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**Variations d'une fonction**
Leçon : Continuité et variations

Exercices n^o4

Exercices de niveau 13.
Exo préc. :	Fonctions continues strictement monotones
Exo suiv. :	Sommaire

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Variations d'une fonction
Continuité et variations/Exercices/Variations d'une fonction », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Exercice 4-1

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par $f(x)={\frac {1}{\operatorname {e} ^{x^{2}+x}}}$ .

Donner sa dérivée et son tableau de variations, avec les limites en $\pm \infty$ .

Solution

$f(x)=\operatorname {e} ^{-x^{2}-x}$ donc $f'(x)=(-2x-1)\operatorname {e} ^{-x^{2}-x}$ .

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\frac {1}{2}}&&+\infty \\\hline &&&{\sqrt[{4}]{\mathrm {e} }}&&\\f(x)&&\nearrow &&\searrow &\\&0&&&&0\\\hline \end{array}}$

Exercice 4-2

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par $f(x)={\frac {2}{\operatorname {e} ^{-x^{2}-2x}}}$ .

Donner sa dérivée et son tableau de variations, avec les limites en $\pm \infty$ .

Solution

$f(x)=2\operatorname {e} ^{x^{2}+2x}$ donc $f'(x)=4(x+1)\operatorname {e} ^{x^{2}+2x}$ .

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&+\infty \\\hline &+\infty &&&&+\infty \\f(x)&&\searrow &&\nearrow &\\&&&{\frac {2}{\mathrm {e} }}&&\\\hline \end{array}}$

Exercice 4-3

Soit $f$ définie par $f(x)={\sqrt {8-x^{3}}}$ .

Donner son domaine de définition, son domaine de dérivabilité, sa dérivée et son tableau de variations, avec les valeurs de $f$ et $f'$ en $0$ et leurs limites aux bornes.

Solution

$f$ est définie sur $\left]-\infty ,2\right]$ et dérivable sur $\left]-\infty ,2\right[$ , avec $f'(x)={\frac {-3x^{2}}{2{\sqrt {8-x^{3}}}}}$ .

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&0&&2\\\hline f'(x)&-\infty &-&0&-&-\infty \\\hline &+\infty &&&&\\f(x)&&\searrow &&&\\&&&2{\sqrt {2}}&&\\&&&&\searrow &\\&&&&&0\\\hline \end{array}}$

Exercice 4-4

Soit $f$ définie sur $\mathbb {R} \setminus \{1\}$ .

On donne ci-dessous son tableau de variations sur $\left]1,+\infty \right[$ :

{\begin{array}{c|ccccccc|}x&1&&3&&+\infty \\\hline &+\infty &&&&+\infty \\f(x)&&\searrow &&\nearrow &\\&&&{\frac {5}{2}}&&\\\hline \end{array}}

De plus on admet que sur son domaine, $f$ peut s'écrire sous la forme

f(x)=ax+{\frac {b}{x-c}}

où

a,b,c\in \mathbb {R}

.

Déterminer $c$ .
Calculer $f'$ et en déduire une relation entre $a$ et $b$ .
Le tableau de variations nous fournit les coordonnées d'un point particulier du graphe de $f$ . En déduire une seconde relation entre $a$ et $b$ .
Déterminer $a$ et $b$ .
Montrer que la représentation graphique de $f$ admet un centre de symétrie.

Solution

L'asymptote verticale a pour abscisse $c=1$ .
$f'(x)=a-{\frac {b}{(x-c)^{2}}}$ donc $0=f'(3)=a-{\frac {b}{(3-1)^{2}}}$ , soit $b=4a$ .
${\frac {5}{2}}=f(3)=3a+{\frac {b}{3-1}}=3a+{\frac {b}{2}}$ , soit $6a+b=5$ .
$5-6a=4a\Rightarrow a={\frac {1}{2}}$ , et $b=4a=2$ .
$f(1+t)={\frac {1+t}{2}}+{\frac {2}{t}}=g(t)+{\frac {1}{2}}$ avec $g$ impaire, donc le graphe de $f$ est symétrique par rapport au point $(1,1/2)$ .

Continuité et variations

Fonctions continues strictement monotones

Sommaire

@@ Ligne 41 : / Ligne 41 : @@
 </math>
 }}
-==Exercice 4-2==
+==Exercice 4-3==
 Soit <math>f</math> définie par <math>f(x)=\sqrt{8-x^3}</math>.
@@ Ligne 61 : / Ligne 61 : @@
 \end{array}
 </math>
+}}
+==Exercice 4-4==
+Soit <math>f</math> définie sur <math>\R\setminus\{1\}</math>.
+On donne ci-dessous son tableau de variations sur <math>\left]1,+\infty\right[</math> :
+:<math>\begin{array}{c|ccccccc|}
+x&1&&3&&+\infty\\
+\hline
+&+\infty&&&&+\infty\\
+f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\
+&&&\frac52&&\\
+\hline
+\end{array}
+</math>
+De plus on admet que sur son domaine, <math>f</math> peut s'écrire sous la forme
+:<math>f(x)=ax+\frac b{x-c}</math> où <math>a,b,c\in\R</math>.
+#Déterminer <math>c</math>.
+#Calculer <math>f'</math> et en déduire une relation entre <math>a</math> et <math>b</math>.
+#Le tableau de variations nous fournit les coordonnées d'un point particulier du graphe de <math>f</math>. En déduire une seconde relation entre <math>a</math> et <math>b</math>.
+#Déterminer <math>a</math> et <math>b</math>.
+#Montrer que la représentation graphique de <math>f</math> admet un centre de symétrie.
+{{Solution|contenu=
+#L'asymptote verticale a pour abscisse <math>c=1</math>.
+#<math>f'(x)=a-\frac b{(x-c)^2}</math> donc <math>0=f'(3)=a-\frac b{(3-1)^2}</math>, soit <math>b=4a</math>.
+#<math>\frac52=f(3)=3a+\frac b{3-1}=3a+\frac b2</math>, soit <math>6a+b=5</math>.
+#<math>5-6a=4a\Rightarrow a=\frac12</math>, et <math>b=4a=2</math>.
+#<math>f(1+t)=\frac{1+t}2+\frac2t=g(t)+\frac12</math> avec <math>g</math> impaire, donc le graphe de <math>f</math> est symétrique par rapport au point <math>(1,1/2)</math>.
 }}