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#<math>a,b=1\pm2\mathrm i</math>.
#<math>a,b=1\pm2\mathrm i</math>.
#<math>P=(X^2-2X+5)(X+1+\sqrt2)(X+1-\sqrt2)</math>.
#<math>P=(X^2-2X+5)(X+1+\sqrt2)(X+1-\sqrt2)</math>.
}}

==Exercice 1-15==
Décomposer le polynôme <math>X^4+16</math> en produit d'irréductibles dans <math>\R[X]</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\forall z\in\C\quad z^4=-16=16\mathrm e^{\mathrm i\pi }\Leftrightarrow z\in\{z_0,z_1,z_2,z_3\}</math> avec <math>z_k=2\mathrm e^{\mathrm i((\pi/4)+(k\pi/2))}</math> [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>z_0=2\mathrm e^{\mathrm i\pi /4}</math>, <math>z_1=\mathrm iz_0</math>, <math>z_2=-z_0=\overline{z_1}</math>, <math>z_3=-\mathrm iz_0=\overline{z_0}</math>, donc <math>X^4+16=P_0P_1</math> avec <math>P_k=(X-z_k)(X-\overline{z_k})=X^2-2\mathrm{Re}(z_k)X+|z_k|^2=X^2-4\cos(\pi/4+k\pi/2)+4</math>, c.-à-d. <math>P_0=X^2-2\sqrt2X+4</math> et <math>P_1=X^2+2\sqrt2X+4</math>.
}}
}}



Version du 5 juillet 2021 à 15:48

Racines de polynômes
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Polynôme
Chapitre du cours : Racines d’un polynôme

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Polynôme dérivé
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Polynôme/Exercices/Racines de polynômes
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Exercice 1-1

Trouver tous les polynômes tels que .

Exercice 1-2

Déterminer les polynômes tels que .

Exercice 1-3

Soit . Montrer que :

  1. a une unique racine réelle  ;
  2. .
  3. Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
  4. En déduire que .
  5. Calculer .

Exercice 1-4

Soit tel que . Montrer que est somme de deux carrés de polynômes réels.

descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Dix-septième problème de Hilbert ».

Première méthode : chercher à factoriser dans sous la forme .

Seconde méthode :

  1. Que dire de la décomposition de en facteurs irréductibles dans  ?
  2. Montrer l'identité .
  3. Conclure.

Exercice 1-5

Soient .

Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .

Exercice 1-6

  1. Montrer que pour tout , est divisible par .
  2. Pour quelles valeurs de l'entier le polynôme est-il divisible par  ?

Montrer que pour tout , le polynôme est divisible par .

  1. Montrer que le reste de la division euclidienne d'un polynôme par s'obtient en remplaçant par autant de fois que cela est possible dans le polynôme .
  2. Pour quelles valeurs de l'entier le polynôme divise-t-il le polynôme  ?
  3. Montrer que est divisible par .
  4. Pour quels triplets le polynôme est-il divisible par  ?

Exercice 1-7

Démontrer que pour tout ,

.

Indication : on fera intervenir un polynôme de degré ayant pour racines les nombres complexes pour , et l'on en déduira (à l'aide des polynômes de Tchebychev) un polynôme de degré ayant pour racines les . Une relation entre coefficients et racines de permettra de conclure.

Remarque : de façon équivalente, .

Exercice 1-8

Soit un polygone régulier de sommets inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que

.

Exercice 1-9

Le polynôme a-t-il une racine double ?

Trouver un polynôme tel que et montrer que n'admet pas de racine multiple.

Soit . Déterminer , et de manière que soit divisible par . La racine 1 peut-elle être triple ?

Exercice 1-10

Soit un polynôme non constant tel que .

  1. En donner des exemples.
  2. Si est une racine de , montrer que ou est une racine n-ième de 1 pour un certain n.

Exercice 1-11

Calculer .

Exercice 1-12

Soit . Calculer et en déduire une factorisation de .

Exercice 1-13

Trouver tel que les racines de vérifient . Résoudre alors la ou les équation(s) obtenue(s).

Exercice 1-14

  1. Décomposer le polynôme en produit de deux polynômes du second degré sachant qu'il admet deux racines et telles que .
  2. Quelles sont les valeurs de et  ?
  3. Donner la décomposition en facteurs irréductibles de dans .

Exercice 1-15

Décomposer le polynôme en produit d'irréductibles dans .