##Montrer qu'un élément <math>a\in\C\setminus\{0\}</math> est un zéro de <math>R</math> si et seulement si <math>1/\overline a</math> est un pôle de <math>R</math>. Interpréter géométriquement ce résultat.
##Montrer qu'un élément <math>a\in\C\setminus\{0\}</math> est un zéro de <math>R</math> si et seulement si <math>1/\overline a</math> est un pôle de <math>R</math>. Interpréter géométriquement ce résultat.
##Montrer que si <math>R(0)\ne0</math> et <math>R(0)\ne\infty</math>, alors il existe <math>\alpha\in\R</math> tel que R s'écrive sous la forme
##Montrer que si <math>R(0)\ne0</math> et <math>R(0)\ne\infty</math>, alors il existe <math>\alpha\in\R</math> tel que <math>R</math> s'écrive sous la forme
##:où <math>a_1,\dots,a_m</math> sont les zéros de <math>R</math> comptés avec leur multiplicité.
##:où <math>a_1,\dots,a_m</math> sont les zéros de <math>R</math> comptés avec leur multiplicité.
#Déterminer toutes les fractions rationnelles de la variable <math>z</math> qui vérifient la condition <math>(*)</math>
#Déterminer toutes les fractions rationnelles de la variable <math>z</math> qui vérifient la condition <math>(*)</math>.
{{Solution|contenu=
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#
##<math>\lim_{b_i}R=\infty</math>.
##Rectifier l'énoncé.
#<math>h(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math> avec <math>ad-bc\ne0</math> et sans perte de généralité, <math>c=0</math> ou <math>1</math>.
#*Si <math>c=0</math>, <math>h(z)=\frac{az+b}d</math> (avec <math>ad\ne0</math>) vérifie <math>(*)</math> si et seulement si <math>b=0</math> et <math>|a|=|d|</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] s'il existe <math>\alpha\in\R</math> tel que <math>h(z)=\operatorname e^{\mathrm i\alpha}\varphi_0(z)</math> pour tout <math>z\in\overline\C</math>.
#*Si <math>c=1</math>, <math>h(z)=\frac{az+b}{z+d}</math> (avec <math>b\ne ad</math>) vérifie <math>(*)</math> si et seulement si <math>d=\bar ab</math> et <math>|b|=1</math>, c.-à-d. s'il existe <math>\alpha\in\R</math> et <math>e\in\overline\C^*</math> tels que <math>h(z)=\operatorname e^{\mathrm i\alpha}\varphi_e(z)</math> pour tout <math>z\in\overline\C</math>.
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Exercice 3-1
On désigne par , et les trois racines cubiques de et l'on note pour . On pose .
Montrer que est un domaine de tel que si alors et que l'application holomorphe est surjective.
On désignera par la détermination principale du logarithme complexe sur le domaine . Calculer la dérivée de la fonction holomorphe .
Écrire le développement en série entière de au voisinage de en précisant son rayon de convergence.
Solution
est bien un ouvert connexe de : ouvert parce que son complémentaire et une réunion de trois fermés, et connexe parce qu'il est même étoilé. et et donc . est surjective d'après l'équivalence précédente.
.
() et donc .
Exercice 3-2
Soit une fonction holomorphe sur le disque avec .
Démontrer les propriétés suivantes :
si ;
si .
Vérifier que si et , on a la relation suivante :
.
Démontrer la formule suivante :
si .
Montrer que cette formule reste valable si est holomorphe sur et continue sur (considérer, pour , la fonction ).
Soit une fonction holomorphe sur et continue sur telle que si . Que peut-on dire de ?
On désignera par le plan complexe compactifié et l'on adoptera la convention d'écriture suivante : et .
Montrer que se prolonge en une application continue de dans , que l'on notera encore . Quelles sont les images des pôles par le prolongement ?
Rappeler pourquoi deux fonctions et de la variable complexe qui coïncident en tout point d'un ensemble infini de , coïncident partout sur .
Dans toute la suite, on suppose que est une fraction rationnelle de la variable complexe vérifiant la propriété suivante :
si .
Pour chaque point , on pose
.
On suppose dans cette question que est une homographie qui vérifie . Montrer qu'il existe et tels que pour tout .
On revient au cas général d'une fraction rationnelle vérifiant et l'on définit la fonction suivante :
où désigne le conjugué de . Montrer que est une fraction rationnelle de la variable complexe vérifiant pour . Comparer et sur .
Montrer qu'un élément est un zéro de si et seulement si est un pôle de . Interpréter géométriquement ce résultat.
Montrer que si et , alors il existe tel que s'écrive sous la forme
où sont les zéros de comptés avec leur multiplicité.
Déterminer toutes les fractions rationnelles de la variable qui vérifient la condition .
Solution
.
Rectifier l'énoncé.
avec et sans perte de généralité, ou .
Si , (avec ) vérifie si et seulement si et , c.-à-d. s'il existe tel que pour tout .
Si , (avec ) vérifie si et seulement si et , c.-à-d. s'il existe et tels que pour tout .
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