Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes

Exercice 3-1

On désigne par $\omega _{1}$, $\omega _{2}$ et $\omega _{3}$ les trois racines cubiques de $-1$ et l'on note ${\mathcal {D}}_{k}:=\{t\,\omega _{k}\mid t\in \mathbb {R} ,t\geq {\sqrt[{3}]{2}}\}$ pour $k=1,2,3$. On pose $G:=\mathbb {C} \setminus ({\mathcal {D}}_{1}\cup {\mathcal {D}}_{2}\cup {\mathcal {D}}_{3})$.

1. Montrer que $G$ est un domaine de $\mathbb {C}$ tel que si $z\in G$ alors $z^{3}+2\in \Omega _{0}:=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{-}$ et que l'application holomorphe $g:G\to \Omega _{0},\,z\mapsto z^{3}+2$ est surjective.
2. On désignera par $\mathrm {Log}$ la détermination principale du logarithme complexe sur le domaine $\Omega _{0}$.
   Calculer la dérivée de la fonction holomorphe $f:=\mathrm {Log} \circ g$.
3. Écrire le développement en série entière de $f$ au voisinage de $0$ en précisant son rayon de convergence.

Solution

1. $G$ est bien un ouvert connexe de $\mathbb {C}$ : ouvert parce que son complémentaire et une réunion de trois fermés, et connexe parce qu'il est même étoilé.
   $z\notin G\Leftrightarrow |z|\geq {\sqrt[{3}]{2}}$ et $(z/|z|)^{3}=-1\Leftrightarrow |z|^{3}\geq 2$ et $z^{3}=-|z|^{3}\Leftrightarrow z^{3}\in \left]-\infty ,-2\right]$ donc $z\in G\Leftrightarrow z^{3}+2\in \Omega _{0}$.
   $g$ est surjective d'après l'équivalence précédente.
2. $f'(z)={\frac {g'(z)}{g(z)}}={\frac {3z^{2}}{z^{3}+2}}$.
3. $f'(z)={\frac {3z^{2}}{2}}{\frac {1}{1+z^{3}/2}}={\frac {3z^{2}}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }(-z^{3}/2)^{n}=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}}}z^{3n+2}$ ($R={\sqrt[{3}]{2}}$) et $f(0)=\ln 2$ donc $f(z)=\ln 2+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)2^{n+1}}}z^{3n+3}$.

 

Exercice 3-2

Soit $f$ une fonction holomorphe sur le disque $\mathbb {D} _{r}:=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|<r\}$ avec $r>1$.

1. Démontrer les propriétés suivantes :
   1. $f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)}{1-z\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}}\,\mathrm {d} \theta$ si $|z|<1$ ;
   2. ${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right){\overline {z}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }}{1-{\overline {z}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }}}\,\mathrm {d} \theta =0$ si $|z|<1$.
2. 1. Vérifier que si $|z|<1$ et $|\zeta |=1$, on a la relation suivante :

      ${\frac {1}{1-z{\overline {\zeta }}}}+{\frac {{\overline {z}}\zeta }{1-{\overline {z}}\zeta }}={\frac {1-|z|^{2}}{|1-{\overline {z}}\zeta |^{2}}}$.

   2. Démontrer la formule suivante :

      $f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right){\frac {1-|z|^{2}}{\left|1-z\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }\right|^{2}}}\,\mathrm {d} \theta$ si $|z|<1$.

3. Montrer que cette formule reste valable si $f$ est holomorphe sur $\mathbb {D} :=\mathbb {D} _{1}$ et continue sur ${\overline {\mathbb {D} }}$ (considérer, pour $r>1$, la fonction $f_{r}(z):=f(z/r)$).
4. Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\mathbb {D}$ et continue sur ${\overline {\mathbb {D} }}$ telle que ${\overline {f(z)}}=f(z)$ si $|z|=1$. Que peut-on dire de $f$ ?

Solution

1. D'après la formule intégrale de Cauchy, si $|z|<1$ :
   1. $f(z)={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{u=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta },\,\theta \in [0,2\pi ]}{\frac {f(u)}{u-z}}\mathrm {d} u={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(e^{\mathrm {i} \theta })}{e^{\mathrm {i} \theta }-z}}\mathrm {i} e^{\mathrm {i} \theta }\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)}{1-z\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}}\,\mathrm {d} \theta$ ;
   2. $0=-{\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{u=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta },\,\theta \in [0,2\pi ]}{\frac {f(u)}{u-1/{\bar {z}}}}\mathrm {d} u=-{\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(e^{\mathrm {i} \theta }){\bar {z}}}{{\bar {z}}e^{\mathrm {i} \theta }-1}}\mathrm {i} e^{\mathrm {i} \theta }\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right){\overline {z}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }}{1-{\overline {z}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }}}\,\mathrm {d} \theta$.
2. Immédiat.
3. Si $|z|<1$, $f_{r}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f_{r}\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right){\frac {1-|z|^{2}}{\left|1-z\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }\right|^{2}}}\,\mathrm {d} \theta$, d'où le résultat en faisant $r\to 1^{+}$.
4. $f$ est réelle donc constante.

 

Exercice 3-3

Soient $P,Q\in \mathbb {C} [z]$ deux polynômes d'une variable complexe à coefficients complexes, sans zéro commun. On définit la fraction rationnelle $R$ en posant

$R(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}$ si $z\in \mathbb {C} \setminus \{b_{1},\dots ,b_{q}\}$

où $b_{1},\dots ,b_{q}$ sont les pôles de $R$, c.-à-d. les zéros de $Q$.

On désignera par ${\overline {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ le plan complexe compactifié et l'on adoptera la convention d'écriture suivante : ${\frac {1}{0}}=\infty$ et ${\frac {1}{\infty }}=0$.

1. 1. Montrer que $R$ se prolonge en une application continue de ${\overline {\mathbb {C} }}$ dans ${\overline {\mathbb {C} }}$, que l'on notera encore $R$. Quelles sont les images des pôles $b_{1},\dots ,b_{q}$ par le prolongement $R$ ?
   2. Rappeler pourquoi deux fractions rationnelles $R_{1}$ et $R_{2}$ qui coïncident en tout point d'un ensemble infini de $\mathbb {C}$, coïncident partout sur $\mathbb {C}$.

      Dans toute la suite, on suppose que $R$ est une fraction rationnelle de la variable complexe $z$ vérifiant la propriété suivante :

      $(*)\qquad |R(z)|=1$ si $|z|=1$.

2. Pour chaque point $a\in \mathbb {C}$, on pose

   $\varphi _{a}(z):={\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}}\quad {\text{et}}\quad \varphi _{\infty }(z):={\frac {1}{z}},\quad \forall z\in {\overline {\mathbb {C} }}$.

   On suppose dans cette question que $R$ est une homographie $h$ qui vérifie $(*)$. Montrer qu'il existe $\alpha \in \mathbb {R}$ et $a\in {\overline {\mathbb {C} }}$ tels que $h(z)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \alpha }\varphi _{a}(z)$ pour tout $z\in {\overline {\mathbb {C} }}$.

3. On revient au cas général d'une fraction rationnelle $R$ vérifiant $(*)$ et l'on définit la fonction suivante :

   $S(z):={\frac {1}{{\overline {R}}(1/{\overline {z}})}},\quad \forall z\in {\overline {\mathbb {C} }}$

   où ${\overline {R}}(w)$ désigne le conjugué de $R(w)$. Montrer que $S$ est une fraction rationnelle de la variable complexe $z$ vérifiant $S(z)=R(z)$ pour $|z|=1$. Comparer $S$ et $R$ sur $\mathbb {C}$.

4. 1. Montrer qu'un élément $a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ est un zéro de $R$ si et seulement si $1/{\overline {a}}$ est un pôle de $R$. Interpréter géométriquement ce résultat.
   2. Montrer que si $R(0)\neq 0$ et $R(0)\neq \infty$, alors il existe $\alpha \in \mathbb {R}$ tel que $R$ s'écrive sous la forme

      $R(z)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \alpha }\prod _{k=1}^{m}{\frac {z-a_{k}}{1-{\overline {a_{k}}}z}},\quad \forall z\in {\overline {\mathbb {C} }}$

      où $a_{1},\dots ,a_{m}$ sont les zéros de $R$ comptés avec leur multiplicité.

5. Déterminer toutes les fractions rationnelles de la variable $z$ qui vérifient la condition $(*)$.

Solution

1. 1. $\lim _{b_{i}}R=\infty$.
   2. Si deux fractions rationnelles $R_{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ et $R_{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ coïncident sur un ensemble infini alors le polynôme $P_{1}Q_{2}-P_{2}Q_{1}$ s'annule sur cet ensemble donc il est nul, si bien que $R_{1}=R_{2}$.
2. $h(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$ avec $ad-bc\neq 0$ et sans perte de généralité, $c=0$ ou $1$.
   • Si $c=0$, $h(z)={\frac {az+b}{d}}$ (avec $ad\neq 0$) vérifie $(*)$ si et seulement si $b=0$ et $|a|=|d|$, c.-à-d. s'il existe $\alpha \in \mathbb {R}$ tel que $h(z)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \alpha }\varphi _{0}(z)$ pour tout $z\in {\overline {\mathbb {C} }}$.
   • Si $c=1$, $h(z)={\frac {az+b}{z+d}}$ (avec $b\neq ad$) vérifie $(*)$ si et seulement si $d={\bar {a}}b$ et $|b|=1$, c.-à-d. s'il existe $\alpha \in \mathbb {R}$ et $e\in {\overline {\mathbb {C} }}^{*}$ tels que $h(z)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \alpha }\varphi _{e}(z)$ pour tout $z\in {\overline {\mathbb {C} }}$.
3. Pour $|z|=1$, $1/{\bar {z}}=z$ et comme $|R(z)|=1$, on a de même ${\frac {1}{{\overline {R}}(z)}}=R(z)$, si bien que $S(z)=R(z)$. Par conséquent (d'après la question 1.2) $R=S$.
4. 1. Immédiat d'après la question précédente.

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