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#Le polynôme <math>Q=2X^{17}-3X^7+9X^4-6X+93</math> est-il irréductible sur <math>\Z</math> ? sur <math>\R</math> ?
#Le polynôme <math>Q=2X^{17}-3X^7+9X^4-6X+93</math> est-il irréductible sur <math>\Z</math> ? sur <math>\R</math> ?
#Le polynôme <math>R=2X^4+6X^3+18X+48</math> est-il irréductible sur <math>\Z</math> ? sur <math>\Q</math> ? sur <math>\R</math> ?
#Le polynôme <math>R=2X^4+6X^3+18X+48</math> est-il irréductible sur <math>\Z</math> ? sur <math>\Q</math> ? sur <math>\R</math> ?
#Montrer que le polynôme <math>S=2X^3Y^2+3X^2Y^3+X^4+8XY+6Y^2+Y</math> est irréductible dans <math>\Z[X,Y]</math>.
{{Solution|contenu=
{{Solution|contenu=
Aucun de ces polynômes n'est irréductible sur <math>\R</math> puisqu'ils sont de degré <math>>2</math>.
Aucun de ces polynômes n'est irréductible sur <math>\R</math> puisqu'ils sont de degré <math>>2</math>.
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#D'après le critère d'Eisenstein avec <math>p=3</math>, <math>Q</math> est irréductible sur <math>\Q</math>. Comme de plus ses coefficients sont premiers entre eux, il est donc aussi irréductible sur <math>\Z</math>.
#D'après le critère d'Eisenstein avec <math>p=3</math>, <math>Q</math> est irréductible sur <math>\Q</math>. Comme de plus ses coefficients sont premiers entre eux, il est donc aussi irréductible sur <math>\Z</math>.
#<math>R=2(X^4+3X^3+9X+24)</math> n'est pas irréductible sur <math>\Z</math>. D'après le critère d'Eisenstein avec <math>p=3</math>, il est irréductible sur <math>\Q</math>.
#<math>R=2(X^4+3X^3+9X+24)</math> n'est pas irréductible sur <math>\Z</math>. D'après le critère d'Eisenstein avec <math>p=3</math>, il est irréductible sur <math>\Q</math>.
#Regardons S comme un polynôme en <math>X</math> à coefficient dans l'{{w|anneau factoriel}} <math>\Z[Y]</math>. D'après le critère d'Eisenstein généralisé avec <math>p=Y</math>, S est irréductible sur <math>\Q(Y)</math>, donc sur <math>\Z[Y]</math> puisqu'il est unitaire donc primitif.
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Version du 19 février 2022 à 17:03

Polynômes à coefficients entiers
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Exercices no4
Leçon : Polynôme

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Arithmétique des polynômes
Exo suiv. :Sommaire
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Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers
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Exercice 4-1

On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.

  1. Montrer que est fini.
  2. Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
  3. Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.

Exercice 4-2

Soient n entiers deux à deux distincts () et . Dans chacun des cas suivants, montrer que dans , le polynôme est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont .

  1. avec n impair ;
  2.  ;
  3. .

Exercice 4-3

Soient un polynôme à coefficients entiers, et (, ) une racine rationnelle de , écrite sous forme irréductible.

  1. Montrer que .
  2. En déduire que et .
  3. En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.
  4. Déduire du 1. que et .
  5. Déduire du 1. que s'il existe deux entiers relatifs distincts et tels que alors et .
  1. Le polynôme est-il irréductible dans  ? dans  ? dans  ?
  2. Et le polynôme  ?
  3. Et le polynôme  ?

Décomposer en produits de facteurs irréductibles dans les polynômes suivants :

, , .

Exercice 4-4

Soit .

  1. Montrer que est irréductible dans .
  2. Soient ses racines complexes. Calculer et en déduire que les racines de ne sont pas toutes réelles.
  3. Combien a-t-il de racines réelles ? (On pourra calculer et ).

Exercice 4-5

  1. Le polynôme est-il irréductible sur  ? sur  ? sur  ?
  2. Montrer que a exactement deux racines réelles non rationnelles.
  3. Le polynôme est-il irréductible sur  ? sur  ?
  4. Le polynôme est-il irréductible sur  ? sur  ? sur  ?
  5. Montrer que le polynôme est irréductible dans .

Exercice 4-6

Soient et (pour ), entiers relatifs distincts . On pose

puis, pour tout  :

est un nombre premier fixé.

  1. Montrer que pour assez grand, a exactement racines réelles.
  2. Montrer que est irréductible dans .