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#Notons <math>\sigma_1=\sum x_i</math> et <math>\sigma_2=\sum_{i<j}x_ix_j</math>. L'une des [[w:Identités de Newton#Expression des sommes de Newton|identités de Newton]] (ou un calcul direct) montre que <math>p_2=\sigma_1^2-2\sigma_2</math>. Ici <math>\sigma_1=0</math> et <math>\sigma_2=2</math>, donc <math>p_2<0</math>. Les <math>x_i</math> ne peuvent donc pas être tous réels.
#Notons <math>\sigma_1=\sum x_i</math> et <math>\sigma_2=\sum_{i<j}x_ix_j</math>. L'une des [[w:Identités de Newton#Expression des sommes de Newton|identités de Newton]] (ou un calcul direct) montre que <math>p_2=\sigma_1^2-2\sigma_2</math>. Ici <math>\sigma_1=0</math> et <math>\sigma_2=2</math>, donc <math>p_2<0</math>. Les <math>x_i</math> ne peuvent donc pas être tous réels.
#<math>P(-1)=19>0</math> et <math>P(0)=-2<0</math> donc <math>P</math> a une racine réelle au moins entre <math>-\infty</math> et <math>-1</math>, une entre <math>-1</math> et <math>0</math>, et une entre <math>0</math> et <math>+\infty</math>. Mais <math>P</math> a au moins une racine complexe non réelle d'après la question précédente, et même deux puisque le conjugué d'une racine est aussi racine. Donc <math>P</math> a exactement trois racines réelles.
#<math>P(-1)=19>0</math> et <math>P(0)=-2<0</math> donc <math>P</math> a une racine réelle au moins entre <math>-\infty</math> et <math>-1</math>, une entre <math>-1</math> et <math>0</math>, et une entre <math>0</math> et <math>+\infty</math>. Mais <math>P</math> a au moins une racine complexe non réelle d'après la question précédente, et même deux puisque le conjugué d'une racine est aussi racine. Donc <math>P</math> a exactement trois racines réelles.
}}

==Exercice 4-5==
Soit <math>P=11X^{12}+26X^6+65X^4-169X-5200</math>.
#Montrer que <math>P</math> est irréductible sur <math>\Q</math> et sur <math>\Z</math> mais pas sur <math>\R</math>.
#Montrer que <math>P</math> a exactement deux racines réelles non rationnelles.
{{Solution|contenu=
#D'après le {{w|critère d'Eisenstein}} avec <math>p=13</math>, <math>P</math> est irréductible sur <math>\Q</math>. Comme de plus ses coefficients sont premiers entre eux, il est donc aussi irréductible sur <math>\Z</math>. Il ne l'est pas sur <math>\R</math> puisqu'il est de degré <math>>2</math>.
#<math>P'=132X^{11}+156X^5+260X^3-169</math> donc <math>P''=1452X^{10}+780X^4+780X^2</math>, or <math>P(0)<0</math>. Par [[Fonctions convexes|convexité]], <math>P</math> a donc exactement deux racines réelles. Puisqu'il est irréductible sur <math>\Q</math>, ces racines sont irrationnelles.
}}
}}



Version du 9 février 2022 à 21:22

Polynômes à coefficients entiers
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Exercices no4
Leçon : Polynôme

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Arithmétique des polynômes
Exo suiv. :Sommaire
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Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers
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Exercice 4-1

On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.

  1. Montrer que est fini.
  2. Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
  3. Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.

Exercice 4-2

Soient n entiers deux à deux distincts () et . Dans chacun des cas suivants, montrer que dans , le polynôme est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont .

  1. avec n impair ;
  2.  ;
  3. .

Exercice 4-3

Soient un polynôme à coefficients entiers, et (, ) une racine rationnelle de , écrite sous forme irréductible.

  1. Montrer que .
  2. En déduire que et .
  3. En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.
  4. Déduire du 1. que et .
  5. Déduire du 1. que s'il existe deux entiers relatifs distincts et tels que alors et .
  1. Le polynôme est-il irréductible dans  ? dans  ? dans  ?
  2. Et le polynôme  ?
  3. Et le polynôme  ?

Décomposer en produits de facteurs irréductibles dans les polynômes suivants :

, , .

Exercice 4-4

Soit .

  1. Montrer que est irréductible dans .
  2. Soient ses racines complexes. Calculer et en déduire que les racines de ne sont pas toutes réelles.
  3. Combien a-t-il de racines réelles ? (On pourra calculer et ).

Exercice 4-5

Soit .

  1. Montrer que est irréductible sur et sur mais pas sur .
  2. Montrer que a exactement deux racines réelles non rationnelles.