Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique

Exercice 1-1

Soient $X$ un espace topologique, $E={\mathcal {C}}_{b}(X,\mathbb {R} )$ l'espace de Banach des fonctions continues bornées, muni de la norme de la convergence uniforme, $(x_{n})$ une suite de points de $X$ et $\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$ une série absolument convergente de nombres réels distincts. Pour tout $f\in E$, on pose

$T(f)=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}f(x_{n})$.

1. Montrer que $T$ est une forme linéaire continue sur $E$, de norme $\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|$.
2. Montrer que $|\!|\!|T|\!|\!|=\sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|$.

Solution

1. Le seul point non immédiat est la majoration de la norme (qui garantit la continuité). Pour toute $f\in E$, $|T(f)|\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}||f(x_{n})|\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|\|f\|$ donc $|\!|\!|T|\!|\!|\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|$.
2. Soit $\varepsilon >0$. Il existe $N\in \mathbb {N}$, tel que $\sum _{n\geq N}|a_{n}|<\varepsilon$. Puis, il existe $f\in E$ de norme $1$ telle que pour $n=0,1,\dots ,N$, $a_{n}f(x_{n})=|a_{n}|$.
   Alors, $|\!|\!|T|\!|\!|\geq |T(f)|\geq \left|\sum _{n<N}a_{n}f(x_{n})\right|-\left|\sum _{n\geq N}a_{n}f(x_{n})\right|\geq \sum _{n<N}|a_{n}|-\varepsilon \geq \sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|-2\varepsilon$.

 

Exercice 1-2

On rappelle que $\ell ^{p}:=\ell ^{p}(\mathbb {N} ,\mathbb {C} )$, $1<p<\infty$ désigne l'espace des suites $x=(x_{n})$ de nombres complexes telles que

$\|x\|_{p}:=\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<\infty$.

Toute forme linéaire continue $T\in \left(\ell ^{p}\right)'$ peut s'écrire

$Tx=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\quad \forall x=(x_{n})\in \ell ^{p}$

où $y=(y_{n})\in \ell ^{q}$ avec ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$.

1. Montrer que dans l'espace $\ell ^{q}$, le sous-espace des suites de support fini est dense.
2. Montrer qu'une suite $(x_{k})_{k}$ d'éléments $x_{k}=(x_{k,n})_{n}$ de $\ell ^{p}$ converge faiblement vers $x=(x_{n})_{n}\in \ell ^{p}$ si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes :
   1. la suite $(x_{k})_{k}$ est bornée ;
   2. pour tout entier $n$, la suite $(x_{k,n})_{k}$ converge vers $x_{n}$ (dans $\mathbb {C}$).
3. En déduire que toute suite bornée de $\ell ^{p}$ admet une sous-suite faiblement convergente.

Solution

1. Tout élément $x=(x_{n})\in \ell ^{q}$ est limite d'une suite $(x_{k})_{k}$ d'éléments $x_{k}=(x_{k,n})_{n}\in \ell ^{q}$ à support fini : $x_{k,n}={\begin{cases}x_{n}&{\text{si }}n<k\\0&{\text{si }}n\geq k\end{cases}}$.
2. Si $x_{k}\to x$ faiblement dans $\ell ^{p}$, c'est-à-dire si pour tout $y=(y_{n})\in \ell ^{q}$, $\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{k,n}y_{n}\to \sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n}$ alors pour tout $y=(y_{n})\in \ell ^{q}$, $\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{k,n}y_{n}\right)_{k}$ est bornée. D'après le théorème de Banach-Steinhaus, $\left(x_{k}\right)_{k}$ est alors bornée dans l'espace vectoriel normé $(\ell ^{q})'$, égal à $\ell ^{p}$ d'après le théorème de Hahn-Banach. De plus, en appliquant l'hypothèse aux suites $y$ dont un terme vaut $1$ et les autres sont nuls, on trouve tout de suite que pour tout $n$, $(x_{k,n})_{k}\to x_{n}$. Réciproquement, supposons que les conditions 1 et 2 sont remplies. D'après le point 2, pour tout $y\in \ell ^{q}$ à support fini, $\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{k,n}y_{n}\to \sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n}$. Grâce au point 1 (et à la question 1), on en déduit que $x_{k}\to x$ faiblement dans $\ell ^{p}$.
3. Soit $(x_{k})_{k}$ une suite bornée de $\ell ^{p}$. Par récurrence, on construit pour tout $j$ une sous-suite $(x_{\varphi _{j}(k)})_{k}$ (extraite de celle au rang précédent) telle que pour tout $n\leq j$, $x_{\varphi _{j}(k),n}\to x_{n}$. Puis on applique le « procédé diagonal » : $(x_{\varphi _{k}(k)})_{k}$ vérifie la condition 2, et bien sûr la condition 1. On conclut grâce à la question précédente.

 

Exercice 1-3

Soient H un espace de Hilbert et C un convexe de H. Montrer que C est fermé si et seulement s'il est faiblement séquentiellement fermé, c.-à-d. si pour toute suite $(x_{n})_{n}$ dans C qui converge faiblement (dans H) vers $x$, la limite $x$ appartient à C.

Solution

Toute partie d'un e.v.n. qui est faiblement séquentiellement fermée est évidemment séquentiellement fermée donc fermée. Réciproquement, soit C un convexe fermé d'un Hilbert (réel) H, montrons que C est faiblement séquentiellement fermé. Soit $C\ni x_{n}\to x$ faiblement, c'est-à-dire que $\forall \varphi \in H'\quad \varphi (x_{n})\to \varphi (x)$, montrons que $x\in C$.

• Première méthode. Soit $p:H\to C$ la projection. $\forall n\in \mathbb {N} \quad \langle x_{n}-p(x),x-p(x)\rangle \leq 0$ donc (par convergence faible) $\|x-p(x)\|^{2}=\langle x-p(x),x-p(x)\rangle \leq 0$ donc $x=p(x)\in C$.
• Deuxième méthode. Tout espace de Hilbert est uniformément convexe (c'est-à-dire $\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall x,y\in H\quad \left(\|x\|\leq 1~{\text{et}}~\|y\|\leq 1~{\text{et}}~\|x-y\|\geq \varepsilon \right)\Rightarrow \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta$) donc vérifie la propriété de Banach-Saks (c'est-à-dire que toute suite bornée admet une sous-suite Cesaro-convergente). Or toute partie A faiblement bornée (en particulier toute suite faiblement convergente) est bornée (d'après le th. de Banach-Schauder, qui montre que $\{\|J(a)\|\mid a\in A\}$ est borné, où $J:H\to H''$ est le plongement canonique, et celui de Hahn-Banach, qui dit que $\|J(a)\|=\|a\|$). Donc $(x_{n})$ a une sous-suite dont la suite des moyennes de Cesaro (qui est à valeurs dans C) converge. La limite est nécessairement $x$, donc $x\in C$.
• Troisième méthode. Tout e.v.n. vérifie le lemme de Mazur : si $x_{n}\to x$ faiblement, il existe une suite de combinaisons linéaires des $x_{n}$ (donc à valeurs dans C si $x_{n}\in C$ convexe) qui converge en norme vers $x$.
• Quatrième méthode (plus honnête, car Mazur l'utilise) : dans n'importe quel e.v.n., tout convexe fermé C est faiblement fermé (et a fortiori, faiblement séquentiellement fermé) car C est l'intersection des demi-espaces fermés qui le contiennent. En effet, d'après la forme géométrique de Hahn-Banach, si $x\notin C$, il existe un hyperplan séparant strictement $x$ de C.

 

Exercice 1-4

Soient E un espace de Banach et $(x_{n})_{n\geq 0}$ une suite de E qui converge faiblement vers $x\in E$. Soient $\varphi _{n},\varphi \in E'$.

1. Si $\varphi _{n}\to \varphi$ (fortement), montrer que $\langle \varphi _{n},x_{n}\rangle \to \langle \varphi ,x\rangle$.
2. Cette conclusion subsiste-t-elle si l'on suppose seulement que $\varphi _{n}\to \varphi$ faiblement ?

Solution

1. $|\langle \varphi _{n},x_{n}\rangle -\langle \varphi ,x\rangle |\leq |\langle \varphi _{n}-\varphi ,x_{n}\rangle |+|\langle \varphi ,x_{n}-x\rangle |\leq \|\varphi _{n}-\varphi \|\|x_{n}\|+|\langle \varphi ,x_{n}-x\rangle |$ et $(x_{n})$ est bornée (cf. exercice précédent, deuxième méthode).
2. Non, sinon dans tout espace de Hilbert on aurait : si $x_{n}\to x$ faiblement alors $\|x_{n}\|\to \|x\|$ donc (propriété de Radon-Riesz) $x_{n}\to x$ fortement, or dans $\ell ^{2}$, $\delta _{n}\to 0$ faiblement et $\|\delta _{n}\|=1$. Ou moins savamment : non car par exemple dans $\ell ^{2}$, $\delta _{n}\to 0$ faiblement mais $\langle x_{n},x_{n}\rangle =1\not \to \langle 0,0\rangle =0$.