« Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique » : différence entre les versions
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Soient <math>X</math> un espace topologique, <math>E=\mathcal C_b(X,\R)</math> l'espace de Banach des fonctions continues bornées, muni de la [[Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions#Convergence uniforme|norme de la convergence uniforme]], <math>(x_n)</math> une suite de points de <math>X</math> et <math>\sum_{n\in\N}a_n</math> une série absolument convergente de nombres réels. Pour tout <math>f\in E</math>, on pose |
Soient <math>X</math> un espace topologique, <math>E=\mathcal C_b(X,\R)</math> l'espace de Banach des fonctions continues bornées, muni de la [[Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions#Convergence uniforme|norme de la convergence uniforme]], <math>(x_n)</math> une suite de points de <math>X</math> et <math>\sum_{n\in\N}a_n</math> une série absolument convergente de nombres réels distincts. Pour tout <math>f\in E</math>, on pose |
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:<math>T(f)=\sum_{n\in\N}a_nf(x_n)</math>. |
:<math>T(f)=\sum_{n\in\N}a_nf(x_n)</math>. |
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#Montrer que <math>T</math> est une forme [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Cas particulier des applications linéaires|linéaire continue sur <math>E</math>, de norme <math>\le\sum_{n\in\N}|a_n|</math>]]. |
#Montrer que <math>T</math> est une forme [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Cas particulier des applications linéaires|linéaire continue sur <math>E</math>, de norme <math>\le\sum_{n\in\N}|a_n|</math>]]. |
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#Montrer que <math>|\!|\!|T|\!|\!|=\sum_{n\in\N}|a_n|</math>. |
#Montrer que <math>|\!|\!|T|\!|\!|=\sum_{n\in\N}|a_n|</math>. |
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{{Solution|contenu= |
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#Le seul point non immédiat est la majoration de la norme (qui garantit la continuité). Pour toute <math>f\in E</math>, <math>|T(f)|\le\sum_{n\in\N}|a_n||f(x_n)|\le\sum_{n\in\N}|a_n|\|f\|</math> donc <math>|\!|\!|T|\!|\!|\le\sum_{n\in\N}|a_n|</math>. |
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#Soit <math>\varepsilon>0</math>. Il existe <math>N\in\N</math>, tel que <math>\sum_{n\ge N}|a_n|<\varepsilon</math>. Puis, il existe <math>f\in E</math> de norme <math>1</math> telle que pour <math>n=0,1,\dots,N</math>, <math>a_nf(x_n)=|a_n|</math>.<br>Alors, <math>|\!|\!|T|\!|\!|\ge|T(f)|\ge\left|\sum_{n<N}a_nf(x_n)\right|-\left|\sum_{n\ge N}a_nf(x_n)\right|\ge\sum_{n<N}|a_n|-\varepsilon\ge\sum_{n\in\N}|a_n|-2\varepsilon</math>. |
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Version du 20 septembre 2021 à 14:02
Exercice 1-1
Soient un espace topologique, l'espace de Banach des fonctions continues bornées, muni de la norme de la convergence uniforme, une suite de points de et une série absolument convergente de nombres réels distincts. Pour tout , on pose
- .
- Montrer que est une forme linéaire continue sur , de norme .
- Montrer que .
Solution
- Le seul point non immédiat est la majoration de la norme (qui garantit la continuité). Pour toute , donc .
- Soit . Il existe , tel que . Puis, il existe de norme telle que pour , .
Alors, .
Exercice 1-2
On rappelle que , désigne l'espace des suites de nombres complexes telles que
- .
Toute forme linéaire continue peut s'écrire
où avec .
- Montrer que dans l'espace , le sous-espace des suites de support fini est dense.
- Montrer qu'une suite d'éléments de converge faiblement vers si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes :
- la suite est bornée ;
- pour tout entier , la suite converge vers (dans ).
- En déduire que toute suite bornée de admet une sous-suite faiblement convergente.
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?