Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique

Exercice 1-1

On rappelle que $\ell ^{p}:=\ell ^{p}(\mathbb {N} ,\mathbb {C} )$, $1<p<\infty$ désigne l'espace des suites $x=(x_{n})$ de nombres complexes telles que

$\|x\|_{p}:=\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<\infty$.

Toute forme linéaire continue $T\in \left(\ell ^{p}\right)'$ peut s'écrire

$Tx=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\quad \forall x=(x_{n})\in \ell ^{p}$

où $y=(y_{n})\in \ell ^{q}$ avec ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$.

1. Montrer que dans l'espace $\ell ^{q}$, le sous-espace des suites de support fini est dense.
2. Montrer qu'une suite $(x_{k})_{k}$ d'éléments $x_{k}=(x_{k,n})_{n}$ de $\ell ^{p}$ converge faiblement vers $x=(x_{n})_{n}\in \ell ^{p}$ si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes :
   1. la suite $(x_{k})_{k}$ est bornée ;
   2. pour tout entier $n$, la suite $(x_{k,n})_{k}$ converge vers $x_{n}$ (dans $\mathbb {C}$).
3. En déduire que toute suite bornée de $\ell ^{p}$ admet une sous-suite faiblement convergente.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}