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#Écrire le développement en série entière de <math>f</math> au voisinage de <math>0</math> en précisant son rayon de convergence.
#Écrire le développement en série entière de <math>f</math> au voisinage de <math>0</math> en précisant son rayon de convergence.
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#<math>G</math> est bien un ouvert connexe de <math>\C</math> : ouvert parce que son complémentaire et une réunion de trois fermés, et [[Topologie générale/Connexité#Définitions et premières propriétés|connexe parce qu'il est même étoilé]].<br><math>z\notin G\Leftrightarrow|z|\ge\sqrt[3]2</math> et <math>(z/|z|)^3=-1\Leftrightarrow|z|^3\ge2</math> et <math>z^3=-|z|^3\Leftrightarrow z^3\in\left]-\infty,-2\right]</math> donc <math>z\in G\Leftrightarrow z^3+2\in\Omega_0</math>.<br><math>g</math> est surjective d'après l'équivalence précédente.
#<math>f'(z)=\frac{g'(z)}{g(z)}=\frac{3z^2}{z^3+2}</math>.
#<math>f'(z)=\frac{3z^2}2\frac1{1+z^3/2}=\frac{3z^2}2\sum_{n=0}^\infty(-z^3/2)^n=3\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}z^{3n+2}</math> (<math>R=\sqrt[3]2</math>) et <math>f(0)=\ln2</math> donc <math>f(z)=\ln2+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+1)2^{n+1}}z^{3n+3}</math>.
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Version du 21 septembre 2021 à 12:46

Fonctions holomorphes
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Exercices no3
Leçon : Fonctions d'une variable complexe

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Trigonométrie complexe
Exo suiv. :Sommaire
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Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes
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Exercice 3-1

On désigne par , et les trois racines cubiques de et l'on note pour . On pose .

  1. Montrer que est un domaine de tel que si alors et que l'application holomorphe est surjective.
  2. On désignera par la détermination principale du logarithme complexe sur le domaine .
    Calculer la dérivée de la fonction holomorphe .
  3. Écrire le développement en série entière de au voisinage de en précisant son rayon de convergence.

Exercice 3-2

Soit une fonction holomorphe sur le disque avec .

  1. Démontrer les propriétés suivantes :
    1. si  ;
    2. si .
    1. Vérifier que si et , on a la relation suivante :
      .
    2. Démontrer la formule suivante :
      si .
  2. Montrer que cette formule reste valable si est holomorphe sur et continue sur (considérer, pour , la fonction ).
  3. Soit une fonction holomorphe sur et continue sur telle que si . Que peut-on dire de  ?

Exercice 3-3

Soient deux polynômes d'une variable complexe à coefficients complexes, sans zéro commun. On définit la fraction rationnelle en posant

si

sont les pôles de , c.-à-d. les zéros de .

On désignera par le plan complexe compactifié et l'on adoptera la convention d'écriture suivante : et .

    1. Montrer que se prolonge en une application continue de dans , que l'on notera encore . Quelles sont les images des pôles par le prolongement  ?
    2. Rappeler pourquoi deux fonctions et de la variable complexe qui coïncident en tout point d'un ensemble infini de , coïncident partout sur .
      Dans toute la suite, on suppose que est une fraction rationnelle de la variable complexe vérifiant la propriété suivante :
      si .
  1. Pour chaque point , on pose
    .
    On suppose dans cette question que est une homographie qui vérifie . Montrer qu'il existe et tels que pour tout .
  2. On revient au cas général d'une fraction rationnelle vérifiant et l'on définit la fonction suivante :
    désigne le conjugué de . Montrer que est une fraction rationnelle de la variable complexe vérifiant pour . Comparer et sur .
    1. Montrer qu'un élément est un zéro de si et seulement si est un pôle de . Interpréter géométriquement ce résultat.
    2. Montrer que si et , alors il existe tel que R s'écrive sous la forme
      sont les zéros de comptés avec leur multiplicité.
  3. Déterminer toutes les fractions rationnelles de la variable qui vérifient la condition