« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions
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#<math>P(1)=(q-p)Q(1)</math> et <math>P(-1)=(q+p)Q(-1)</math>. |
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#<math>qm_1-p</math> et <math>qm_2-p</math> sont tous deux égaux à <math>\pm1</math> et distincts, donc opposés.<br><math>qm_1-p=-qm_2+p\Leftrightarrow\frac pq=\frac{m_1+m_2}2</math>, et <math>qm_1-p=-qm_2+p=\pm1\Rightarrow|m_1-m_2|=\frac2q\le2</math>. |
#<math>qm_1-p</math> et <math>qm_2-p</math> sont tous deux égaux à <math>\pm1</math> et distincts, donc opposés.<br><math>qm_1-p=-qm_2+p\Leftrightarrow\frac pq=\frac{m_1+m_2}2</math>, et <math>qm_1-p=-qm_2+p=\pm1\Rightarrow|m_1-m_2|=\frac2q\le2</math>. |
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Référence pour les questions 1 à 4 : exercice 12 de {{Lien web|url=https://webusers.imj-prg.fr/~emmanuel.lepage/TD/MM002/2015/sol3.pdf |
Référence pour les questions 1 à 4 : exercice 12 de {{Lien web|url=https://webusers.imj-prg.fr/~emmanuel.lepage/TD/MM002/2015/sol3.pdf|auteur=Emmanuel Lepage|titre=M1, Algèbre et théorie de Galois, TD n° 3, Solutions|site=[[w:Institut de mathématiques de Jussieu – Paris Rive Gauche|webusers.imj-prg.fr]]|date=2015}}. |
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Le polynôme <math>P(X):=X^3+X+1</math> est-il irréductible dans <math>\C[X]</math> ? dans <math>\R[X]</math> ? dans <math>\Q[X]</math> ? |
#Le polynôme <math>P(X):=X^3+X+1</math> est-il irréductible dans <math>\C[X]</math> ? dans <math>\R[X]</math> ? dans <math>\Q[X]</math> ? |
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<math>P</math> est scindé dans <math>\C[X]</math>. Il a au moins une racine réelle. Il est irréductible dans <math>\Q[X]</math> car il est de degré 3 sans racine rationnelle car d'après le critère précédent, les seules éventuelles racines rationnelles sont <math>\pm1</math>, or <math>P(1)=3</math> et <math>P(-1)=-1</math>. |
#<math>P</math> est scindé dans <math>\C[X]</math>. Il a au moins une racine réelle. Il est irréductible dans <math>\Q[X]</math> car il est de degré 3 sans racine rationnelle car d'après le critère précédent, les seules éventuelles racines rationnelles sont <math>\pm1</math>, or <math>P(1)=3</math> et <math>P(-1)=-1</math>. |
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Décomposer en produits de facteurs irréductibles dans <math>\Q[X]</math> les polynômes suivants : |
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:<math>P_1(X)=3X^3-2X^2-2X-5</math>, <math>P_2(X)=6X^4+19X^3-7X^2-26X+12</math>, <math>P_3(X)=X^6+2X^4-X^3+3X^2+1</math>. |
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On trouve facilement les racines rationnelles de ces trois polynômes grâce à la condition nécessaire ci-dessus (<math>p\mid a_0</math> et <math>q\mid a_n</math>) : 5/3 pour <math>P_1</math>, 1/2 et –3 pour <math>P_2</math> et aucune pour <math>P_3</math>. |
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<math>P_1(X)=(3X-5)(X^2+X+1)</math> et <math>X^2+X+1</math> est irréductible sur <math>\Q</math> (et même sur <math>\R</math>). |
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<math>P_2(X)=(2X-1)(X+3)(3X^2+2X-4)</math> et <math>3X^2+2X-4</math> est irréductible sur <math>\Q</math>. |
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<math>P_3</math> est irréductible sur <math>\Q</math>. En effet, comme il est unitaire, il serait sinon réductible sur <math>\Z</math>. Or une étude de variations montre rapidement que sur <math>\R</math>, <math>P_3</math> est strictement positif (de minimum <math>P_3(0)=1</math>) donc produit de trois polynômes irréductibles de degré 2. Aucun d'eux n'est à coefficients entiers, sinon on aurait <math>P_3(X)=(X^2+aX+b)(X^4-aX^3+cX^2-aX+b)</math> avec <math>a,c\in\Z,b=\pm1,b+c-a^2=2,a(c-b-1)=-1,b-a^2+bc=3</math>, ce qui implique <math>a=\pm1</math> et <math>3-b=c=4b-1</math> donc <math>4=5b=\pm5</math>, absurde. |
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Version du 4 juillet 2021 à 22:58
Exercice 4-1
On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.
- D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
- car .
- Soit une racine non nulle d'un élément de . D'après la question 2, les pour sont aussi des racines d'éléments de et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc distincts tels que .
Exercice 4-2
Soient n entiers deux à deux distincts () et . Dans chacun des cas suivants, montrer que dans , le polynôme est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont .
- avec n impair ;
- ;
- .
Soient tels que avec, sans perte de généralité, unitaires et . Montrons que .
- et donc et . Par conséquent, avec (pour des raisons de degrés et de coefficients dominants) ou . Mais est impossible (on aurait donc pair). Donc et , si bien que .
- Par le même raisonnement, avec ou . Mais est impossible (on aurait , non unitaire). Donc et , si bien que .
- Par le même raisonnement, . En fait, car sur , puisque est unitaire et ne s'annule pas (car ), . Par conséquent, avec (puisque est unitaire et de degré ), ou . Mais est impossible ( n'est pas divisible par ) donc , si bien que .
(Inspiré de l'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf.)
Exercice 4-3
Soient un polynôme à coefficients entiers, et (, ) une racine rationnelle de , écrite sous forme irréductible.
- Montrer que .
- En déduire que et .
- En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.
- Déduire du 1. que et .
- Déduire du 1. que s'il existe deux entiers relatifs distincts et tels que alors et .
- Dans , donc . Comme et sont premiers entre eux, est donc divisible par non seulement dans mais même dans (en effet avec, puisque :
d'après le lemme de Gauss.
Pour un argument plus général, voir Contenu d'un polynôme). - Le terme constant et le coefficient dominant de sont respectivement et .
- Si de plus , alors .
- et .
- et sont tous deux égaux à et distincts, donc opposés.
, et .
Référence pour les questions 1 à 4 : exercice 12 de Emmanuel Lepage, « M1, Algèbre et théorie de Galois, TD n° 3, Solutions », sur webusers.imj-prg.fr, .
- Le polynôme est-il irréductible dans ? dans ? dans ?
- Et le polynôme ?
- Et le polynôme ?
- est scindé dans . Il a au moins une racine réelle. Il est irréductible dans car il est de degré 3 sans racine rationnelle car d'après le critère précédent, les seules éventuelles racines rationnelles sont , or et .
- Mêmes réponses que pour . Les seules éventuelles racines rationnelles sont , or .
- Mêmes réponses que pour et . Les seules éventuelles racines rationnelles sont et , et l'on vérifie que ces quatre nombres ne sont pas racines.
Décomposer en produits de facteurs irréductibles dans les polynômes suivants :
- , , .
On trouve facilement les racines rationnelles de ces trois polynômes grâce à la condition nécessaire ci-dessus ( et ) : 5/3 pour , 1/2 et –3 pour et aucune pour .
et est irréductible sur (et même sur ).
et est irréductible sur .
est irréductible sur . En effet, comme il est unitaire, il serait sinon réductible sur . Or une étude de variations montre rapidement que sur , est strictement positif (de minimum ) donc produit de trois polynômes irréductibles de degré 2. Aucun d'eux n'est à coefficients entiers, sinon on aurait avec , ce qui implique et donc , absurde.