#Écrire le développement en série entière de <math>f</math> au voisinage de <math>0</math> en précisant son rayon de convergence.
#Écrire le développement en série entière de <math>f</math> au voisinage de <math>0</math> en précisant son rayon de convergence.
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#<math>G</math> est bien un ouvert connexe de <math>\C</math> : ouvert parce que son complémentaire et une réunion de trois fermés, et [[Topologie générale/Connexité#Définitions et premières propriétés|connexe parce qu'il est même étoilé]].<br><math>z\notin G\Leftrightarrow|z|\ge\sqrt[3]2</math> et <math>(z/|z|)^3=-1\Leftrightarrow|z|^3\ge2</math> et <math>z^3=-|z|^3\Leftrightarrow z^3\in\left]-\infty,-2\right]</math> donc <math>z\in G\Leftrightarrow z^3+2\in\Omega_0</math>.<br><math>g</math> est surjective d'après l'équivalence précédente.
#<math>f'(z)=\frac{3z^2}2\frac1{1+z^3/2}=\frac{3z^2}2\sum_{n=0}^\infty(-z^3/2)^n=3\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}z^{3n+2}</math> (<math>R=\sqrt[3]2</math>) et <math>f(0)=\ln2</math> donc <math>f(z)=\ln2+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+1)2^{n+1}}z^{3n+3}</math>.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Fonctions holomorphes Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 3-1
On désigne par , et les trois racines cubiques de et l'on note pour . On pose .
Montrer que est un domaine de tel que si alors et que l'application holomorphe est surjective.
On désignera par la détermination principale du logarithme complexe sur le domaine . Calculer la dérivée de la fonction holomorphe .
Écrire le développement en série entière de au voisinage de en précisant son rayon de convergence.
Solution
est bien un ouvert connexe de : ouvert parce que son complémentaire et une réunion de trois fermés, et connexe parce qu'il est même étoilé. et et donc . est surjective d'après l'équivalence précédente.
.
() et donc .
Exercice 3-2
Soit une fonction holomorphe sur le disque avec .
Démontrer les propriétés suivantes :
si ;
si .
Vérifier que si et , on a la relation suivante :
.
Démontrer la formule suivante :
si .
Montrer que cette formule reste valable si est holomorphe sur et continue sur (considérer, pour , la fonction ).
Soit une fonction holomorphe sur et continue sur telle que si . Que peut-on dire de ?
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?
Exercice 3-3
Soient deux polynômes d'une variable complexe à coefficients complexes, sans zéro commun. On définit la fraction rationnelle en posant