« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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#<math>P(X)=X</math>, <math>P(X)=X^n-1</math>, ou des produits de tels polynômes. |
#<math>P(X)=X</math>, <math>P(X)=X^n-1</math>, ou des produits de tels polynômes. |
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#Si <math>P(X)\mid P(X^2)</math> alors pour toute racine <math>\alpha</math> de <math>P</math>, <math>\alpha^2</math> est aussi racine de <math>P</math> et ainsi, <math>\alpha^{2^k}</math> est racine de <math>P</math> pour tout <math>k\in\N</math>. Comme <math>P</math> n'a qu'un nombre fini de racines, cela implique qu'il existe deux entiers <math>i>j\ge0</math> tels que <math>\alpha^{2^i}=\alpha^{2^j}</math>, d'où <math>\alpha=0</math> ou <math>\alpha^{2^i-2^j}=1</math>. |
#Si <math>P(X)\mid P(X^2)</math> alors pour toute racine <math>\alpha</math> de <math>P</math>, <math>\alpha^2</math> est aussi racine de <math>P</math> et ainsi, <math>\alpha^{2^k}</math> est racine de <math>P</math> pour tout <math>k\in\N</math>. Comme <math>P</math> n'a qu'un nombre fini de racines, cela implique qu'il existe deux entiers <math>i>j\ge0</math> tels que <math>\alpha^{2^i}=\alpha^{2^j}</math>, d'où <math>\alpha=0</math> ou <math>\alpha^{2^i-2^j}=1</math>. |
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==Exercice 1-11== |
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Calculer <math>P_n(X):=(1+X)(1+X^2)(1+X^4)\dots(1+X^{2^n})</math>. |
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{{Solution|contenu= |
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<math>P_0(X)=1+X</math> et <math>P_{n+1}(X)=P_n(X)(1+X^{2^{n+1}})</math> donc par récurrence, <math>P_n(X)=1+X+X^2+X^3+\dots+X^{2^{n+1}-1}=\frac{X^{2^{n+1}}-1}{X-1}</math> (l'une ou l'autre de ces deux formes pouvant être utilisée pour la récurrence). |
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Autre méthode : <math>\deg(P_n)=1+2+2^2+\dots+2^n=2^{n+1}-1</math> et les <math>2^{n+1}-1</math> racines de <math>P_n</math> sont les complexes <math>z</math> tels que <math>z^{2^k}=-1</math> pour un certain <math>k\in\{0,1,\dots,n\}</math>. Cela équivaut à <math>\exists k\in\{0,1,\dots,n\}\quad z^{2^{k+1}}=1</math> et <math>z^{2^k}\ne1</math>, donc à <math>z\ne1</math> et <math>\exists j\in\{0,1,\dots,n\}\quad z^{2^{j+1}}=1</math>. Le polynôme unitaire dont les racines sont simples et sont les racines <math>2^{n+1}</math>-ièmes de l'unité sauf 1 est <math>\frac{X^{2^{n+1}}-1}{X-1}</math>. |
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Version du 17 juin 2021 à 12:28
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Soit une solution non nulle.
Soit une racine de . Alors :
- et ;
- D'après , tous les sont racines de donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
- D'après , est donc aussi nul ou de module 1 ;
- Par conséquent, donc aussi (d'après ) .
Finalement, les seules racines possibles de sont et .
Soit avec et . Alors, .
Les solutions sont donc : ou .
Exercice 1-2
Déterminer les polynômes tels que .
Puisque est premier avec , un polynôme est solution si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
De même, est solution de l'équation précédente si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
Et ainsi de suite. Finalement, est solution si et seulement si pour un tel que .
Les solutions sont donc les polynômes de la forme avec .
Exercice 1-3
Soit . Montrer que :
- a une unique racine réelle ;
- .
- Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
- En déduire que .
- Calculer .
- Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré (continue, et de limite en ) est strictement positive sur et strictement croissante sur . Elle s'annule donc exactement une fois.
- donc .
- De on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : et .
- donc , et .
- .
Exercice 1-4
Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .
On pourra chercher à factoriser dans sous la forme .
est a priori le produit dans d'un polynôme scindé et d'un polynôme unitaire à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors donc (puisque ) . Par conséquent, toutes les racines de sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que est le carré d'un polynôme . étant pour sa part de la forme avec , on obtient : , avec . En décomposant sous la forme avec , on conclut : .
Exercice 1-5
Soient .
Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .
Le reste de la division euclidienne de par est avec (puisque et sont racines doubles de ) :
- ;
- ;
- ;
- .
En résolvant le système, on en déduit :
- .
Le reste de la division euclidienne de par est donc :
- .
Exercice 1-6
Montrer que pour tout , est divisible par .
Il suffit de vérifier que (donc aussi ) est racine de ce polynôme.
.
(Ou par triple récurrence.)
Montrer que pour tout , le polynôme est divisible par .
Il suffit de vérifier que (donc aussi ) est racine double de .
- .
- .
Exercice 1-7
Démontrer que pour tout ,
- .
Indication : on fera intervenir un polynôme de degré ayant pour racines les nombres complexes pour , et l'on en déduira (à l'aide des polynômes de Tchebychev) un polynôme de degré ayant pour racines les . Une relation entre coefficients et racines de permettra de conclure.
Les pour sont racines de .
Autrement dit, pour () : , où .
Le -ième polynôme de Tchebychev est de degré , de coefficient dominant et de terme constant si est pair. est donc de degré , de coefficient dominant et de terme constant . Le produit de ses racines est bien égal à .
Remarque : de façon équivalente, .
- Pour une autre méthode, voir Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1#Exercice 10-6 question 2 (dans le cas particulier ).
- Pour d'autres formules de ce genre, voir Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Formules générales en relation avec les coefficients des polynômes minimaux trigonométriques.
Exercice 1-8
Soit un polygone régulier de sommets inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que
- .
Il s'agit de vérifier que , où .
Le polynôme est égal à donc .
Exercice 1-9
Le polynôme a-t-il une racine double ?
Non car les racines de sont et aucune des deux n'est racine de .
Exercice 1-10
Soit un polynôme non constant tel que .
- En donner des exemples.
- Si est une racine de , montrer que ou est une racine n-ième de 1 pour un certain n.
- , , ou des produits de tels polynômes.
- Si alors pour toute racine de , est aussi racine de et ainsi, est racine de pour tout . Comme n'a qu'un nombre fini de racines, cela implique qu'il existe deux entiers tels que , d'où ou .
Exercice 1-11
Calculer .
et donc par récurrence, (l'une ou l'autre de ces deux formes pouvant être utilisée pour la récurrence).
Autre méthode : et les racines de sont les complexes tels que pour un certain . Cela équivaut à et , donc à et . Le polynôme unitaire dont les racines sont simples et sont les racines -ièmes de l'unité sauf 1 est .