« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions
→Exercice 4-5 : + 1 question un poil plus difficile |
→Exercice 4-4 : allongé |
||
Ligne 80 : | Ligne 80 : | ||
#Notons <math>\sigma_1=\sum x_i</math> et <math>\sigma_2=\sum_{i<j}x_ix_j</math>. L'une des [[w:Identités de Newton#Expression des sommes de Newton|identités de Newton]] (ou un calcul direct) montre que <math>p_2=\sigma_1^2-2\sigma_2</math>. Ici <math>\sigma_1=0</math> et <math>\sigma_2=2</math>, donc <math>p_2<0</math>. Les <math>x_i</math> ne peuvent donc pas être tous réels. |
#Notons <math>\sigma_1=\sum x_i</math> et <math>\sigma_2=\sum_{i<j}x_ix_j</math>. L'une des [[w:Identités de Newton#Expression des sommes de Newton|identités de Newton]] (ou un calcul direct) montre que <math>p_2=\sigma_1^2-2\sigma_2</math>. Ici <math>\sigma_1=0</math> et <math>\sigma_2=2</math>, donc <math>p_2<0</math>. Les <math>x_i</math> ne peuvent donc pas être tous réels. |
||
#<math>P(-1)=19>0</math> et <math>P(0)=-2<0</math> donc <math>P</math> a une racine réelle au moins entre <math>-\infty</math> et <math>-1</math>, une entre <math>-1</math> et <math>0</math>, et une entre <math>0</math> et <math>+\infty</math>. Mais <math>P</math> a au moins une racine complexe non réelle d'après la question précédente, et même deux puisque le conjugué d'une racine est aussi racine. Donc <math>P</math> a exactement trois racines réelles. |
#<math>P(-1)=19>0</math> et <math>P(0)=-2<0</math> donc <math>P</math> a une racine réelle au moins entre <math>-\infty</math> et <math>-1</math>, une entre <math>-1</math> et <math>0</math>, et une entre <math>0</math> et <math>+\infty</math>. Mais <math>P</math> a au moins une racine complexe non réelle d'après la question précédente, et même deux puisque le conjugué d'une racine est aussi racine. Donc <math>P</math> a exactement trois racines réelles. |
||
}} |
|||
Montrer que le polynôme <math>P(X)=3X^{2007}+33X^{2003}+99X^7+363X+165</math> : |
|||
#n'est pas irréductible sur <math>\Z</math> mais l'est sur <math>\Q</math> ; |
|||
#a exactement une racine réelle et que celle-ci est un irrationnel négatif. |
|||
{{Solution|contenu= |
|||
#<math>P=3Q</math>, avec <math>Q\in\Z[X]</math> irréductible sur <math>\Q</math> d'après le critère d'Eisenstein, donc <math>P</math> aussi. |
|||
#Sur <math>\R</math>, la fonction polynomiale <math>P</math> est de dérivée > 0 donc elle est strictement croissante et s'annule exactement une fois. Cette racine est négative car <math>P(0)>0</math>, et irrationnelle d'après la question précédente. |
|||
}} |
}} |
||
Version du 20 février 2022 à 07:14
Exercice 4-1
On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.
- D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
- car .
- Soit une racine non nulle d'un élément de . D'après la question 2, les pour sont aussi des racines d'éléments de et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc distincts tels que .
Exercice 4-2
Soient n entiers deux à deux distincts () et . Dans chacun des cas suivants, montrer que dans , le polynôme est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont .
- avec n impair ;
- ;
- .
Soient tels que avec, sans perte de généralité, unitaires et . Montrons que .
- et donc et . Par conséquent, avec (pour des raisons de degrés et de coefficients dominants) ou . Mais est impossible (on aurait donc pair). Donc et , si bien que .
- Par le même raisonnement, avec ou . Mais est impossible (on aurait , non unitaire). Donc et , si bien que .
- Par le même raisonnement, . En fait, car sur , puisque est unitaire et ne s'annule pas (car ), . Par conséquent, avec (puisque est unitaire et de degré ), ou . Mais est impossible ( n'est pas divisible par ) donc , si bien que .
(Inspiré de l'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf.)
Exercice 4-3
Soient un polynôme à coefficients entiers, et (, ) une racine rationnelle de , écrite sous forme irréductible.
- Montrer que .
- En déduire que et .
- En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.
- Déduire du 1. que et .
- Déduire du 1. que s'il existe deux entiers relatifs distincts et tels que alors et .
- Dans , donc . Comme et sont premiers entre eux, est donc divisible par non seulement dans mais même dans (en effet avec, puisque :
d'après le lemme de Gauss.
Pour un argument plus général, voir Contenu d'un polynôme). - Le terme constant et le coefficient dominant de sont respectivement et .
- Si de plus , alors .
- et .
- et sont tous deux égaux à et distincts, donc opposés.
, et .
Référence pour les questions 1 à 4 : exercice 12 de Emmanuel Lepage, « M1, Algèbre et théorie de Galois, TD n° 3, Solutions », sur webusers.imj-prg.fr, .
- Le polynôme est-il irréductible dans ? dans ? dans ?
- Et le polynôme ?
- Et le polynôme ?
- est scindé dans . Il a au moins une racine réelle. Il est irréductible dans car il est de degré 3 sans racine rationnelle car d'après le critère précédent, les seules éventuelles racines rationnelles sont , or et .
- Mêmes réponses que pour . Les seules éventuelles racines rationnelles sont , or .
- Mêmes réponses que pour et . Les seules éventuelles racines rationnelles sont et , et l'on vérifie que ces quatre nombres ne sont pas racines.
Décomposer en produits de facteurs irréductibles dans les polynômes suivants :
- , , .
On trouve facilement les racines rationnelles de ces trois polynômes grâce à la condition nécessaire ci-dessus ( et ) : 5/3 pour , 1/2 et –3 pour et aucune pour .
et est irréductible sur (et même sur ).
et est irréductible sur .
est irréductible sur . En effet, comme il est unitaire, il serait sinon réductible sur . Or une étude de variations montre rapidement que sur , est strictement positif (de minimum ) donc produit de trois polynômes irréductibles de degré 2. Aucun d'eux n'est à coefficients entiers, sinon on aurait avec , ce qui implique et donc , absurde.
Exercice 4-4
Soit .
- Montrer que est irréductible dans .
- Soient ses racines complexes. Calculer et en déduire que les racines de ne sont pas toutes réelles.
- Combien a-t-il de racines réelles ? (On pourra calculer et ).
- Comme est à coefficients premiers entre eux, pour voir qu'il est irréductible dans il suffit d'appliquer le critère d'Eisenstein avec .
- Notons et . L'une des identités de Newton (ou un calcul direct) montre que . Ici et , donc . Les ne peuvent donc pas être tous réels.
- et donc a une racine réelle au moins entre et , une entre et , et une entre et . Mais a au moins une racine complexe non réelle d'après la question précédente, et même deux puisque le conjugué d'une racine est aussi racine. Donc a exactement trois racines réelles.
Montrer que le polynôme :
- n'est pas irréductible sur mais l'est sur ;
- a exactement une racine réelle et que celle-ci est un irrationnel négatif.
- , avec irréductible sur d'après le critère d'Eisenstein, donc aussi.
- Sur , la fonction polynomiale est de dérivée > 0 donc elle est strictement croissante et s'annule exactement une fois. Cette racine est négative car , et irrationnelle d'après la question précédente.
Exercice 4-5
- Le polynôme est-il irréductible sur ? sur ? sur ?
- Montrer que a exactement deux racines réelles non rationnelles.
- Le polynôme est-il irréductible sur ? sur ?
- Le polynôme est-il irréductible sur ? sur ? sur ?
- Montrer que le polynôme est irréductible dans .
Aucun de ces polynômes n'est irréductible sur puisqu'ils sont de degré .
- D'après le critère d'Eisenstein avec , est irréductible sur . Comme de plus ses coefficients sont premiers entre eux, il est donc aussi irréductible sur .
- donc , or . Par convexité, a donc exactement deux racines réelles. Puisqu'il est irréductible sur , ces racines sont irrationnelles.
- D'après le critère d'Eisenstein avec , est irréductible sur . Comme de plus ses coefficients sont premiers entre eux, il est donc aussi irréductible sur .
- n'est pas irréductible sur . D'après le critère d'Eisenstein avec , il est irréductible sur .
- Regardons S comme un polynôme en à coefficient dans l'anneau factoriel . D'après le critère d'Eisenstein généralisé avec , S est irréductible sur , donc sur puisqu'il est unitaire donc primitif.
Exercice 4-6
Soient et (pour ), entiers relatifs distincts . On pose
puis, pour tout :
où est un nombre premier fixé.
- Montrer que pour assez grand, a exactement racines réelles.
- Montrer que est irréductible dans .
- En , (pour ) et , est alternativement strictement positif et strictement négatif. Posons . Si — c.-à-d. si est assez grand — chaque (pour ) est strictement de même signe que . Alors, a au moins racines réelles (pour ).
D'autre part, d'après le théorème des fonctions implicites, pour assez grand, les racines complexes de sont à distance de celles de . En particulier, a alors au plus racines réelles car au moins deux racines non réelles (à distance de ). - D'après le critère d'Eisenstein, le polynôme unitaire est irréductible sur donc aussi.