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**Espaces de Hilbert**
Leçon : Espaces de Banach

Exercices n^o7

Exercices de niveau 16.
Exo préc. :	Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé
Exo suiv. :	Sommaire

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Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

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Wikipédia possède un article à propos de « Espace de Hilbert ».

Exercice 7-1

Soient $H$ un espace de Hilbert et $T$ un opérateur normal sur $H$ , c.-à-d. $TT^{*}=T^{*}T$ .

Montrer que $\ker T=\ker T^{*}=(\operatorname {im} T)^{\bot }$ .
En déduire que $T$ est inversible si et seulement s'il existe une constante $C$ telle que : $\|Tx\|\geq C\|x\|$ pour tout $x\in H$ .

Solution

- $\ker T=\ker T^{*}$ , c.-à-d. $Tx=0\Leftrightarrow T^{*}x=0$ , car $\|T^{*}x\|^{2}=\|Tx\|^{2}$ et même, $\langle T^{*}x,T^{*}y\rangle =\langle x,TT^{*}y\rangle =\langle x,T^{*}Ty\rangle =\langle Tx,Ty\rangle$ .
- $\ker T^{*}=(\operatorname {im} T)^{\bot }$ car $x\in (\operatorname {im} T)^{\bot }\Leftrightarrow \forall y\in H\quad \langle Ty,x\rangle =0\Leftrightarrow \forall y\in H\quad \langle y,T^{*}x\rangle =0\Leftrightarrow T^{*}x=0$ .
Si $\|Tx\|\geq C\|x\|$ pour tout $x\in H$ alors $\ker T=\{0\}$ (donc $\operatorname {im} T$ est dense d'après la question 1), et $T^{-1}:\operatorname {im} T\to H$ est (bi)continue, donc $\operatorname {im} T$ est complet, si bien que $\operatorname {im} T=H$ .
Réciproquement, si $T$ est inversible alors $T^{-1}:H\to H$ continue (d'après le théorème de l'isomorphisme de Banach), d'où l'existence d'une constante $C$ telle que $\|Tx\|\geq C\|x\|$ pour tout $x\in H$ .

Exercice 7-2

Soient $H$ un espace de Hilbert et $T$ un opérateur positif, c.-à-d.^[1] : pour tout $x\in H$ , $\langle Tx,x\rangle \geq 0$ .

Montrer, pour tous $x\in \ker T$ , $y\in H$ et $t\in \mathbb {R}$ , que $t\langle Ty,ty-x\rangle \geq 0$ . En déduire que $\ker T\subset (\operatorname {im} T)^{\bot }$ .
En considérant $T^{*}$ , montrer que $\ker T=(\operatorname {im} T)^{\bot }$ .
En utilisant le théorème de Lax-Milgram, montrer que $\mathrm {I} +tT$ est bijectif pour tout $t\geq 0$ .

Solution

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Supposons $t\neq 0$ et posons $z={\frac {x}{t}}$ . Alors, $t\langle Ty,ty-x\rangle =t^{2}\langle T(y-z),y-z\rangle \geq 0$ .
On en déduit que pour tous $x\in \ker T$ , $y\in H$ et $t>0$ , $\langle Ty,x\rangle \leq t\langle Ty,y\rangle$ , d'où $\langle Ty,x\rangle \leq 0$ et (en appliquant cette conclusion à $-x$ qui appartient aussi à $\ker T$ ) $\langle Ty,-x\rangle \leq 0$ , si bien qu'en fait $\langle Ty,x\rangle =0$ . Ceci prouve que $\ker T\subset (\operatorname {im} T)^{\bot }$ .
$T^{*}$ est aussi positif donc $\ker(T^{*})\subset (\operatorname {im} (T^{*}))^{\bot }=\ker T$ . On a donc à la fois $\ker T\subset \ker(T^{*})$ et $\ker(T^{*})\subset \ker T$ , d'où $\ker T=\ker(T^{*})=(\operatorname {im} T)^{\bot }$ .
Posons $a(u,v)=\langle (\mathrm {I} +tT)(u),v\rangle$ . Alors $a$ (sesquilinéaire continue) est coercive (car $a(u,u)=\|u\|^{2}+t\langle T(u),u\rangle \geq \|u\|^{2}$ ) donc par Lax-Milgram, $\forall y\in H\quad \exists !u\in H\quad \forall v\in H\quad a(u,v)=\langle y,v\rangle$ , autrement dit : $\forall y\in H\quad \exists !u\in H\quad (\mathrm {I} +tT)(u)=y$ , ce qui signifie exactement que $\mathrm {I} +tT$ est bijectif.

}}

↑ Ce qu'on appelle d'ordinaire opérateur positif, sur un Hilbert, est un opérateur $T$ qui, en plus de vérifier $\forall x~\langle Tx,x\rangle \geq 0$ , est autoadjoint. Mais avec cette hypothèse supplémentaire, les questions 1 et 2 de l'exercice n'auraient plus d'intérêt (la question 1 de l'exercice 7-1 suffirait). Sur un Hilbert complexe, cette hypothèse supplémentaire est en fait redondante car un opérateur $T$ est autoadjoint si et seulement si $\forall x~\langle Tx,x\rangle \in \mathbb {R}$ . Mais sur $\mathbb {R} ^{2}$ , $T:(x_{1},x_{2})\mapsto (x_{1}+x_{2},x_{2})$ vérifie $\forall x~\langle Tx,x\rangle \geq 0$ et n'est pas autoadjoint ni même normal.

Exercice 7-3

On rappelle que l'espace de Sobolev $H^{1}(\mathbb {R} _{+})$ est le complété de l'espace préhilbertien ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} _{+})$ (espace des fonctions C^∞ à support compact) muni du produit scalaire $\langle u,v\rangle =\langle u,v\rangle _{2}+\langle u',v'\rangle _{2}$ .

Montrer qu'il existe un opérateur $K$ sur $H^{1}(\mathbb {R} _{+})$ tel que pour tous $u,v\in H^{1}(\mathbb {R} _{+})$ , $\langle Ku,v\rangle =u(0)v(0)$ .
Montrer que $K$ est autoadjoint et de rang 1.
Soit $f\in \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} _{+})$ . On considère le problème suivant : trouver $u$ tel que ${\begin{cases}-u''+u=f\\u'(0)+\alpha u(0)=0.\end{cases}}$
En intégrant contre une fonction test $v\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} _{+})$ , mettre le problème sous la forme variationnelle suivante :
$\int _{\mathbb {R} _{+}}(u'v'+uv)-\alpha u(0)v(0)=\int _{\mathbb {R} _{+}}fv$ .
En utilisant l'alternative de Fredholm, montrer qu'il admet une unique solution $u$ dans $H^{1}(\mathbb {R} _{+})$ si et seulement si $\alpha \neq 1$ .

Solution

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Espaces de Banach

Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé

Sommaire

[1] Ce qu'on appelle d'ordinaire opérateur positif, sur un Hilbert, est un opérateur $T$ qui, en plus de vérifier $\forall x~\langle Tx,x\rangle \geq 0$ , est autoadjoint. Mais avec cette hypothèse supplémentaire, les questions 1 et 2 de l'exercice n'auraient plus d'intérêt (la question 1 de l'exercice 7-1 suffirait). Sur un Hilbert complexe, cette hypothèse supplémentaire est en fait redondante car un opérateur $T$ est autoadjoint si et seulement si $\forall x~\langle Tx,x\rangle \in \mathbb {R}$ . Mais sur $\mathbb {R} ^{2}$ , $T:(x_{1},x_{2})\mapsto (x_{1}+x_{2},x_{2})$ vérifie $\forall x~\langle Tx,x\rangle \geq 0$ et n'est pas autoadjoint ni même normal.

[1]

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 ==Exercice 7-2==
-Soient <math>H</math> un espace de Hilbert et <math>T</math> un opérateur positif, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]]<ref>Ce qu'on appelle d'ordinaire opérateur positif, sur un Hilbert, est un opérateur <math>T</math> qui, en plus de vérifier <math>\forall x~\langle Tx,x\rangle\ge0</math>, est autoadjoint. Mais avec cette hypothèse supplémentaire, les questions 1 et 2 de l'exercice n'auraient plus d'intérêt (la question 1 de l'[[../Espaces de Hilbert#Exercice 7-1|exercice 7-1]] suffirait). Sur un Hilbert complexe, cette hypothèse supplémentaire est en fait redondante car un opérateur <math>T</math> est autoadjoint si et seulement si <math>\forall x~\langle Tx,x\rangle\in\R</math>. Mais sur <math>\R^2</math>, <math>T:(x_1,x_2)\mapsto(x_1+x_2,x_2)</math> vérifie <math>\forall x~\langle Tx,x\rangle\ge0</math> et n'est pas autoadjoint ni même normal.</ref> : pour tout <math>x\in H</math>, <math>\langle Tx,x\rangle \ge0</math>.
+Soient <math>H</math> un espace de Hilbert et <math>T</math> un opérateur positif, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]]<ref>Ce qu'on appelle d'ordinaire opérateur positif, sur un Hilbert, est un opérateur <math>T</math> qui, en plus de vérifier <math>\forall x~\langle Tx,x\rangle\ge0</math>, est autoadjoint. Mais avec cette hypothèse supplémentaire, les questions 1 et 2 de l'exercice n'auraient plus d'intérêt (la question 1 de l'[[../Espaces de Hilbert#Exercice 7-1|exercice 7-1]] suffirait). Sur un Hilbert complexe, cette hypothèse supplémentaire est en fait redondante car un opérateur <math>T</math> est autoadjoint si et seulement si <math>\forall x~\langle Tx,x\rangle\in\R</math>. Mais sur <math>\R^2</math>, <math>T:(x_1,x_2)\mapsto(x_1+x_2,x_2)</math> vérifie <math>\forall x~\langle Tx,x\rangle\ge0</math> et n'est pas autoadjoint ni même normal.</ref> : pour tout <math>x\in H</math>, <math>\langle Tx,x\rangle\ge0</math>.
-#Montrer, pour tous <math>x\in\ker T</math>, <math>y\in H</math> et <math>t\in\R</math>, que <math>t\langle Ty, ty-x\rangle \geq 0</math>. En déduire que <math>\ker T\subset(\operatorname{im}T)^\bot</math>.
+#Montrer, pour tous <math>x\in\ker T</math>, <math>y\in H</math> et <math>t\in\R</math>, que <math>t\langle Ty, ty-x\rangle\ge0</math>. En déduire que <math>\ker T\subset(\operatorname{im}T)^\bot</math>.
 #En considérant <math>T^*</math>, montrer que <math>\ker T=(\operatorname{im}T)^\bot</math>.
 #En utilisant le {{w|théorème de Lax-Milgram}}, montrer que <math>\mathrm I+tT</math> est bijectif pour tout <math>t\ge0</math>.
 {{Solution|contenu=}}
+#Supposons <math>t\ne0</math> et posons <math>z=\frac xt</math>. Alors, <math>t\langle Ty, ty-x\rangle=t^2\langle T(y-z), y-z\rangle\ge0</math>.<br>On en déduit que pour tous <math>x\in\ker T</math>, <math>y\in H</math> et <math>t>0</math>, <math>\langle Ty,x\rangle\le t\langle Ty,y\rangle</math>, d'où <math>\langle Ty,x\rangle\le0</math> et (en appliquant cette conclusion à <math>-x</math> qui appartient aussi à <math>\ker T</math>) <math>\langle Ty,-x\rangle\le0</math>, si bien qu'en fait <math>\langle Ty,x\rangle=0</math>. Ceci prouve que <math>\ker T\subset(\operatorname{im}T)^\bot</math>.
+#<math>T^*</math> est aussi positif donc <math>\ker(T^*)\subset(\operatorname{im}(T^*))^\bot=\ker T</math>. On a donc à la fois <math>\ker T\subset\ker(T^*)</math> et <math>\ker(T^*)\subset\ker T</math>, d'où <math>\ker T=\ker(T^*)=(\operatorname{im}T)^\bot</math>.
+#Posons <math>a(u,v)=\langle(\mathrm I+tT)(u),v\rangle</math>. Alors <math>a</math> (sesquilinéaire continue) est coercive (car <math>a(u,u)=\|u\|^2+t\langle T(u),u\rangle\ge\|u\|^2</math>) donc par Lax-Milgram, <math>\forall y\in H\quad\exists!u\in H\quad\forall v\in H\quad a(u,v)=\langle y,v\rangle</math>, autrement dit : <math>\forall y\in H\quad\exists!u\in H\quad(\mathrm I+tT)(u)=y</math>, ce qui signifie exactement que <math>\mathrm I+tT</math> est bijectif.
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 {{Références}}