comme nouvelle origine «», à

«» [60].

     L'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1er ordre en homogène «» étant de la forme « avec » a pour solution générale « » dans laquelle « est une primitive de c.-à-d. [61] » et « constante d'intégration » [62] d'où «» soit finalement

«» avec
« constante d'intégration » à déterminer à l'aide de la C.A.L. [45] ;

     utilisant la « C.A.L. [45] étant notée » pour laquelle la « température absolue est notée », nous en déduisons « » soit finalement l'expression du champ de pression du modèle de l’atmosphère à « gradient de température uniforme » [57] dans un « champ de pesanteur uniforme »

«» avec «»,
valable sur l'intervalle d'altitudes avec « et ».

     A.N. [46] du modèle appliqué à la « troposphère» : le taux de décroissance linéaire de la température étant « la température de ou de [29] par d'ascension», l'« intensité de la pesanteur au sol valant » et les C.A.L. [63] étant «