« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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:<math>P'_n(\mathrm j)=(6n+1)\left(\left(-\mathrm j^2\right)^{6n}-\mathrm j^{6n}\right)=(6n+1)(1-1)=0</math>. |
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#Montrer que le reste de la division euclidienne d'un polynôme <math>P</math> par <math>X^2+pX+q</math> s'obtient en remplaçant <math>X^2</math> par <math>-pX-q</math> autant de fois que cela est possible dans le polynôme <math>P</math>. |
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#Pour quelles valeurs de l'entier <math>n</math> le polynôme <math>X^3+1</math> divise-t-il le polynôme <math>X^{3n}+1</math> ? |
#Pour quelles valeurs de l'entier <math>n</math> le polynôme <math>X^3+1</math> divise-t-il le polynôme <math>X^{3n}+1</math> ? |
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#Montrer que <math>(X-1)^{n+2}+X^{2n+1}</math> est divisible par <math>X^2-X+1</math>. |
#Montrer que <math>(X-1)^{n+2}+X^{2n+1}</math> est divisible par <math>X^2-X+1</math>. |
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#Pour quels triplets <math>(s,t,u)\in\N^3</math> le polynôme <math>X^{3s}-X^{3t+1}+X^{3u+2}</math> est-il divisible par <math>X^2-X+1</math> ? |
#Pour quels triplets <math>(s,t,u)\in\N^3</math> le polynôme <math>X^{3s}-X^{3t+1}+X^{3u+2}</math> est-il divisible par <math>X^2-X+1</math> ? |
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{{Solution|contenu= |
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#<math> |
#Soient <math>Q,R</math> les quotient et reste de cette division euclidienne, alors <math>P-(X^2+pX+q)A=(Q-A)(X^2+pX+q)+R</math>, donc chaque remplacement de <math>X^2</math> par <math>-pX-q</math> change le quotient mais pas le reste. Quand on ne peut plus rien remplacer, c'est que le polynôme obtenu est de degré <math>\le1</math>, donc égal à son reste. |
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#<math>X^3+1</math> a 3 racines simples : <math>-1</math>, <math>-\mathrm j</math> et <math>-\bar{\mathrm j}</math>. Il divise donc <math>X^{3n}+1</math> si et seulement si <math>(-1)^{3n}+1=0</math> et <math>(-\mathrm j)^{3n}+1=0</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] si <math>n</math> est impair.<br>Autre méthode : <math>X^3+1</math> divise <math>X^{3n}+1</math> si et seulement si <math>X+1</math> et <math>X^2-X+1</math> le divisent. La première condition équivaut à <math>n</math> impair, et la seconde est stable par parité, car le reste ne change pas quand on remplace <math>n</math> par <math>n-2</math>, car d'après la question précédente, <math>X^{3n}+1=X^{3n-6}(X^2)^3+1</math> a même reste que <math>X^{3n-6}(X-1)^3+1</math>, donc que <math>X^{3n-6}((X-3)(X-1)+3X-1)+1=X^{3n-6}(X^2-X+2)+1</math>, donc que <math>X^{3n-6}(X-1-X+2)+1=X^{3(n-2)}+1</math>. On se ramène ainsi au cas <math>n=1</math>, qui est trivial. |
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#<math>X^2-X+1=\frac{X^3+1}{X+1}</math> a 2 racines simples : <math>-\mathrm j</math> et <math>-\bar{\mathrm j}</math>, et <math>(-\mathrm j-1)^{n+2}+(-\mathrm j)^{2n+1}=(\mathrm j^2)^{n+2}-\mathrm j^{2n+1}=\mathrm j^{2n+1}\left(\mathrm j^3-1\right)=0</math>. |
#<math>X^2-X+1=\frac{X^3+1}{X+1}</math> a 2 racines simples : <math>-\mathrm j</math> et <math>-\bar{\mathrm j}</math>, et <math>(-\mathrm j-1)^{n+2}+(-\mathrm j)^{2n+1}=(\mathrm j^2)^{n+2}-\mathrm j^{2n+1}=\mathrm j^{2n+1}\left(\mathrm j^3-1\right)=0</math>.<br>Autre méthode : d'après la question 1, le reste euclidien de <math>(X-1)^{n+2}+X^{2n+1}</math> par <math>X^2-X+1</math> est le même que celui de <math>(X-1)^{n+2}+X(X-1)^n=(X-1)^n(X^2-X+1)</math>, donc est nul. |
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#<math>(-\mathrm j)^{3s}-(-\mathrm j)^{3t+1}+(-\mathrm j)^{3u+2}=(-1)^s+(-1)^t\mathrm j+(-1)^u\mathrm j^2=0</math> si et seulement si <math>s,t,u</math> sont de même parité. |
#<math>(-\mathrm j)^{3s}-(-\mathrm j)^{3t+1}+(-\mathrm j)^{3u+2}=(-1)^s+(-1)^t\mathrm j+(-1)^u\mathrm j^2=0</math> si et seulement si <math>s,t,u</math> sont de même parité. |
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Version du 1 juillet 2021 à 23:01
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Soit une solution non nulle.
Soit une racine de . Alors :
- et ;
- D'après , tous les sont racines de donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
- D'après , est donc aussi nul ou de module 1 ;
- Par conséquent, donc aussi (d'après ) .
Finalement, les seules racines possibles de sont et .
Soit avec et . Alors, .
Les solutions sont donc : ou .
Exercice 1-2
Déterminer les polynômes tels que .
Puisque est premier avec , un polynôme est solution si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
De même, est solution de l'équation précédente si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
Et ainsi de suite. Finalement, est solution si et seulement si pour un tel que .
Les solutions sont donc les polynômes de la forme avec .
Exercice 1-3
Soit . Montrer que :
- a une unique racine réelle ;
- .
- Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
- En déduire que .
- Calculer .
- Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré (continue, et de limite en ) est strictement positive sur et strictement croissante sur . Elle s'annule donc exactement une fois.
- donc .
- De on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : et .
- donc , et .
- .
Exercice 1-4
Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .
On pourra chercher à factoriser dans sous la forme .
est a priori le produit dans d'un polynôme scindé et d'un polynôme unitaire à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors donc (puisque ) . Par conséquent, toutes les racines de sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que est le carré d'un polynôme . étant pour sa part de la forme avec , on obtient : , avec . En décomposant sous la forme avec , on conclut : .
Exercice 1-5
Soient .
Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .
Le reste de la division euclidienne de par est avec (puisque et sont racines doubles de ) :
- ;
- ;
- ;
- .
En résolvant le système, on en déduit :
- .
Le reste de la division euclidienne de par est donc :
- .
Exercice 1-6
- Montrer que pour tout , est divisible par .
- Pour quelles valeurs de l'entier le polynôme est-il divisible par ?
- Il suffit de vérifier que (donc aussi ) est racine de ce polynôme.
.
(Ou par triple récurrence.) - , donc est divisible par si et seulement si n'est pas un multiple de .
Montrer que pour tout , le polynôme est divisible par .
Il suffit de vérifier que (donc aussi ) est racine double de .
- .
- .
- Montrer que le reste de la division euclidienne d'un polynôme par s'obtient en remplaçant par autant de fois que cela est possible dans le polynôme .
- Pour quelles valeurs de l'entier le polynôme divise-t-il le polynôme ?
- Montrer que est divisible par .
- Pour quels triplets le polynôme est-il divisible par ?
- Soient les quotient et reste de cette division euclidienne, alors , donc chaque remplacement de par change le quotient mais pas le reste. Quand on ne peut plus rien remplacer, c'est que le polynôme obtenu est de degré , donc égal à son reste.
- a 3 racines simples : , et . Il divise donc si et seulement si et , c.-à-d. si est impair.
Autre méthode : divise si et seulement si et le divisent. La première condition équivaut à impair, et la seconde est stable par parité, car le reste ne change pas quand on remplace par , car d'après la question précédente, a même reste que , donc que , donc que . On se ramène ainsi au cas , qui est trivial. - a 2 racines simples : et , et .
Autre méthode : d'après la question 1, le reste euclidien de par est le même que celui de , donc est nul. - si et seulement si sont de même parité.
Exercice 1-7
Démontrer que pour tout ,
- .
Indication : on fera intervenir un polynôme de degré ayant pour racines les nombres complexes pour , et l'on en déduira (à l'aide des polynômes de Tchebychev) un polynôme de degré ayant pour racines les . Une relation entre coefficients et racines de permettra de conclure.
Les pour sont racines de .
Autrement dit, pour () : , où .
Le -ième polynôme de Tchebychev est de degré , de coefficient dominant et de terme constant si est pair. est donc de degré , de coefficient dominant et de terme constant . Le produit de ses racines est bien égal à .
Remarque : de façon équivalente, .
- Pour une autre méthode, voir Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1#Exercice 10-6 question 2 (dans le cas particulier ).
- Pour d'autres formules de ce genre, voir Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Formules générales en relation avec les coefficients des polynômes minimaux trigonométriques.
Exercice 1-8
Soit un polygone régulier de sommets inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que
- .
Il s'agit de vérifier que , où .
Le polynôme est égal à donc .
Exercice 1-9
Le polynôme a-t-il une racine double ?
Non car les racines de sont et aucune des deux n'est racine de .
Trouver un polynôme tel que et montrer que n'admet pas de racine multiple.
L'unique solution est et seul pourrait éventuellement être racine multiple d'un tel polynôme, or .
Soit . Déterminer , et de manière que soit divisible par . La racine 1 peut-elle être triple ?
. Alors, (sauf bien sûr si ).
Exercice 1-10
Soit un polynôme non constant tel que .
- En donner des exemples.
- Si est une racine de , montrer que ou est une racine n-ième de 1 pour un certain n.
- , , ou des produits de tels polynômes.
- Si alors pour toute racine de , est aussi racine de et ainsi, est racine de pour tout . Comme n'a qu'un nombre fini de racines, cela implique qu'il existe deux entiers tels que , d'où ou .
Exercice 1-11
Calculer .
et donc par récurrence, (l'une ou l'autre de ces deux formes pouvant être utilisée pour la récurrence).
Autre méthode : et les racines de sont les complexes tels que pour un certain . Cela équivaut à et , donc à et . Le polynôme unitaire dont les racines sont simples et sont les racines -ièmes de l'unité sauf 1 est .
Exercice 1-12
Soit . Calculer et en déduire une factorisation de .
.
et donc et ce polynôme a forcément une racine multiple car s'il avait trois racines simples, aurait trois racines doubles, ce qui est exclu vu son degré.
et donc , avec donc .
Puisque 3 est racine double et 2 racine simple de , 3 est racine triple et 2 racine double de , donc (comme est unitaire et de degré 5) .
Exercice 1-13
Trouver tel que les racines de vérifient . Résoudre alors la ou les équation(s) obtenue(s).
donc la seule solution est , et l'on peut alors choisir , ce qui donne .
Exercice 1-14
- Décomposer le polynôme en produit de deux polynômes du second degré sachant qu'il admet deux racines et telles que .
- Quelles sont les valeurs de et ?
- Donner la décomposition en facteurs irréductibles de dans .
- . En développant et en identifiant, on obtient un système de 4 équations en les 3 inconnues : , et . La solution (au demeurant unique) est , donc .
- .
- .