Leçons de niveau 14

Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Forces surfaciques et volumiques

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Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Forces surfaciques et volumiques
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Chapitre no 1
Leçon : Statique des fluides (PCSI)
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Chap. suiv. :Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Statique dans le champ de pesanteur uniforme
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Quelques définitions : fluide, approximation des milieux continus, particule de fluide[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un fluide[modifier | modifier le wikicode]

Approximation des milieux continus[modifier | modifier le wikicode]

Échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de l'espace, échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps[modifier | modifier le wikicode]

     La distinction entre « échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de l'espace » a déjà été introduite dans le paragraphe « de même titre » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », elle est rappelée ci-dessous :

  • échelle macroscopique de l'espace : toute dimension ,
  • échelle microscopique de l'espace : toute dimension de l'ordre de la distance moyenne séparant deux atomes dans un solide ou deux molécules dans un gaz à pression et température usuelles,
  • échelle mésoscopique de l'espace : les dimensions qui peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux dimensions microscopiques » [2] et comme « des infiniment petits relativement aux dimensions macroscopiques » [3].

     La distinction entre « échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps » a déjà été introduite dans le paragraphe « de même titre » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », elle est rappelée ci-dessous :

  • échelle macroscopique de temps : toute durée supérieure à l'ordre de grandeur de persistance sur la rétine,
  • échelle microscopique de temps : toute durée la limite étant d'ordre de grandeur de la durée moyenne entre deux chocs successifs d'une même molécule dans un gaz à pression et température usuelles,
  • échelle mésoscopique de temps : les durées qui peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux durées microscopiques » [4] et comme « des infiniment petits relativement aux durées macroscopiques » [5].

Introduction de l'approximation des milieux continus[modifier | modifier le wikicode]

     L'approximation des milieux continus consiste à remplacer des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies par exemple :

          lors de la définition de la masse «» d’un échantillon mésoscopique de matière centrée en et considérée à l’instant ,
               utiliser la répartition quantifiée nécessiterait d'évaluer la masse de l'échantillon à l'instant par «» ce qui, compte-tenu de la grande valeur du nombre d'entités de l'échantillon, valeur variant a priori avec , serait quasi-impossible aussi choisit-on de
               modéliser la répartition quantifiée par une répartition continue de matière de masse volumique au point et à l'instant voir la remarque ci-dessous précisant la définition de la masse volumique permettant d'évaluer la masse de l'échantillon à l'instant par «» où est le volume de l'échantillon mésoscopique considéré cette modélisation est appelée « approximation des milieux continus » car la densité volumique introduite ici la masse volumique est une fonction variant continûment avec et .

          Remarque : Considérant un « instant d’un intervalle de temps d'échelle mésoscopique » étant donc une durée mésoscopique définie à partir d'un instant quelconque et
          Remarque : Considérant une « expansion tridimensionnelle mésoscopique de volume centrée en fixe et limitée par une surface fermée élémentaire également fixe relativement à » définissant la « surface de contrôle du système ouvert » constitué des entités présentes à l'instant considéré dans l'expansion tridimensionnelle mésoscopique de volume centrée en ,
          Remarque : la masse de l’échantillon mésoscopique de matière de volume centré en prise à l’instant « avec le nombre d'entités présentes à l'intérieur de à l'instant », étant non calculable précisément
          Remarque : la masse de l’échantillon mésoscopique du fait que le nombre est très grand d'une part et qu'il fluctue rapidement [6] avec d'autre part, nous appliquons la loi des grands nombres
          Remarque : la masse de l’échantillon mésoscopique en remplaçant d'une part «» par la valeur moyenne sur «» gommant ainsi la fluctuation avec et
          Remarque : la masse de l’échantillon mésoscopique en remplaçant d'autre part «», dans la mesure où les entités sont toutes identiques de masse , par « avec le nombre moyen lissé d'entités présentes à l'intérieur de sur » le lissage ayant pour effet de diminuer le plus possible la variation avec du nombre moyen d'entités présentes à l'intérieur de sur d'où finalement
          Remarque : la masse de l’échantillon mésoscopique de matière de volume centré en prise à l’instant est évaluée, dans la mesure où les entités sont toutes identiques de masse , par «» étant le nombre moyen lissé [7] d'entités présentes à l'intérieur de sur , évaluation à partir de laquelle
          Remarque : nous définissons la masse volumique de matière au point et à l'instant selon

« en variant continûment avec et sans variation brusque » sachant que,

          Remarque : nous définissons dans le cas d'un milieu en régime stationnaire, la masse volumique ne dépendant pas de est, a priori, uniquement fonction de «» et,
          Remarque : nous définissons si en plus le milieu est homogène, sa masse volumique ne dépendant pas non plus de est constante « notée » ;
          Remarque : définissant aussi la densité volumique d'entités toutes identiques présentes dans le milieu au point et à l'instant selon «[7] en » densité volumique d'entités identiques variant continûment avec et sans variation brusque d'où son lien avec la masse volumique du milieu d'entités identiques de masse , au point et à l'instant

«» avec « en », « en » et « en ».

          Remarque : Dans le cas où il y a plusieurs types d'entités présentes dans le milieu, l'approximation des milieux continus est à définir pour chaque type d'entités selon la définition précédemment fournie pour un seul type d'où
          Remarque : la masse volumique d'entités de type du milieu au point et à l'instant « en variant continûment avec et sans variation brusque »

avec «»
étant le nombre moyen lissé [8] d'entités de type présentes à l'intérieur de sur ainsi que

          Remarque : la densité volumique d'entités de type présentes dans le milieu au point et à l'instant «[8] en » densité volumique d'entités de type variant continûment avec et sans variation brusque, le lien avec la masse volumique d'entités de type du milieu au point et à l'instant étant

«» avec « en », « en » et « en » ;

          Remarque : la masse volumique du milieu au point et à l'instant s'obtient en ajoutant les contributions de chaque type d'entités selon « avec soit finalement, après simplification,

« en variant continûment avec et sans variation brusque » ou,
en introduisant la densité volumique d'entités de type « en » variant continûment avec et sans variation brusque,
«» avec « en », « en » et « en ».

Retour sur la définition d'un fluide[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une particule de fluide[modifier | modifier le wikicode]

Champs de forces volumique ou surfacique dans un fluide, exemples[modifier | modifier le wikicode]

     Nous ne nous intéressons qu'aux forces extérieures s'exerçant sur la particule de fluide « considérée à l'instant » étant le centre de la particule de fluide d'expansion tridimensionnelle mésoscopique limitée par la surface fermée fixe de volume intérieur et parmi celles-ci nous distinguons deux types de forces extérieures :

  • des forces de champ qui s’exercent sur toutes les entités présentes dans la particule de fluide, forces de champ qualifiées de « volumiques » on parle donc de « champ de force volumique »,
         exemples : le poids des entités d'une particule de fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme définissant un « champ de force de pesanteur », le poids de la particule de fluide considérée à l'instant , de masse volumique et de masse est la résultante des poids de toutes les entités présentes dans la particule de fluide à l'instant c.-à-d. « » appliquée en ,
         exemples : la force électrique s'exerçant sur les entités chargées d'une particule de fluide soumis à un champ électrique définissant un « champ de force électrique », la force électrique s'exerçant sur la particule de fluide considérée à l'instant , constitué d'entités chargées de type de densité volumique de charge , de charge globale est la résultante des forces électriques s'exerçant sur toutes les entités chargées présentes dans la particule de fluide à l'instant c.-à-d. « s'écrivant encore » appliquée en avec si la particule de fluide est globalement neutre,
         exemples :
  • des forces de contact qui s’exercent sur les entités de la particule de fluide situées à la périphérie de la surface fermée limitant l'expansion tridimensionnelle mésoscopique de volume , force de contact qualifiées de « surfaciques » on parle aussi de « champ de force surfacique »,
         exemples : les forces pressantes que les autres particules de fluide voisines exercent tout autour de la particule de fluide étudiée considérée à l'instant , par exemple la particule de fluide au contact en avec la particule de fluide considérée à l'instant exerçant sur cette dernière en la force pressante «» avec « la pression exercée par la particule de fluide extérieure au contact en avec » [9] et « le vecteur surface élémentaire de , à en et orienté vers l'extérieur de »,
         exemples : les forces de viscosité [10] que les particules de fluide voisines exercent sur la particule de fluide étudiée considérée à l'instant , en glissant sur cette dernière dans le cas où le fluide est « visqueux » [11], par exemple la particule de fluide au contact en avec la particule de fluide considérée à l'instant exerçant sur cette dernière en une force tangentielle « de viscosité » «» avec « le cœfficient de viscosité dynamique ou simplement la viscosité dynamique du fluide », « un vecteur unitaire du plan tangent à en le long duquel la particule de fluide au contact en avec la particule de fluide a une composante de vitesse par rapport à cette dernière égale à dans le référentiel lié à », « mesurant l'augmentation de avec l'éloignement de en restant sur la normale à en » et « l'aire de la surface élémentaire centrée en » nous ne considérons pas ces forces par la suite car nous ne nous intéressons qu’à la statique des fluides et les forces de viscosité n’apparaissant que lorsqu'il y a glissement de particules de fluide les unes sur les autres, n'interviennent pas en statique des fluides.

Champ de force volumique et sa densité volumique de force, retour sur les exemples[modifier | modifier le wikicode]

Caractérisation d'un champ de force volumique par sa densité volumique de force[modifier | modifier le wikicode]

     Une force volumique « s’exerçant sur la particule de fluide » étant « au volume de cette dernière », on définit « sa densité volumique de force » par

« s’exprimant en »,

     la connaissance de la densité volumique de force et du volume de la particule de fluide permettant alors d'exprimer la force volumique s'exerçant sur cette dernière par

«» en avec en et en .

Exemples de champ de force volumique[modifier | modifier le wikicode]

     Des exemples ont déjà été donnés au paragraphe « champs de forces volumique ou surfacique dans un fluide, exemples (forces de champ) » plus haut dans ce chapitre, ils sont rappelés dans la liste non exhaustive ci-dessous avec ajout d'un dernier exemple nécessitant que la particule de fluide soit en mouvement dans le référentiel d'étude donc hors statique des fluides :

  • le poids de la particule de fluide considérée à l'instant dans un « champ de pesanteur uniforme »
    «»
    avec « la masse de la particule de fluide considérée à l'instant », « étant la masse volumique du fluide en au même l'instant »,
  • la force électrique exercée, à l'instant , sur la particule de fluide « globalement chargée » dans un « champ électrique »
    «»
    avec « la charge totale de la particule de fluide considérée à l'instant », « étant la densité volumique de charge [12] globale du fluide en au même l'instant » et
  • la force magnétique de Lorentz [13] exercée, à l'instant , sur la particule de fluide « globalement chargée » mobile dans un « champ magnétique » relativement à la source de ce dernier
    «»
    avec « la charge totale de la particule de fluide considérée à l'instant », « étant la densité volumique de charge globale du fluide en au même l'instant » et « le vecteur vitesse de à l'instant dans le référentiel lié à la source du champ magnétique » nous ne considérerons pas cette force magnétique de Lorentz [13] par la suite car nous ne nous intéresserons qu’à la statique des fluides nécessitant que les particules de fluide soient individuellement immobiles dans le référentiel d'étude.

Définition de la densité volumique de force dans les exemples de champ de force volumique précédents[modifier | modifier le wikicode]

     Comme il suffit de diviser la force volumique s’exerçant sur la particule de fluide par son volume pour obtenir la densité volumique de force, nous en déduisons :

  • la densité volumique de force de pesanteur ou de poids au point et à l'instant du fluide considéré
    «»
    avec « le champ de pesanteur uniforme » et « la masse volumique du fluide en et à l'instant exprimée en »,
  • la densité volumique de force électrique au point et à l'instant du fluide globalement chargé considéré
    «»
    avec « le champ électrique au point à l'instant » et « la densité volumique de charge [12] globale du fluide en et à l'instant exprimée en » et
  • la densité volumique de force magnétique de Lorentz [13] au point et à l'instant du fluide globalement chargé en mouvement relativement à la source du champ magnétique considéré
    «»
    avec « le champ électrique au point à l'instant », « la densité volumique de charge [12] globale du fluide en et à l'instant exprimée en » et « le vecteur vitesse de à l'instant dans le référentiel lié à la source du champ magnétique » nous ne considérerons pas cette densité volumique de force magnétique de Lorentz [13] par la suite car nous ne nous intéresserons qu’à la statique des fluides nécessitant que les particules de fluide soient individuellement immobiles dans le référentiel d'étude.

Champ de force surfacique et sa densité surfacique de force, cas de la densité surfacique de force pressante[modifier | modifier le wikicode]

Caractérisation d'un champ de force surfacique par sa densité surfacique de force[modifier | modifier le wikicode]

     Une force surfacique « s’exerçant sur une portion élémentaire centrée en de la surface fermée limitant la particule de fluide » étant « à l'aire de la portion élémentaire centrée en », on définit « sa densité surfacique de force » par

« s’exprimant en »,

     la connaissance de la densité surfacique de force en et de l'aire de la portion élémentaire centrée en limitant la particule de fluide permettant alors d'exprimer la force surfacique s'exerçant en par

«» en avec en et en .

Exemples de champ de force surfacique[modifier | modifier le wikicode]

     Des exemples ont déjà été donnés au paragraphe « champs de forces volumique ou surfacique dans un fluide, exemples (forces de contact) » plus haut dans ce chapitre, ils sont rappelés dans la liste non exhaustive ci-dessous :

  • la force pressante exercée sur la particule de fluide étudiée la surface fermée limitant cette dernière étant par la particule de fluide au contact en avec la particule de fluide étudiée, considérée à l'instant
    «»
    avec « la pression exercée par la particule de fluide extérieure au contact en avec la particule de fluide étudiée » [9], « l'aire de la portion de surface de entourant » et « le vecteur unitaire à en orienté vers l'extérieur de » et
  • la force de viscosité [10] exercée sur la particule de fluide étudiée la surface fermée limitant cette dernière étant par la particule de fluide au contact en glissant sur la particule de fluide étudiée, considérée à l'instant dans le cas où le fluide est « visqueux » [11]
    «»
    avec « le cœfficient de viscosité dynamique ou simplement la viscosité dynamique du fluide », « un vecteur unitaire du plan tangent à en le long duquel la particule de fluide au contact en avec la particule de fluide a une composante de vitesse par rapport à cette dernière égale à dans le référentiel lié à », « mesurant l'augmentation de avec l'éloignement de en restant sur la normale à en » et « l'aire de la surface élémentaire centrée en » nous ne considérerons pas cette force de viscosité par la suite car nous ne nous intéresserons qu’à la statique des fluides nécessitant que les particules de fluide soient individuellement immobiles dans le référentiel d'étude.

Définition de la densité surfacique de force dans les exemples de champ de force surfacique précédents[modifier | modifier le wikicode]

     Comme il suffit de diviser la force surfacique s’exerçant en de la surface limitant la particule de fluide étudiée par l'aire de la portion de surface centrée en pour obtenir la densité surfacique de force en ce point, nous en déduisons :

  • la densité surfacique de force pressante au point et à l'instant du fluide considéré
    «»
    avec « la pression exercée par la particule de fluide extérieure au contact en avec la particule de fluide étudiée » [9] et « le vecteur unitaire à en orienté vers l'extérieur de » et
  • la densité surfacique de force de viscosité au point et à l'instant du fluide « visqueux » [11] considéré
    «»
    « le cœfficient de viscosité dynamique ou simplement la viscosité dynamique du fluide », « un vecteur unitaire du plan tangent à en le long duquel la particule de fluide au contact en avec la particule de fluide a une composante de vitesse par rapport à cette dernière égale à dans le référentiel lié à », « mesurant l'augmentation de avec l'éloignement de en restant sur la normale à en » nous ne considérerons pas cette densité surfacique de force de viscosité par la suite car nous ne nous intéresserons qu’à la statique des fluides nécessitant que les particules de fluide soient individuellement immobiles dans le référentiel d'étude.

     Remarque : Le lien existant entre la densité surfacique de force pressante «» en un point de la surface fermée limitant la particule de fluide et la pression «» exercée en sur cette dernière par le reste du fluide étant «» nous en déduisons la pression en fonction de la densité surfacique de force pressante par

«» [14] s'exprimant en «».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 et 1,1 Qui nécessitent un microscope pour être observée c.-à-d. de dimension de l'ordre du .
  2. Exemple d'une chaîne linéaire d'atomes : la distance entre deux atomes est d'échelle microscopique, une distance de sur cette chaîne d'échelle mésoscopique et celle de sur cette même chaîne d'échelle macroscopique ;
       nous pourrions déterminer la masse d'un échantillon mésoscopique de de chaîne d'atomes en multipliant la masse d'un atome par le nombre d'atomes comptés mais ce dernier étant grand et difficilement comptable, nous déduirons la masse de l'échantillon en multipliant la masse d'un atome par le nombre moyen d'atomes c.-à-d. en appliquant la loi des grands nombres à l'échantillon mésoscopique ou encore en y faisant une étude statistique.
  3. Reprenant l'exemple de la chaîne linéaire d'atomes précédente :
       ayant évalué la masse d'un échantillon mésoscopique de de chaîne d'atomes, la masse d'un échantillon macroscopique de de chaîne d'atomes pourrait être déterminée en ajoutant les masses de tous les échantillons mésoscopiques mais ce serait trop fastidieux, elle sera calculée en définissant la masse linéique des échantillons mésoscopiques suivant leur abscisse de positionnement et en intégrant le caractère petit des échantillons mésoscopiques relativement aux échantillons macroscopiques permettant de faire l'approximation continue de la matière dont nous introduisons dès à présent une notion sur un cas concret ;
       si la masse linéique des échantillons mésoscopiques ne dépend pas de leur abscisse de positionnement, la masse de l'échantillon macroscopique de de chaîne d'atomes s'obtiendra simplement en multipliant la masse linéique par le nombre moyen d'échantillons mésoscopiques dans l'échantillon macroscopique c.-à-d. en multipliant par .
  4. On pourra donc appliquer la loi des grands nombres sur la durée mésoscopique ou encore y faire une étude statistique.
  5. On pourra remplacer la définition d'une grandeur sur une durée mésoscopique repérée à l'instant par exemple le nombre d'atomes passant par un trou pendant à partir de l'instant par le débit de cette grandeur sur l'exemple le débit d'atomes passant par le trou à l'instant et calculer la grandeur sur une durée macroscopique à partir d'une date en intégrant sur l'exemple on obtient le nombre d'atomes passant par le trou pendant à partir de l'instant le caractère petit des durées mésoscopiques de temps relativement aux durées macroscopiques permettant de faire l'approximation continue de l'évolution de grandeur relativement au temps ;
         si le débit de la grandeur sur des durées mésoscopiques ne dépend pas de leur date de détermination, la grandeur sur la durée macroscopique de à partir de s'obtiendra simplement en multipliant le débit de la grandeur sur des durées mésoscopiques par le nombre moyen de durées mésoscopiques dans la durée macroscopique c.-à-d. en multipliant par .
  6. En effet la durée mésoscopique est de l'ordre de la alors que la durée nécessaire pour qu'une entité traverse est d'échelle microscopique c.-à-d. de l'ordre de quelques .
  7. 7,0 et 7,1 Le lissage ayant pour effet de diminuer le plus possible la variation avec du nombre moyen d'entités présentes à l'intérieur de sur .
  8. 8,0 et 8,1 Le lissage ayant pour effet de diminuer le plus possible la variation avec du nombre moyen d'entités de type présentes à l'intérieur de sur .
  9. 9,0 9,1 et 9,2 Voir une 1ère introduction dans le paragraphe « notion de pression en mécanique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  10. 10,0 et 10,1 Ces forces étant à l'origine des forces de frottement fluide entrevues dans le paragraphe « forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  11. 11,0 11,1 et 11,2 La définition de la viscosité dynamique d'un fluide n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux c.-à-d. qu'il « collera » au plan ;
       si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude car la couche inférieure à l'altitude tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la contrainte de cisaillement c.-à-d. la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard que l'on notera s'exprimant en , étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique du fluide par avec le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude , ceci impliquant que la viscosité dynamique du fluide s'exprime en encore appelé « poiseuille » de symbole , ce nom ayant été donné en hommage à Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869) physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux écoulements laminaires des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques ;
       c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite c.-à-d. les molécules les plus éloignées des parois de la conduite ont la vitesse maximale
       on définit aussi une autre viscosité appelée viscosité cinématique notée qui dépend de la viscosité dynamique du fluide ainsi que de sa masse volumique selon s'exprimant donc en mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole égal à  ; George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la Terre il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.
  12. 12,0 12,1 et 12,2 Ou charge volumique.
  13. 13,0 13,1 13,2 et 13,3 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) est un physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ; Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  14. Cette dernière égalité résultant du fait que la pression est d'une part et que la densité surfacique de force pressante est colinéaire et de sens contraire à d'autre part.