« Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert » : différence entre les versions
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→Exercice 7-3 : solution, mais il va falloir un exo préliminaire |
→Exercice 7-3 : Exo préliminaire : prérequis sur les Sobolev |
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==Exercice 7-3== |
==Exercice 7-3== |
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{{Wikipédia|Espace de Sobolev}} |
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Notons <math>\Omega</math> l'ouvert <math>\left]0,+\infty\right[</math> (donc <math>\overline\Omega=\R_+</math>). |
Notons <math>\Omega</math> l'ouvert <math>\left]0,+\infty\right[</math> (donc <math>\overline\Omega=\R_+</math>). |
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On définit son espace de Sobolev <math>H^1</math> comme étant l'espace de Hilbert |
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On rappelle que son {{w|espace de Sobolev}} <math>H^1</math> est le complété de l'[[Espace préhilbertien réel|espace préhilbertien]] <math>\mathcal D(\R_+)</math> ([[w:Fonction C∞ à support compact|espace des fonctions C{{exp|∞}} à support compact]]) muni du produit scalaire <math>\langle u,v\rangle=\langle u,v\rangle_2 +\langle u',v'\rangle_2</math>. |
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:<math>H^1:=\{u\in\mathrm L^2(\Omega)\mid Du\in\mathrm L^2(\Omega)\}</math> |
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(où <math>Du</math> est la [[Théorie physique des distributions/Dérivation|dérivée de <math>u</math> au sens des distributions]]), muni du produit scalaire |
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:<math>\langle u,v\rangle:=\langle u,v\rangle_2 +\langle u',v'\rangle_2</math>. |
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#Montrer que : |
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#*<math>\forall u\in H^1\quad u\in C_0(\overline\Omega)\quad{\rm et}\quad\|u\|_\infty\le\|u\|_{H^1}</math> |
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#*<math>\forall u,v\in H^1\quad\int_\Omega(uDv+vDu)=-u(0)v(0)</math> (« formule d'intégration par parties »). |
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#Montrer que par ailleurs, le sous-espace <math>C_c^\infty(\overline\Omega)=\mathcal D(\R_+)</math> ([[w:Fonction C∞ à support compact|espace des fonctions C{{exp|∞}} à support compact]]) est dense dans <math>H^1</math>. |
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{{Solution|contenu= |
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#*<math>u</math> est continue sur <math>\overline\Omega</math> — puisque <math>Du\in{\rm L}^1_{\mathrm{loc}}</math> — plus précisément : <math>u</math> est égale presque partout à une fonction continue (à laquelle on l'identifie) ; elle est même <math>\tfrac12</math>-[[Topologie générale/Espace métrique#Continuité uniforme|holdérienne]] puisque (par Cauchy-Schwarz) <math>|u(x)-u(y)|\le\|Du\|_2\sqrt{|x-y|}</math>.<br>De plus, <math>\lim_{+\infty}u=0</math> puisque <math>u^2(x)=u^2(0)+\int_0^x2uDu</math> a une limite en <math>+\infty</math> — car <math>uDu\in{\rm L}^1(\Omega)</math> — et que <math>u^2\in{\rm L}^1(\Omega)</math>.<br>Enfin, <math>\forall x\in\overline\Omega\quad u^2(x)=-\int_x^{+\infty}2uDu\le2\|u\|_2\|Du\|_2\le\|u\|_2^2+\|Du\|_2^2</math> (en utilisant que <math>\lim_{+\infty}u=0</math> et, à nouveau, Cauchy-Schwarz). |
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#*La formule d'intégration par parties se démontre de même. |
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#Tout <math>u\in H^1</math> est limite pour <math>\|~\|_{H^1}</math> de fonctions de <math>\mathcal D(\R_+)</math>, par troncature puis régularisation : on se ramène d'abord au cas où <math>u</math> est à support compact en l'approximant dans <math>H^1</math> par <math>u(x)\psi(x/n)</math> avec <math>\psi\in C_c^1(\overline\Omega)</math>, <math>\psi=1</math> au voisinage de 0 et <math>n\to+\infty</math>, puis on la convole par <math>\tfrac1\varepsilon\rho(x/\varepsilon)</math> avec <math>\rho\in C_c^\infty(\R)</math>, positive et d'intégrale 1 et <math>\varepsilon\to0^+</math>. Par conséquent, <math>H^1</math> est le complété, pour <math>\|~\|_{H^1}</math>, de <math>C_c^\infty(\overline\Omega)</math> (et ''a fortiori'' aussi de <math>\{u\in C^\infty(\overline\Omega)\mid u^2+u'^2\in{\rm L}^1(\Omega)\}</math>). |
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{{Wikipédia|Théorème de Meyers-Serrin}} |
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==Exercice 7-4== |
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On reprend les notations de l'exercice précédent, et les résultats de la question 1. |
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#Montrer qu'il existe un opérateur <math>K</math> sur <math>H^1</math> tel que pour tous <math>u,v\in H^1</math>, <math>\langle Ku, v\rangle=u(0)v(0)</math>. |
#Montrer qu'il existe un opérateur <math>K</math> sur <math>H^1</math> tel que pour tous <math>u,v\in H^1</math>, <math>\langle Ku, v\rangle=u(0)v(0)</math>. |
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#Montrer que <math>K</math> est autoadjoint et de rang 1. |
#Montrer que <math>K</math> est autoadjoint et de rang 1. |
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#En utilisant l'{{w|alternative de Fredholm}}, montrer qu'il admet une unique solution <math>u</math> dans <math>H^1</math> si et seulement si <math>\alpha\ne1</math>. |
#En utilisant l'{{w|alternative de Fredholm}}, montrer qu'il admet une unique solution <math>u</math> dans <math>H^1</math> si et seulement si <math>\alpha\ne1</math>. |
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{{Solution|contenu= |
{{Solution|contenu= |
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<!--#Il s'agit de montrer que la forme linéaire <math>u\mapsto u(0)</math> est continue sur <math>H^1</math>. Pour tout <math>u\in\mathcal D(\R_+)</math>, <math>\|u\|_\infty\le\|u\|_{H^1}</math>. En effet, <math>\forall x\in\R_+\quad u^2(x)=-\int_x^{+\infty}2uu'\le2\|u\|_2\|u'\|_2\le\|u\|_2^2+\|u'\|_2^2</math>. |
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#L'application bilinéaire <math>\varphi:(u,v)\mapsto u(0)v(0)</math> est continue sur <math>H^1\times H^1</math> (de norme <math>\le1</math>) donc (d'après le th. de représentation de Riesz) de la forme <math>\varphi(u,v)=\langle Ku,v\rangle</math> pour un certain opérateur <math>K</math> sur <math>H^1</math> (de même norme que <math>\varphi</math>). |
#L'application bilinéaire <math>\varphi:(u,v)\mapsto u(0)v(0)</math> est continue sur <math>H^1\times H^1</math> (de norme <math>\le1</math>) donc (d'après le th. de représentation de Riesz) de la forme <math>\varphi(u,v)=\langle Ku,v\rangle</math> pour un certain opérateur <math>K</math> sur <math>H^1</math> (de même norme que <math>\varphi</math>). |
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#<math>\varphi</math> est symétrique donc <math>K</math> est autoadjoint.<br><math>Ku=0\Leftrightarrow\forall v\in H^1~u(0)v(0)=0\Leftrightarrow u(0)=0</math> donc <math>K</math> a même noyau que la forme linéaire <math>u\mapsto u(0)</math>, donc <math>\ker K</math> est un hyperplan, c'est-à-dire que <math>K</math> est de rang 1.<br>Une façon plus directe et plus explicite de résoudre ces deux questions est de remarquer qu'en posant <math>u_0(x):={\rm e}^{-x}</math>, on a <math>u_0,u'_0\in H^1</math> et (d'après la formule d'intégration par parties)<br><math>\forall u\in H^1\quad u(0)=-u'_0(0)u(0)=\int_\Omega(uu''_0+u'_0Du)=\int_\Omega(uu_0+u'_0Du)=\langle u_0,u\rangle_{H^1}</math> donc<br><math>\forall u,v\in H^1\quad u(0)v(0)=\langle u_0,u\rangle_{H^1}\langle u_0,v\rangle_{H^1}=\langle Ku,v\rangle_{H^1}\text{ avec }Ku:=\langle u_0,u\rangle_{H^1}u_0</math>.<br>On trouve ainsi immédiatement (on le retrouvera grâce à la question 3 et ce sera utile à la question 4) que la valeur propre non nulle de <math>K</math> est <math>\|u_0\|_{H^1}^2=2\int_{\R^+}{\rm e}^{-2x}{\rm d}x=1</math> (c'est-à-dire que <math>K</math> est la projection orthogonale sur la droite engendrée par <math>u_0</math>). |
#<math>\varphi</math> est symétrique donc <math>K</math> est autoadjoint.<br><math>Ku=0\Leftrightarrow\forall v\in H^1~u(0)v(0)=0\Leftrightarrow u(0)=0</math> donc <math>K</math> a même noyau que la forme linéaire <math>u\mapsto u(0)</math>, donc <math>\ker K</math> est un hyperplan, c'est-à-dire que <math>K</math> est de rang 1.<br>Une façon plus directe et plus explicite de résoudre ces deux questions est de remarquer qu'en posant <math>u_0(x):={\rm e}^{-x}</math>, on a <math>u_0,u'_0\in H^1</math> et (d'après la formule d'intégration par parties)<br><math>\forall u\in H^1\quad u(0)=-u'_0(0)u(0)=\int_\Omega(uu''_0+u'_0Du)=\int_\Omega(uu_0+u'_0Du)=\langle u_0,u\rangle_{H^1}</math> donc<br><math>\forall u,v\in H^1\quad u(0)v(0)=\langle u_0,u\rangle_{H^1}\langle u_0,v\rangle_{H^1}=\langle Ku,v\rangle_{H^1}\text{ avec }Ku:=\langle u_0,u\rangle_{H^1}u_0</math>.<br>On trouve ainsi immédiatement (on le retrouvera grâce à la question 3 et ce sera utile à la question 4) que la valeur propre non nulle de <math>K</math> est <math>\|u_0\|_{H^1}^2=2\int_{\R^+}{\rm e}^{-2x}{\rm d}x=1</math> (c'est-à-dire que <math>K</math> est la projection orthogonale sur la droite engendrée par <math>u_0</math>). |
Version du 31 octobre 2021 à 08:51
Exercice 7-1
Soient un espace de Hilbert et un opérateur normal sur , c.-à-d. .
- Montrer que .
- En déduire que est inversible si et seulement s'il existe une constante telle que : pour tout .
Solution
-
- , c.-à-d. , car et même, .
- car .
- Si pour tout alors (donc est dense d'après la question 1), et est (bi)continue, donc est complet, si bien que .
Réciproquement, si est inversible alors continue (d'après le théorème de l'isomorphisme de Banach), d'où l'existence d'une constante telle que pour tout .
Exercice 7-2
Soient un espace de Hilbert et un opérateur positif, c.-à-d.[1] : pour tout , .
- Montrer, pour tous , et , que . En déduire que .
- En considérant , montrer que .
- En utilisant le théorème de Lax-Milgram, montrer que est bijectif pour tout .
Solution
- Supposons et posons . Alors, .
On en déduit que pour tous , et , , d'où et (en appliquant cette conclusion à qui appartient aussi à ) , si bien qu'en fait . Ceci prouve que . - est aussi positif donc . On a donc à la fois et , d'où .
- Posons . Alors (sesquilinéaire continue) est coercive (car ) donc par Lax-Milgram, , autrement dit : , ce qui signifie exactement que est bijectif.
- ↑ Ce qu'on appelle d'ordinaire opérateur positif, sur un Hilbert, est un opérateur qui, en plus de vérifier , est autoadjoint. Mais avec cette hypothèse supplémentaire, les questions 1 et 2 de l'exercice n'auraient plus d'intérêt (la question 1 de l'exercice 7-1 suffirait). Sur un Hilbert complexe, cette hypothèse supplémentaire est en fait redondante car un opérateur est autoadjoint si et seulement si . Mais sur , vérifie et n'est pas autoadjoint ni même normal.
Exercice 7-3
Notons l'ouvert (donc ). On définit son espace de Sobolev comme étant l'espace de Hilbert
(où est la dérivée de au sens des distributions), muni du produit scalaire
- .
- Montrer que :
- (« formule d'intégration par parties »).
- Montrer que par ailleurs, le sous-espace (espace des fonctions C∞ à support compact) est dense dans .
Solution
-
- est continue sur — puisque — plus précisément : est égale presque partout à une fonction continue (à laquelle on l'identifie) ; elle est même -holdérienne puisque (par Cauchy-Schwarz) .
De plus, puisque a une limite en — car — et que .
Enfin, (en utilisant que et, à nouveau, Cauchy-Schwarz). - La formule d'intégration par parties se démontre de même.
- est continue sur — puisque — plus précisément : est égale presque partout à une fonction continue (à laquelle on l'identifie) ; elle est même -holdérienne puisque (par Cauchy-Schwarz) .
- Tout est limite pour de fonctions de , par troncature puis régularisation : on se ramène d'abord au cas où est à support compact en l'approximant dans par avec , au voisinage de 0 et , puis on la convole par avec , positive et d'intégrale 1 et . Par conséquent, est le complété, pour , de (et a fortiori aussi de ).
Exercice 7-4
On reprend les notations de l'exercice précédent, et les résultats de la question 1.
- Montrer qu'il existe un opérateur sur tel que pour tous , .
- Montrer que est autoadjoint et de rang 1.
- Soit . On considère le problème suivant : trouver tel que
En intégrant contre une fonction test , mettre le problème sous la forme variationnelle suivante :
. - En utilisant l'alternative de Fredholm, montrer qu'il admet une unique solution dans si et seulement si .
Solution
- L'application bilinéaire est continue sur (de norme ) donc (d'après le th. de représentation de Riesz) de la forme pour un certain opérateur sur (de même norme que ).
- est symétrique donc est autoadjoint.
donc a même noyau que la forme linéaire , donc est un hyperplan, c'est-à-dire que est de rang 1.
Une façon plus directe et plus explicite de résoudre ces deux questions est de remarquer qu'en posant , on a et (d'après la formule d'intégration par parties)
donc
.
On trouve ainsi immédiatement (on le retrouvera grâce à la question 3 et ce sera utile à la question 4) que la valeur propre non nulle de est (c'est-à-dire que est la projection orthogonale sur la droite engendrée par ). - Si vérifie , ce qui s'écrit plus rigoureusement , alors — donc , ce qui donne un sens à — et (d'après la formule d'intégration par parties)
.
Par conséquent :- si et alors
- ;
- réciproquement, si vérifie alors en particulier
autrement dit , ce qui permet de remplacer le membre de gauche de l'hypothèse par , et d'en déduire que .
- En appliquant cette équivalence à , on retrouve la valeur propre non nulle de et la droite propre associée. En effet, est un vecteur de cette droite si et seulement si et . En résolvant, on retrouve bien et .
- si et alors
- Notons le vecteur qui (par Riesz) représente la forme linéaire (continue sur ). Alors, le problème équivaut à .
Si, pour au moins un (donc pour au moins un ), ce problème a une unique solution , alors .
Puisque les valeurs propres de sont 0 et 1, la condition équivaut à .
Inversement, si c'est-à-dire si est injectif alors, d'après l'alternative de Fredholm (démontrée pour compact dans tout e.v.n. réel ou complexe — non nécessairement complet — et même, pour de rang fini, dans tout e.v. sur un corps arbitraire), est même bijectif, c'est-à-dire que pour chaque — en particulier ceux venant d'un — le problème a une unique solution (qu'il est ici facile d'expliciter : ).
On peut de plus remarquer que pour , l'ensemble des solutions est soit une droite affine de direction (lorsque , c'est-à-dire ), soit vide (lorsque ).
Voir aussi l'exercice 1 de cet énoncé et de ce corrigé.