Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Forces surfaciques et volumiques

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Quelques définitions : fluide, approximation des milieux continus, particule de fluide

Définition d'un fluide

Définition d'un fluide

     Un fluide est un ensemble d’entités microscopiques présentes dans une expansion tridimensionnelle de volume $\;{\mathcal {V}}\;$ « dont la forme géométrique s’adapte aux contraintes extérieures » ; un fluide se présente

• sous phase liquide dans le cas où les entités microscopiques restent faiblement liées entre elles $\Rightarrow$ « ces dernières n'occupent pas entièrement un récipient fermé soumis à un champ de pesanteur, elles restent localisée au fond du récipient » ou
• sous phase gazeuse dans le cas où les entités microscopiques sont quasi-indépendantes entre elles $\Rightarrow$ « ces dernières occupent entièrement un récipient fermé soumis ou non à un champ de pesanteur ».

Approximation des milieux continus

Échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de l'espace, échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps

     $\;\succ \;$La distinction entre « échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de l'espace » a déjà été introduite dans le paragraphe « de même titre » du chap.$21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », elle est rappelée ci-dessous :

• échelle macroscopique de l'espace : toute dimension $\;{\mathit {l}}\gtrsim 1\;mm$,
• échelle microscopique de l'espace : toute dimension $\;{\mathit {l}}\lesssim 1\;nm\;$ de l'ordre de la distance moyenne séparant deux atomes dans un solide ou deux molécules dans un gaz à pression et température usuelles,
• échelle mésoscopique de l'espace : les dimensions $\;{\mathit {l}}\sim 1\;\mu m\;$ qui peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux dimensions microscopiques »  et comme « des infiniment petits relativement aux dimensions macroscopiques » .

     $\;\succ \;$La distinction entre « échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps » a déjà été introduite dans le paragraphe « de même titre » du chap.$21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », elle est rappelée ci-dessous :

• échelle macroscopique de temps : toute durée $\;\tau \gtrsim 0,1\;s\;$ supérieure à l'ordre de grandeur de persistance sur la rétine,
• échelle microscopique de temps : toute durée $\;\tau \lesssim 10^{-11}\;s\;$ la limite étant d'ordre de grandeur de la durée moyenne entre deux chocs successifs d'une même molécule dans un gaz à pression et température usuelles,
• échelle mésoscopique de temps : les durées $\;\tau \sim 1\;\mu s\;$ qui peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux durées microscopiques »  et comme « des infiniment petits relativement aux durées macroscopiques » .

Introduction de l'approximation des milieux continus

     L'approximation des milieux continus consiste à remplacer des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies par exemple :

          lors de la définition de la masse «$\;dm(\tau )\;$» d’un échantillon mésoscopique de matière centrée en $\;Q\;$ et considérée à l’instant $\;\tau$,
               utiliser la répartition quantifiée nécessiterait d'évaluer la masse de l'échantillon à l'instant $\;\tau \;$ par «$\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,dN_{\tau }}m_{i}\;$» ce qui, compte-tenu de la grande valeur du nombre $\;dN_{\tau }\;$ d'entités de l'échantillon, valeur variant a priori avec $\;\tau$, serait quasi-impossible aussi choisit-on de
               modéliser la répartition quantifiée par une répartition continue de matière de masse volumique $\;\mu (Q,\,\tau )\;$ au point $\;Q\;$ et à l'instant $\;\tau$ $\;{\big (}$voir la remarque ci-dessous précisant la définition de la masse volumique${\big )}\;$ permettant d'évaluer la masse de l'échantillon à l'instant $\;\tau \;$ par «$\;\mu (Q,\,\tau )\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$» où $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ est le volume de l'échantillon mésoscopique considéré $\;{\big \{}$cette modélisation est appelée « approximation des milieux continus » car la densité volumique introduite $\;{\big (}$ici la masse volumique${\big )}\;$ est une fonction variant continûment avec $\;Q\;$ et $\;\tau {\big \}}$.

          Remarque : Considérant un « instant $\;\tau \;$ d’un intervalle de temps d'échelle mésoscopique $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$» $\;{\big (}dt\;$ étant donc une durée mésoscopique définie à partir d'un instant $\;t\;$ quelconque${\big )}\;$ et
          Remarque : Considérant une « expansion tridimensionnelle mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ centrée en $\;Q\;$ fixe et limitée par une surface fermée élémentaire $\;{d\Sigma }_{Q}\;$ également fixe relativement à $\;Q\;$» $\;{\big (}{d\Sigma }_{Q}\;$ définissant la « surface de contrôle du système ouvert » constitué des entités présentes à l'instant considéré dans l'expansion tridimensionnelle mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ centrée en $\;Q{\big )}$,
          Remarque : la masse de l’échantillon mésoscopique de matière de volume $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ centré en $\;Q\;$ prise à l’instant $\;\tau \,\in \,\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,dN_{\tau }}m_{i}\;$ avec $\;dN_{\tau }\;$ le nombre d'entités présentes à l'intérieur de $\;{d\Sigma }_{Q}\;$ à l'instant $\;\tau \;$», étant non calculable précisément
          Remarque : la masse de l’échantillon mésoscopique du fait que le nombre $\;dN_{\tau }\;$ est très grand d'une part et qu'il fluctue $\;{\big (}$rapidement${\big )}\;$ avec $\;\tau \;$ d'autre part, nous appliquons la loi des grands nombres
          Remarque : la masse de l’échantillon mésoscopique en remplaçant d'une part «$\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,dN_{\tau }}m_{i}\;$» par la valeur moyenne sur $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ «$\;\left\langle \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,dN_{\tau }}m_{i}\right\rangle ={\dfrac {\displaystyle \int _{t}^{t+dt}\left[\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,dN_{\tau }}m_{i}\right]\!(\tau )\;d\tau }{dt}}\;$» gommant ainsi la fluctuation avec $\;\tau \,\in \,\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ et
          Remarque : la masse de l’échantillon mésoscopique en remplaçant d'autre part «$\;\left\langle \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,dN_{\tau }}m_{i}\right\rangle \;$», dans la mesure où les entités sont toutes identiques de masse $\;m_{\text{entité}}$, par «$\;\left\langle dN_{t}\right\rangle _{\text{lissé}}\;m_{\text{entité}}\;$ avec $\;\left\langle dN_{t}\right\rangle _{\text{lissé}}\;$ le nombre moyen lissé d'entités présentes à l'intérieur de $\;{d\Sigma }_{Q}\;$ sur $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$» $\;{\Big \{}$le lissage ayant pour effet de diminuer le plus possible la variation avec $\;Q\;$ du nombre moyen $\;\left\langle dN_{t}\right\rangle \;$ d'entités présentes à l'intérieur de $\;{d\Sigma }_{Q}\;$ sur $\;\left[t\,,\,t+dt\right]{\Big \}}\;$ d'où finalement
          Remarque : la masse de l’échantillon mésoscopique de matière de volume $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ centré en $\;Q\;$ prise à l’instant $\;\tau \,\in \,\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ est évaluée, dans la mesure où les entités sont toutes identiques de masse $\;m_{\text{entité}}$, par «$\;\left\langle dN_{t}\right\rangle _{\text{lissé}}\;m_{\text{entité}}=dm_{Q}(t)\;$» $\;{\Big \{}\left\langle dN_{t}\right\rangle _{\text{lissé}}\;$ étant le nombre moyen lissé d'entités présentes à l'intérieur de $\;{d\Sigma }_{Q}\;$ sur $\;\left[t\,,\,t+dt\right]{\Big \}}$, évaluation à partir de laquelle
          Remarque : nous définissons la masse volumique de matière au point $\;Q\;$ et à l'instant $\;t\;$ selon

«$\;\mu (Q,\,t)={\dfrac {dm_{Q}}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}(t)\;$ en $\;kg\cdot m^{-3}\;$ variant continûment avec $\;Q\;$ et $\;t\;$ sans variation brusque » sachant que,

          Remarque : nous définissons dans le cas d'un milieu en régime stationnaire, la masse volumique ne dépendant pas de $\;t\;$ est, a priori, uniquement fonction de $\;Q\;$ $\Rightarrow$ «$\;\mu _{\text{milieu stat}}(Q)={\dfrac {dm_{Q}}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}\;$» et,
          Remarque : nous définissons si en plus le milieu est homogène, sa masse volumique ne dépendant pas non plus de $\;Q\;$ est constante «$\;\mu _{\text{milieu stat. homog.}}=cste\;$ notée $\;\mu _{0}\;$ $\Rightarrow$ $\;dm_{Q}=\mu _{0}\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$» ;
          Remarque : définissant aussi la densité volumique d'entités toutes identiques présentes dans le milieu au point $\;Q\;$ et à l'instant $\;t\;$ selon «$\;N_{V}(Q,\,t)={\dfrac {\left\langle dN_{t}\right\rangle _{\text{lissé}}}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}(t)\;$ en $\;m^{-3}\;$» $\;{\big (}$densité volumique d'entités identiques variant continûment avec $\;Q\;$ et $\;t\;$ sans variation brusque${\big )}\;$ d'où son lien avec la masse volumique du milieu d'entités identiques de masse $\;m_{\text{entité}}$, au point $\;Q\;$ et à l'instant $\;t\;$

«$\;\mu (Q,\,t)=N_{V}(Q,\,t)\;m_{\text{entité}}\;$» avec «$\;m_{\text{entité}}\;$ en $\;kg\;$», «$\;N_{V}(Q,\,t)\;$ en $\;m^{-3}\;$» et «$\;\mu (Q,\,t)\;$ en $\;kg\cdot m^{-3}\;$».

          Remarque : Dans le cas où il y a plusieurs types d'entités $\;_{k}\;$ présentes dans le milieu, l'approximation des milieux continus est à définir pour chaque type $\;_{k}\;$ d'entités selon la définition précédemment fournie pour un seul type d'où
          Remarque : la masse volumique d'entités de type $\;_{k}\;$ du milieu au point $\;Q\;$ et à l'instant $\;t\;$ «$\;\mu _{k}(Q,\,t)={\dfrac {dm_{k,\,Q}}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}(t)\;$ en $\;kg\cdot m^{-3}\;$ variant continûment avec $\;Q\;$ et $\;t\;$ sans variation brusque »

avec «$\;dm_{k,\,Q}=\left\langle dN_{k,\,t}\right\rangle _{\text{lissé}}\;m_{{\text{entité}},\,k}\;$»
$\;{\Big \{}\left\langle dN_{k,\,t}\right\rangle _{\text{lissé}}\;$ étant le nombre moyen lissé d'entités de type $\;_{k}\;$ présentes à l'intérieur de $\;{d\Sigma }_{Q}\;$ sur $\;\left[t\,,\,t+dt\right]{\Big \}}\;$ ainsi que

          Remarque : la densité volumique d'entités de type $\;_{k}\;$ présentes dans le milieu au point $\;Q\;$ et à l'instant $\;t\;$ «$\;N_{V}(k,\,Q,\,t)={\dfrac {\left\langle dN_{k,\,t}\right\rangle _{\text{lissé}}}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}(t)\;$ en $\;m^{-3}\;$» $\;{\big (}$densité volumique d'entités de type $\;_{k}\;$ variant continûment avec $\;Q\;$ et $\;t\;$ sans variation brusque${\big )}$, le lien avec la masse volumique d'entités de type $\;_{k}\;$ du milieu au point $\;Q\;$ et à l'instant $\;t\;$ étant

«$\;\mu _{k}(Q,\,t)=N_{V}(k,\,Q,\,t)\;m_{{\text{entité}},\,k}\;$» avec «$\;m_{{\text{entité}},\,k}\;$ en $\;kg\;$», «$\;N_{V}(k,\,Q,\,t)\;$ en $\;m^{-3}\;$» et «$\;\mu (k,\,Q,\,t)\;$ en $\;kg\cdot m^{-3}\;$» ;

          Remarque : la masse volumique du milieu au point $\;Q\;$ et à l'instant $\;t\;$ s'obtient en ajoutant les contributions de chaque type d'entités selon «$\;\mu (Q,\,t)={\dfrac {dm_{Q}}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}(t)\;$ avec $\;dm_{Q}(t)=\sum _{k}dm_{k,\,Q}(t)=$ $\sum _{k}\left[\mu _{k}(Q,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{Q}\right]=\left[\sum _{k}\mu _{k}(Q,\,t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ soit finalement, après simplification,

«$\;\mu (Q,\,t)=\sum _{k}\mu _{k}(Q,\,t)\;$ en $\;kg\cdot m^{-3}\;$ variant continûment avec $\;Q\;$ et $\;t\;$ sans variation brusque » ou,
en introduisant la densité volumique d'entités de type $\;_{k}\;$ «$\;N_{V}(k,\,Q,\,t)\;$ en $\;m^{-3}\;$» $\;{\big (}$variant continûment avec $\;Q\;$ et $\;t\;$ sans variation brusque${\big )}$,
«$\;\mu (Q,\,t)=\sum _{k}\left[N_{V}(k,\,Q,\,t)\;m_{{\text{entité}},\,k}\right]\;$» avec «$\;m_{{\text{entité}},\,k}\;$ en $\;kg\;$», «$\;N_{V}(k,\,Q,\,t)\;$ en $\;m^{-3}\;$» et «$\;\mu (Q,\,t)\;$ en $\;kg\cdot m^{-3}\;$».

Retour sur la définition d'un fluide

Définition plus précise d'un fluide

     Un fluide est un ensemble d’entités microscopiques présentes dans une expansion tridimensionnelle de volume $\;{\mathcal {V}}$, ensemble traité dans le cadre de l'approximation des milieux continus tel que « sa forme géométrique s’adapte aux contraintes extérieures ».

Définition d'une particule de fluide

Définition d'une particule de fluide

     Une particule de fluide à l'instant $\;t\;$ est un échantillon mésoscopique de fluide centré en $\;Q$, de volume élémentaire $\;d{\mathcal {V}}\;$ considéré à l'instant $\;t$ $\;{\big (}$dans ce qui suit nous supposons un seul type d'entités microscopiques de masse individuelle $\;m_{\text{entité}}{\big )}$ ;

     les grandeurs dépendant du nombre d’entités présentes dans la particule de fluide sont caractérisées par ses propriétés volumiques comme

• « sa masse volumique $\;\mu (Q,\,t)\;$ en $\;kg\cdot m^{-3}\;$» ou
• « sa densité volumique particulaire $\;N_{V}(Q,\,t)\;$ en $\;m^{-3}\;$» liée à sa masse volumique par «$\;\mu (Q,\,t)=N_{V}(Q,\,t)\;m_{\text{entité}}\;$»,

     celles-ci permettant de définir la masse de la particule de fluide «$\;dm(Q,\,t)=\mu (Q,\,t)\;d{\mathcal {V}}\;$» ou
     celles-ci permettant de définir la quantité d’entités présentes dans la particule de fluide «$\;dN(Q,\,t)=N_{V}(Q,\,t)\;d{\mathcal {V}}\;$» $\;\ldots$

Champs de forces volumique ou surfacique dans un fluide, exemples

     Nous ne nous intéressons qu'aux forces extérieures s'exerçant sur la particule de fluide «$\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ considérée à l'instant $\;t\;$» $\;{\big \{}Q\;$ étant le centre de la particule de fluide d'expansion tridimensionnelle mésoscopique limitée par la surface fermée $\;d\Sigma _{Q}\;$ fixe de volume intérieur $\;d{\mathcal {V}}_{Q}{\big \}}\;$ et parmi celles-ci nous distinguons deux types de forces extérieures :

• des forces de champ qui s’exercent sur toutes les entités présentes dans la particule de fluide, forces de champ qualifiées de « volumiques » $\;{\big [}$on parle donc de « champ de force volumique »${\big ]}$,
       exemples : le poids des entités d'une particule de fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}\;$ définissant un « champ de force de pesanteur », le poids de la particule de fluide $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ considérée à l'instant $\;t$, de masse volumique $\;\mu (Q,\,t)\;$ et de masse $\;dm_{Q}(t)=\mu (Q,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ est la résultante des poids de toutes les entités présentes dans la particule de fluide à l'instant $\;t\;$ c'est-à-dire «$\;dm_{Q}(t)\;{\vec {g}}$ $=\mu (Q,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;{\vec {g}}\;$» appliquée en $\;Q$,
       exemples : la force électrique s'exerçant sur les entités chargées d'une particule de fluide soumis à un champ électrique $\;{\vec {E}}(Q,\,t)\;$ définissant un « champ de force électrique », la force électrique s'exerçant sur la particule de fluide $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ considérée à l'instant $\;t$, constitué d'entités chargées de type $\;_{k}\;$ de densité volumique de charge $\;\rho (k,\,Q,\,t)$, de charge globale $\;dq_{k,\,Q}(t)=\rho (k,\,Q,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ est la résultante des forces électriques s'exerçant sur toutes les entités chargées présentes dans la particule de fluide à l'instant $\;t\;$ c'est-à-dire «$\;\sum _{k}dq_{k,\,Q}(t)\;{\vec {E}}(Q,\,t)=\sum _{k}\rho (k,\,Q,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;{\vec {E}}(Q,\,t)\;$ s'écrivant encore $\;\left[\sum _{k}\rho (k,\,Q,\,t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{Q}\;{\vec {E}}(Q,\,t)\;$» appliquée en $\;Q$ $\;{\Big [}$avec $\;\sum _{k}\rho (k,\,Q,\,t)=0\;$ si la particule de fluide est globalement neutre${\Big ]}$,
       exemples : $\ldots$
• des forces de contact qui s’exercent sur les entités de la particule de fluide $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ situées à la périphérie de la surface fermée $\;d\Sigma _{Q}\;$ limitant l'expansion tridimensionnelle mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}_{Q}$, force de contact qualifiées de « surfaciques » $\;{\big [}$on parle aussi de « champ de force surfacique »${\big ]}$,
       exemples : les forces pressantes que les autres particules de fluide voisines exercent tout autour de la particule de fluide étudiée $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ considérée à l'instant $\;t$, par exemple la particule de fluide au contact en $\;M\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$ avec la particule de fluide $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ considérée à l'instant $\;t\;$ exerçant sur cette dernière en $\;M\;$ la force pressante «$\;-p(M,\,t)\;{\overrightarrow {d^{2}\Sigma _{Q}}}(M)\;$» avec «$\;p(M,\,t)\;$ la pression exercée par la particule de fluide extérieure au contact en $\;M\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$ avec $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$» et «$\;{\overrightarrow {d^{2}\Sigma _{Q}}}(M)\;$ le vecteur surface élémentaire de $\;d\Sigma _{Q}$, $\;\perp \;$ à $\;d\Sigma _{Q}\;$ en $\;M\;$ et orienté vers l'extérieur de $\;d\Sigma _{Q}\;$»,
       exemples : les forces de viscosité que les particules de fluide voisines exercent sur la particule de fluide étudiée $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ considérée à l'instant $\;t$, en glissant sur cette dernière dans le cas où le fluide est « visqueux », par exemple la particule de fluide au contact en $\;M\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$ avec la particule de fluide $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ considérée à l'instant $\;t\;$ exerçant sur cette dernière en $\;M\;$ une force tangentielle « de viscosité » «$\;\eta _{\text{flu}}\,\left({\dfrac {\partial V_{\tau }}{\partial n}}\right)_{\!\!\tau }(M,\,t)\;d^{2}\Sigma _{Q}(M)\;{\vec {\tau }}(M)\;$» avec «$\;\eta _{\text{flu}}\;$ le cœfficient de viscosité dynamique $\;{\big (}$ou simplement la viscosité dynamique${\big )}\;$ du fluide », «$\;{\vec {\tau }}(M)\;$ un vecteur unitaire du plan tangent à $\;d\Sigma _{Q}\;$ en $\;M\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$ le long duquel la particule de fluide au contact en $\;M\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$ avec la particule de fluide $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ a une composante de vitesse par rapport à cette dernière égale à $\;V_{\tau }(M,\,t)\;$ dans le référentiel lié à $\;Q\;$», «$\;\left({\dfrac {\partial V_{\tau }}{\partial n}}\right)_{\!\!\tau }(M,\,t)\;$ mesurant l'augmentation de $\;V_{\tau }(M,\,t)\;$ avec l'éloignement de $\;Q\;$ en restant sur la normale à $\;d\Sigma _{Q}\;$ en $\;M\;$» et «$\;d^{2}\Sigma _{Q}(M)\;$ l'aire de la surface élémentaire centrée en $\;M\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$» $\;{\big \{}$nous ne considérons pas ces forces par la suite car nous ne nous intéressons qu’à la statique des fluides et les forces de viscosité n’apparaissant que lorsqu'il y a glissement de particules de fluide les unes sur les autres, n'interviennent pas en statique des fluides${\big \}}$.

Champ de force volumique et sa densité volumique de force, retour sur les exemples

Caractérisation d'un champ de force volumique par sa densité volumique de force

     Une force volumique «$\;{\overrightarrow {dF}}_{V}(Q,\,t)\;$ s’exerçant sur la particule de fluide $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$» étant «$\;\propto \;$ au volume $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ de cette dernière », on définit « sa densité volumique de force » par

«$\;{\vec {f}}_{V}(Q,\,t)={\dfrac {{\overrightarrow {dF}}_{V}(Q,\,t)}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}\;$ s’exprimant en $\;N\cdot m^{-3}\;$»,

     la connaissance de la densité volumique de force et du volume de la particule de fluide permettant alors d'exprimer la force volumique s'exerçant sur cette dernière par

«$\;{\overrightarrow {dF}}_{V}(Q,\,t)={\vec {f}}_{V}(Q,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$» en $\;N\;$ avec $\;{\vec {f}}_{V}(Q,\,t)\;$ en $\;N\cdot m^{-3}\;$ et $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ en $\;m^{3}$.

Exemples de champ de force volumique

     Des exemples ont déjà été donnés au paragraphe « champs de forces volumique ou surfacique dans un fluide, exemples (forces de champ) » plus haut dans ce chapitre, ils sont rappelés dans la liste $\;{\big (}$non exhaustive${\big )}\;$ ci-dessous avec ajout d'un dernier exemple nécessitant que la particule de fluide soit en mouvement dans le référentiel d'étude $\;{\big (}$donc hors statique des fluides${\big )}$ :

• le poids de la particule de fluide $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ considérée à l'instant $\;t\;$ dans un « champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}\;$» «$\;dm_{Q}(t)\;{\vec {g}}\;$» avec «$\;dm_{Q}(t)=\mu (Q,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ la masse de la particule de fluide considérée à l'instant $\;t\;$», «$\;\mu (Q,\,t)\;$ étant la masse volumique du fluide en $\;Q\;$ au même l'instant $\;t\;$»,
• la force électrique exercée, à l'instant $\;t$, sur la particule de fluide $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ « globalement chargée » dans un « champ électrique $\;{\vec {E}}(Q,\,t)\;$» «$\;dq_{Q}(t)\;{\vec {E}}(Q,\,t)\;$» avec «$\;dq_{Q}(t)=\rho (Q,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ la charge totale de la particule de fluide considérée à l'instant $\;t\;$», «$\;\rho (Q,\,t)\;$ étant la densité volumique de charge globale du fluide en $\;Q\;$ au même l'instant $\;t\;$» et
• la force magnétique de Lorentz exercée, à l'instant $\;t$, sur la particule de fluide $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ « globalement chargée » mobile dans un « champ magnétique $\;{\vec {B}}(Q,\,t)\;$» relativement à la source de ce dernier «$\;dq_{Q}(t)\;{\vec {V}}_{Q\,/\,{\mathcal {R}}_{{\text{source de }}{\vec {B}}}}(t)\wedge {\vec {B}}(Q,\,t)\;$» avec «$\;dq_{Q}(t)=\rho (Q,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ la charge totale de la particule de fluide considérée à l'instant $\;t\;$», «$\;\rho (Q,\,t)\;$ étant la densité volumique de charge globale du fluide en $\;Q\;$ au même l'instant $\;t\;$» et «$\;{\vec {V}}_{Q\,/\,{\mathcal {R}}_{{\text{source de }}{\vec {B}}}}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;Q\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel ${\mathcal {R}}_{{\text{source de }}{\vec {B}}}\;$ lié à la source du champ magnétique » $\;{\big \{}$nous ne considérerons pas cette force magnétique de Lorentz par la suite car nous ne nous intéresserons qu’à la statique des fluides nécessitant que les particules de fluide soient individuellement immobiles dans le référentiel d'étude${\big \}}$.

Définition de la densité volumique de force dans les exemples de champ de force volumique précédents

     Comme il suffit de diviser la force volumique s’exerçant sur la particule de fluide par son volume pour obtenir la densité volumique de force, nous en déduisons :

• la densité volumique de force de pesanteur $\;{\big (}$ou de poids${\big )}\;$ au point $\;Q\;$ et à l'instant $\;t\;$ du fluide considéré «$\;{\vec {f}}_{V,\,{\text{pes}}}(Q,\,t)={\dfrac {dm_{Q}(t)\;{\vec {g}}}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}=\mu (Q,\,t)\;{\vec {g}}\;$» avec «$\;{\vec {g}}\;$ le champ de pesanteur uniforme » et «$\;\mu (Q,\,t)={\dfrac {dm_{Q}(t)}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}\;$ la masse volumique du fluide en $\;Q\;$ et à l'instant $\;t\;$ exprimée en $\;kg\cdot m^{-3}\;$»,
• la densité volumique de force électrique au point $\;Q\;$ et à l'instant $\;t\;$ du fluide globalement chargé considéré «$\;{\vec {f}}_{V,\,{\text{élec}}}(Q,\,t)={\dfrac {dq_{Q}(t)\;{\vec {E}}(Q,\,t)}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}=\rho (Q,\,t)\;{\vec {E}}(Q,\,t)\;$» avec «$\;{\vec {E}}(Q,_{,}t)\;$ le champ électrique au point $\;Q\;$ à l'instant $\;t\;$» et «$\;\rho (Q,\,t)={\dfrac {dq_{Q}(t)}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}\;$ la densité volumique de charge globale du fluide en $\;Q\;$ et à l'instant $\;t\;$ exprimée en $\;C\cdot m^{-3}\;$» et
• la densité volumique de force magnétique de Lorentz au point $\;Q\;$ et à l'instant $\;t\;$ du fluide globalement chargé en mouvement relativement à la source du champ magnétique considéré «$\;{\vec {f}}_{V,\,{\text{mag. de Lor}}}(Q,\,t)={\dfrac {dq_{Q}(t)\;{\vec {V}}_{Q\,/\,{\mathcal {R}}_{{\text{source de }}{\vec {B}}}}(t)\wedge {\vec {B}}(Q,\,t)}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}=\rho (Q,\,t)\;{\vec {V}}_{Q\,/\,{\mathcal {R}}_{{\text{source de }}{\vec {B}}}}(t)\wedge {\vec {B}}(Q,\,t)\;$» avec «$\;{\vec {B}}(Q,_{,}t)\;$ le champ électrique au point $\;Q\;$ à l'instant $\;t\;$», «$\;\rho (Q,\,t)={\dfrac {dq_{Q}(t)}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}\;$ la densité volumique de charge globale du fluide en $\;Q\;$ et à l'instant $\;t\;$ exprimée en $\;C\cdot m^{-3}\;$» et «$\;{\vec {V}}_{Q\,/\,{\mathcal {R}}_{{\text{source de }}{\vec {B}}}}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;Q\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel ${\mathcal {R}}_{{\text{source de }}{\vec {B}}}\;$ lié à la source du champ magnétique » $\;{\big \{}$nous ne considérerons pas cette densité volumique de force magnétique de Lorentz par la suite car nous ne nous intéresserons qu’à la statique des fluides nécessitant que les particules de fluide soient individuellement immobiles dans le référentiel d'étude${\big \}}$.

Champ de force surfacique et sa densité surfacique de force, cas de la densité surfacique de force pressante

Caractérisation d'un champ de force surfacique par sa densité surfacique de force

     Une force surfacique «$\;{\overrightarrow {d^{2}F}}_{S}(M_{Q},\,t)\;$ s’exerçant sur une portion élémentaire centrée en $\;M_{Q}\;$ de la surface fermée $\;d\Sigma _{Q}\;$ limitant la particule de fluide $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$» étant «$\;\propto \;$ à l'aire $\;d^{2}\Sigma _{Q}(M_{Q})\;$ de la portion élémentaire centrée en $\;M_{Q}\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$», on définit « sa densité surfacique de force » par

«$\;{\vec {f}}_{S}(M_{Q},\,t)={\dfrac {{\overrightarrow {d^{2}F}}_{S}(M_{Q},\,t)}{d^{2}\Sigma _{Q}(M_{Q})}}\;$ s’exprimant en $\;N\cdot m^{-2}\;$»,

     la connaissance de la densité surfacique de force en $\;M_{Q}\;$ et de l'aire de la portion élémentaire centrée en $\;M_{Q}\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$ limitant la particule de fluide permettant alors d'exprimer la force surfacique s'exerçant en $\;M_{Q}\;$ par

«$\;{\overrightarrow {d^{2}F}}_{S}(M_{Q},\,t)={\vec {f}}_{S}(M_{Q},\,t)\;d^{2}S_{Q}(M_{Q})\;$» en $\;N\;$ avec $\;{\vec {f}}_{S}(M_{Q},\,t)\;$ en $\;N\cdot m^{-2}\;$ et $\;d^{2}S_{Q}(M_{Q})\;$ en $\;m^{2}$.

Exemples de champ de force surfacique

     Des exemples ont déjà été donnés au paragraphe « champs de forces volumique ou surfacique dans un fluide, exemples (forces de contact) » plus haut dans ce chapitre, ils sont rappelés dans la liste $\;{\big (}$non exhaustive${\big )}\;$ ci-dessous :

• la force pressante exercée sur la particule de fluide étudiée $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)$ $\;{\big [}$la surface fermée limitant cette dernière étant $\;d\Sigma _{Q}{\big ]}\;$ par la particule de fluide au contact en $\;M\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$ avec la particule de fluide étudiée, considérée à l'instant $\;t\;$ «$\;-p(M,\,t)\;d^{2}\Sigma _{Q}(M)\;{\vec {n}}_{Q\,\rightarrow \,M}\;$» avec «$\;p(M,\,t)\;$ la pression exercée par la particule de fluide extérieure au contact en $\;M\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$ avec la particule de fluide étudiée $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$», «$\;d^{2}\Sigma _{Q}(M)\;$ l'aire de la portion de surface de $\;d\Sigma _{Q}\;$ entourant $\;M\;$» et «$\;{\vec {n}}_{Q\,\rightarrow \,M}\;$ le vecteur unitaire $\;\perp \;$ à $\;d\Sigma _{Q}\;$ en $\;M\;$ orienté vers l'extérieur de $\;d\Sigma _{Q}\;$» et
• la force de viscosité exercée sur la particule de fluide étudiée $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)$ $\;{\big [}$la surface fermée limitant cette dernière étant $\;d\Sigma _{Q}{\big ]}\;$ par la particule de fluide au contact en $\;M\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$ glissant sur la particule de fluide étudiée, considérée à l'instant $\;t$ $\;{\big [}$dans le cas où le fluide est « visqueux »${\big ]}$ «$\;\eta _{\text{flu}}\,\left({\dfrac {\partial V_{\tau }}{\partial n}}\right)_{\!\!\tau }(M,\,t)\;d^{2}\Sigma _{Q}(M)\;{\vec {\tau }}(M)\;$» avec «$\;\eta _{\text{flu}}\;$ le cœfficient de viscosité dynamique $\;{\big (}$ou simplement la viscosité dynamique${\big )}\;$ du fluide », «$\;{\vec {\tau }}(M)\;$ un vecteur unitaire du plan tangent à $\;d\Sigma _{Q}\;$ en $\;M\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$ le long duquel la particule de fluide au contact en $\;M\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$ avec la particule de fluide $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ a une composante de vitesse par rapport à cette dernière égale à $\;V_{\tau }(M,\,t)\;$ dans le référentiel lié à $\;Q\;$», «$\;\left({\dfrac {\partial V_{\tau }}{\partial n}}\right)_{\!\!\tau }(M,\,t)\;$ mesurant l'augmentation de $\;V_{\tau }(M,\,t)\;$ avec l'éloignement de $\;Q\;$ en restant sur la normale à $\;d\Sigma _{Q}\;$ en $\;M\;$» et «$\;d^{2}\Sigma _{Q}(M)\;$ l'aire de la surface élémentaire centrée en $\;M\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$» $\;{\big \{}$nous ne considérerons pas cette force de viscosité par la suite car nous ne nous intéresserons qu’à la statique des fluides nécessitant que les particules de fluide soient individuellement immobiles dans le référentiel d'étude${\big \}}$.

Définition de la densité surfacique de force dans les exemples de champ de force surfacique précédents

     Comme il suffit de diviser la force surfacique s’exerçant en $\;M\;$ de la surface limitant la particule de fluide étudiée par l'aire de la portion de surface centrée en $\;M\;$ pour obtenir la densité surfacique de force en ce point, nous en déduisons :

• la densité surfacique de force pressante au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$ du fluide considéré «$\;{\vec {f}}_{S,\,{\text{press}}}(M,\,t)={\dfrac {-p(M,\,t)\;d^{2}\Sigma _{Q}(M)\;{\vec {n}}_{Q\,\rightarrow \,M}}{d^{2}\Sigma _{Q}(M)}}=-p(M,\,t)\;{\vec {n}}_{Q\,\rightarrow \,M}\;$» avec «$\;p(M,\,t)\;$ la pression exercée par la particule de fluide extérieure au contact en $\;M\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$ avec la particule de fluide étudiée $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$» et «$\;{\vec {n}}_{Q\,\rightarrow \,M}\;$ le vecteur unitaire $\;\perp \;$ à $\;d\Sigma _{Q}\;$ en $\;M\;$ orienté vers l'extérieur de $\;d\Sigma _{Q}\;$» et
• la densité surfacique de force de viscosité au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$ du fluide « visqueux » considéré «$\;{\vec {f}}_{S,\,{\text{viscos}}}(M,\,t)={\dfrac {\eta _{\text{flu}}\,\left({\dfrac {\partial V_{\tau }}{\partial n}}\right)_{\!\!\tau }(M,\,t)\;d^{2}\Sigma _{Q}(M)\;{\vec {\tau }}(M)}{d^{2}\Sigma _{Q}(M)}}=\eta _{\text{flu}}\,\left({\dfrac {\partial V_{\tau }}{\partial n}}\right)_{\!\!\tau }(M,\,t)\;{\vec {\tau }}(M)\;$» «$\;\eta _{\text{flu}}\;$ le cœfficient de viscosité dynamique $\;{\big (}$ou simplement la viscosité dynamique${\big )}\;$ du fluide », «$\;{\vec {\tau }}(M)\;$ un vecteur unitaire du plan tangent à $\;d\Sigma _{Q}\;$ en $\;M\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$ le long duquel la particule de fluide au contact en $\;M\,\in \,d\Sigma _{Q}\;$ avec la particule de fluide $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ a une composante de vitesse par rapport à cette dernière égale à $\;V_{\tau }(M,\,t)\;$ dans le référentiel lié à $\;Q\;$», «$\;\left({\dfrac {\partial V_{\tau }}{\partial n}}\right)_{\!\!\tau }(M,\,t)\;$ mesurant l'augmentation de $\;V_{\tau }(M,\,t)\;$ avec l'éloignement de $\;Q\;$ en restant sur la normale à $\;d\Sigma _{Q}\;$ en $\;M\;$» $\;{\big \{}$nous ne considérerons pas cette densité surfacique de force de viscosité par la suite car nous ne nous intéresserons qu’à la statique des fluides nécessitant que les particules de fluide soient individuellement immobiles dans le référentiel d'étude${\big \}}$.

     Remarque : Le lien existant entre la densité surfacique de force pressante «$\;{\vec {f}}_{S,\,{\text{press}}}(M,\,t)\;$» en un point $\;M\;$ de la surface fermée $\;d\Sigma _{Q}\;$ limitant la particule de fluide $\;Q\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ et la pression «$\;p(M,\,t)\;$» exercée en $\;M\;$ sur cette dernière par le reste du fluide étant «$\;{\vec {f}}_{S,\,{\text{press}}}(M,\,t)=-p(M,\,t)\;{\vec {n}}_{Q\,\rightarrow \,M}\;$» nous en déduisons la pression en fonction de la densité surfacique de force pressante par

«$\;p(M,\,t)=-{\vec {f}}_{S,\,{\text{press}}}(M,\,t)\cdot {\vec {n}}_{Q\,\rightarrow \,M}={\Big \Vert }{\vec {f}}_{S,\,{\text{press}}}(M,\,t){\Big \Vert }\;$» s'exprimant en «$\;Pa=N\cdot m^{-2}\;$».