« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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<math>X^4+X^3+aX^2+3X+2=(X^2-\lambda X+\alpha)(X^2-\beta X+\lambda)\Leftrightarrow\beta=-\lambda-1,\alpha=\frac2\lambda,a=-\lambda^2+\frac2\lambda=1</math> donc la seule solution est <math>a=1</math>, et l'on peut alors choisir <math>\lambda=1</math>, ce qui donne <math>X^4+X^3+aX^2+3X+2=(X^2-X+2)(X^2+2X+1)=(X^2-X+2)(X+1)^2</math>.
<math>X^4+X^3+aX^2+3X+2=(X^2-\lambda X+\alpha)(X^2-\beta X+\lambda)\Leftrightarrow\beta=-\lambda-1,\alpha=\frac2\lambda,a=-\lambda^2+\frac2\lambda=1</math> donc la seule solution est <math>a=1</math>, et l'on peut alors choisir <math>\lambda=1</math>, ce qui donne <math>X^4+X^3+aX^2+3X+2=(X^2-X+2)(X^2+2X+1)=(X^2-X+2)(X+1)^2</math>.
}}

==Exercice 1-14==
#Décomposer le polynôme <math>P:=X^4+12X-5</math> en produit de deux polynômes du second degré sachant qu'il admet deux racines <math>a</math> et <math>b</math> telles que <math>a+b=2</math>.
#Quelles sont les valeurs de <math>a</math> et <math>b</math> ?
#Donner la décomposition en facteurs irréductibles de <math>P</math> dans <math>\R[X]</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>P=(X^2-2X+r)(X^2+pX+q)</math>. En développant et en identifiant, on obtient un système de 4 équations en les 3 inconnues <math>p,q,r</math> : <math>p-2=r-2p+q=0</math>, <math>pr-2q=12</math> et <math>rq=-5</math>. La solution (au demeurant unique) est <math>(p,q,r)=(2,-1,5)</math>, donc <math>P=(X^2-2X+5)(X^2+2X-1)</math>.
#<math>a,b=1\pm2\mathrm i</math>.
#<math>P=(X^2-2X+5)(X+1+\sqrt2)(X+1-\sqrt2)</math>.
}}
}}



Version du 1 juillet 2021 à 16:48

Racines de polynômes
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Polynôme
Chapitre du cours : Racines d’un polynôme

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Polynôme dérivé
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Polynôme/Exercices/Racines de polynômes
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Exercice 1-1

Trouver tous les polynômes tels que .

Exercice 1-2

Déterminer les polynômes tels que .

Exercice 1-3

Soit . Montrer que :

  1. a une unique racine réelle  ;
  2. .
  3. Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
  4. En déduire que .
  5. Calculer .

Exercice 1-4

Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .

descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Dix-septième problème de Hilbert ».

Exercice 1-5

Soient .

Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .

Exercice 1-6

Montrer que pour tout , est divisible par .

Montrer que pour tout , le polynôme est divisible par .

Exercice 1-7

Démontrer que pour tout ,

.

Indication : on fera intervenir un polynôme de degré ayant pour racines les nombres complexes pour , et l'on en déduira (à l'aide des polynômes de Tchebychev) un polynôme de degré ayant pour racines les . Une relation entre coefficients et racines de permettra de conclure.

Remarque : de façon équivalente, .

Exercice 1-8

Soit un polygone régulier de sommets inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que

.

Exercice 1-9

Le polynôme a-t-il une racine double ?

Exercice 1-10

Soit un polynôme non constant tel que .

  1. En donner des exemples.
  2. Si est une racine de , montrer que ou est une racine n-ième de 1 pour un certain n.

Exercice 1-11

Calculer .

Exercice 1-12

Soit . Calculer et en déduire une factorisation de .

Exercice 1-13

Trouver tel que les racines de vérifient . Résoudre alors la ou les équation(s) obtenue(s).

Exercice 1-14

  1. Décomposer le polynôme en produit de deux polynômes du second degré sachant qu'il admet deux racines et telles que .
  2. Quelles sont les valeurs de et  ?
  3. Donner la décomposition en facteurs irréductibles de dans .