« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions
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#Notons <math>\sigma_1=\sum x_i</math> et <math>\sigma_2=\sum_{i<j}x_ix_j</math>. L'une des [[w:Identités de Newton#Expression des sommes de Newton|identités de Newton]] (ou un calcul direct) montre que <math>p_2=\sigma_1^2-2\sigma_2</math>. Ici <math>\sigma_1=0</math> et <math>\sigma_2=2</math>, donc <math>p_2<0</math>. Les <math>x_i</math> ne peuvent donc pas être tous réels. |
#Notons <math>\sigma_1=\sum x_i</math> et <math>\sigma_2=\sum_{i<j}x_ix_j</math>. L'une des [[w:Identités de Newton#Expression des sommes de Newton|identités de Newton]] (ou un calcul direct) montre que <math>p_2=\sigma_1^2-2\sigma_2</math>. Ici <math>\sigma_1=0</math> et <math>\sigma_2=2</math>, donc <math>p_2<0</math>. Les <math>x_i</math> ne peuvent donc pas être tous réels. |
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#<math>P(-1)=19>0</math> et <math>P(0)=-2<0</math> donc <math>P</math> a une racine réelle au moins entre <math>-\infty</math> et <math>-1</math>, une entre <math>-1</math> et <math>0</math>, et une entre <math>0</math> et <math>+\infty</math>. Mais <math>P</math> a au moins une racine complexe non réelle d'après la question précédente, et même deux puisque le conjugué d'une racine est aussi racine. Donc <math>P</math> a exactement trois racines réelles. |
#<math>P(-1)=19>0</math> et <math>P(0)=-2<0</math> donc <math>P</math> a une racine réelle au moins entre <math>-\infty</math> et <math>-1</math>, une entre <math>-1</math> et <math>0</math>, et une entre <math>0</math> et <math>+\infty</math>. Mais <math>P</math> a au moins une racine complexe non réelle d'après la question précédente, et même deux puisque le conjugué d'une racine est aussi racine. Donc <math>P</math> a exactement trois racines réelles. |
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==Exercice 4-5== |
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Soit <math>P=11X^{12}+26X^6+65X^4-169X-5200</math>. |
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#Montrer que <math>P</math> est irréductible sur <math>\Q</math> et sur <math>\Z</math> mais pas sur <math>\R</math>. |
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#Montrer que <math>P</math> a exactement deux racines réelles non rationnelles. |
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{{Solution|contenu= |
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#D'après le {{w|critère d'Eisenstein}} avec <math>p=13</math>, <math>P</math> est irréductible sur <math>\Q</math>. Comme de plus ses coefficients sont premiers entre eux, il est donc aussi irréductible sur <math>\Z</math>. Il ne l'est pas sur <math>\R</math> puisqu'il est de degré <math>>2</math>. |
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#<math>P'=132X^{11}+156X^5+260X^3-169</math> donc <math>P''=1452X^{10}+780X^4+780X^2</math>, or <math>P(0)<0</math>. Par [[Fonctions convexes|convexité]], <math>P</math> a donc exactement deux racines réelles. Puisqu'il est irréductible sur <math>\Q</math>, ces racines sont irrationnelles. |
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Version du 9 février 2022 à 21:22
Exercice 4-1
On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.
- D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
- car .
- Soit une racine non nulle d'un élément de . D'après la question 2, les pour sont aussi des racines d'éléments de et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc distincts tels que .
Exercice 4-2
Soient n entiers deux à deux distincts () et . Dans chacun des cas suivants, montrer que dans , le polynôme est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont .
- avec n impair ;
- ;
- .
Soient tels que avec, sans perte de généralité, unitaires et . Montrons que .
- et donc et . Par conséquent, avec (pour des raisons de degrés et de coefficients dominants) ou . Mais est impossible (on aurait donc pair). Donc et , si bien que .
- Par le même raisonnement, avec ou . Mais est impossible (on aurait , non unitaire). Donc et , si bien que .
- Par le même raisonnement, . En fait, car sur , puisque est unitaire et ne s'annule pas (car ), . Par conséquent, avec (puisque est unitaire et de degré ), ou . Mais est impossible ( n'est pas divisible par ) donc , si bien que .
(Inspiré de l'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf.)
Exercice 4-3
Soient un polynôme à coefficients entiers, et (, ) une racine rationnelle de , écrite sous forme irréductible.
- Montrer que .
- En déduire que et .
- En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.
- Déduire du 1. que et .
- Déduire du 1. que s'il existe deux entiers relatifs distincts et tels que alors et .
- Dans , donc . Comme et sont premiers entre eux, est donc divisible par non seulement dans mais même dans (en effet avec, puisque :
d'après le lemme de Gauss.
Pour un argument plus général, voir Contenu d'un polynôme). - Le terme constant et le coefficient dominant de sont respectivement et .
- Si de plus , alors .
- et .
- et sont tous deux égaux à et distincts, donc opposés.
, et .
Référence pour les questions 1 à 4 : exercice 12 de Emmanuel Lepage, « M1, Algèbre et théorie de Galois, TD n° 3, Solutions », sur webusers.imj-prg.fr, .
- Le polynôme est-il irréductible dans ? dans ? dans ?
- Et le polynôme ?
- Et le polynôme ?
- est scindé dans . Il a au moins une racine réelle. Il est irréductible dans car il est de degré 3 sans racine rationnelle car d'après le critère précédent, les seules éventuelles racines rationnelles sont , or et .
- Mêmes réponses que pour . Les seules éventuelles racines rationnelles sont , or .
- Mêmes réponses que pour et . Les seules éventuelles racines rationnelles sont et , et l'on vérifie que ces quatre nombres ne sont pas racines.
Décomposer en produits de facteurs irréductibles dans les polynômes suivants :
- , , .
On trouve facilement les racines rationnelles de ces trois polynômes grâce à la condition nécessaire ci-dessus ( et ) : 5/3 pour , 1/2 et –3 pour et aucune pour .
et est irréductible sur (et même sur ).
et est irréductible sur .
est irréductible sur . En effet, comme il est unitaire, il serait sinon réductible sur . Or une étude de variations montre rapidement que sur , est strictement positif (de minimum ) donc produit de trois polynômes irréductibles de degré 2. Aucun d'eux n'est à coefficients entiers, sinon on aurait avec , ce qui implique et donc , absurde.
Exercice 4-4
Soit .
- Montrer que est irréductible dans .
- Soient ses racines complexes. Calculer et en déduire que les racines de ne sont pas toutes réelles.
- Combien a-t-il de racines réelles ? (On pourra calculer et ).
- Comme est à coefficients premiers entre eux, pour voir qu'il est irréductible dans il suffit d'appliquer le critère d'Eisenstein avec .
- Notons et . L'une des identités de Newton (ou un calcul direct) montre que . Ici et , donc . Les ne peuvent donc pas être tous réels.
- et donc a une racine réelle au moins entre et , une entre et , et une entre et . Mais a au moins une racine complexe non réelle d'après la question précédente, et même deux puisque le conjugué d'une racine est aussi racine. Donc a exactement trois racines réelles.
Exercice 4-5
Soit .
- Montrer que est irréductible sur et sur mais pas sur .
- Montrer que a exactement deux racines réelles non rationnelles.
- D'après le critère d'Eisenstein avec , est irréductible sur . Comme de plus ses coefficients sont premiers entre eux, il est donc aussi irréductible sur . Il ne l'est pas sur puisqu'il est de degré .
- donc , or . Par convexité, a donc exactement deux racines réelles. Puisqu'il est irréductible sur , ces racines sont irrationnelles.