Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues

Exercice 2-1

On considère l'application linéaire $u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ définie par $u(x,y)=(x+y,x-y)$. Calculer la norme d'opérateur $|\!|\!|u|\!|\!|$ associée, selon que l'on munit $\mathbb {R} ^{2}$ de la norme $\|\cdot \|_{2}$, de la norme $\|\cdot \|_{\infty }$ ou de la norme $\|\cdot \|_{1}$.

Solution

La question étant ambiguë, on se contentera d'examiner les trois cas où la norme choisie sur l'espace $\mathbb {R} ^{2}$ d'arrivée est la même que sur l'espace $\mathbb {R} ^{2}$ de départ (sinon, il y aurait 6 autres cas à traiter).

1. $u$ est une similitude (indirecte) de rapport ${\sqrt {2}}$ (c.-à-d. que $\|u(x,y)\|_{2}={\sqrt {2}}\|(x,y)\|_{2}$) donc pour $\|\cdot \|_{2}$, $|\!|\!|u|\!|\!|={\sqrt {2}}$.
2. Pour $\|\cdot \|_{\infty }$, $|\!|\!|u|\!|\!|=2$ car $\max(|x+y|,|x-y|)\leq |x|+|y|\leq 2\max(|x|,|y|)$, avec égalité par exemple pour $(x,y)=(1,1)$.
3. Pour $\|\cdot \|_{1}$, $|\!|\!|u|\!|\!|=2$ car $|x+y|+|x-y|\leq |x|+|y|+|x|+|y|=2(|x|+|y|)$, avec égalité par exemple pour $(x,y)=(1,0)$.

 

On considère la matrice $A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$. Calculer la norme d'opérateur de $A$ lorsqu'on prend sur $\mathbb {R} ^{2}$ la norme $\|\cdot \|_{1}$, puis la norme $\|\cdot \|_{\infty }$.

Solution

1. Pour $\|\cdot \|_{1}$, $|\!|\!|A|\!|\!|=6$ car $|x+2y|+|3x+4y|\leq |x|+2|y|+3|x|+4|y|\leq 6(|x|+|y|)$, avec égalité par exemple pour $(x,y)=(0,1)$.
2. Pour $\|\cdot \|_{\infty }$, $|\!|\!|A|\!|\!|=7$ car $\max(|x+2y|,|3x+4y|)\leq 3|x|+4|y|\leq 7\max(|x|,|y|)$, avec égalité par exemple pour $x=y=1$.

Pour un énoncé général, voir la proposition dans Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices#Norme subordonnée.

 

Exercice 2-2

$E={\mathcal {C}}([-1,1],\mathbb {R} )$ muni de la norme $\|\cdot \|_{\infty }$ de la convergence uniforme.

${\begin{array}{ccccc}\varphi &:&E&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&f&\mapsto &\int _{-1}^{1}{\frac {t\,f(t)}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t.\end{array}}$

Montrer que $\varphi \in {\mathcal {L}}(E,\mathbb {R} )$ et calculer $|\!|\!|\varphi |\!|\!|$.

Solution

• La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de $\varphi$.
• Soit $f\in E$. On a

  $|\varphi (f)|=\left|\int _{-1}^{1}{\frac {t\,f(t)}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t\right|\leq \|f\|_{\infty }\int _{-1}^{1}{\frac {|t|}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t=\|f\|_{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {2t}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t=\|f\|_{\infty }\ln 2$.

  Conclusion : $\varphi \in {\mathcal {L}}(E,\mathbb {R} )$ et $|\!|\!|\varphi |\!|\!|\leq \ln 2$.

• On pose pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$ la fonction $f_{n}\in E$ qui :
  • vaut $-1$ sur $\left[-1,-{\frac {1}{n}}\right]$ ;
  • vaut $1$ sur $\left[{\frac {1}{n}},1\right]$ ;
  • est affine sur $\left[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right]$.

  On a $\|f_{n}\|_{\infty }=1$ et l'on montre que $|\varphi (f_{n})|\to \ln 2$.

Finalement, $|\!|\!|\varphi |\!|\!|=\ln 2$.

 

Exercice 2-3

Soient $E$ un $K$-espace vectoriel normé et $u:E\to K$ une forme linéaire. Montrer que $u$ est continue si et seulement si son noyau est fermé.

Solution

Le singleton $\{0\}$ est fermé dans $K$ donc si $u$ est continue alors $\ker u=u^{-1}\left(\{0\}\right)$ est fermé dans $E$.

Réciproquement, supposons que $u$ n'est pas continue et démontrons que $\ker u$ n'est pas fermé. Par hypothèse, il existe une suite $(x_{n})$ de la boule unité de $E$ telle que $|u(x_{n})|\to +\infty$. À partir d'un certain rang $N$, $u(x_{n})\neq 0$, ce qui permet de définir

$y_{n}:=x_{N}-{\frac {u(x_{N})}{u(x_{n})}}x_{n}$.

Par construction, la suite $(y_{n})_{n\geq N}$ est à valeurs dans $\ker u$ et converge vers $x_{N}\notin \ker u$, ce qui conclut.

 

Exercice 2-4

Soit $E=C([0,1])$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $[0,1]$, muni de la norme

$\|u\|_{1}=\int _{0}^{1}|u(t)|\,\mathrm {d} t$.

On considère l'application linéaire $\Phi :E\to E$ définie par $\Phi u(t)=tu(t)$, pour $u\in E$.

1. Montrer que $\Phi$ est continue et $|\!|\!|\Phi |\!|\!|\leq 1$.
2. En considérant la suite $(u_{n})_{n}$ définie par $u_{n}(t)=(n+1)t^{n}$, montrer que $|\!|\!|\Phi |\!|\!|=1$.
3. Montrer qu'il n'existe pas de fonction $u\in E$ non nulle telle que $\|\Phi u\|_{1}=\|u\|_{1}$.

Solution

1. $\forall u\in E\quad \|\Phi u\|_{1}=\int _{0}^{1}t|u(t)|\,\mathrm {d} t\leq \|u\|_{1}$.
2. Pour tout $n\in \mathbb {N}$, $\|u_{n}\|_{1}=1$ et $\|\Phi u_{n}\|_{1}={\frac {n+1}{n+2}}$ donc $|\!|\!|\Phi |\!|\!|\geq {\frac {n+1}{n+2}}$, si bien que $|\!|\!|\Phi |\!|\!|\geq \sup _{n\in \mathbb {N} }{\frac {n+1}{n+2}}=1$. Joint à la question précédente, ceci prouve que $|\!|\!|\Phi |\!|\!|=1$.
3. Montrons que pour toute fonction non nulle $u\in E$, $\|\Phi u\|_{1}<\|u\|_{1}$. Puisque $u$ est non nulle et continue, il existe $a>0$ et un intervalle non trivial $I\subset [0,1]$ tels que sur $I$, $|u|\geq a$. On a alors : $\|u\|_{1}-\|\Phi u\|_{1}=\int _{0}^{1}(1-t)|u(t)|\,\mathrm {d} t\geq a\int _{I}(1-t)\,\mathrm {d} t>0$.