« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions
m →Exercice 4-2 : màj : masqué lien externe apparemment hors sujet : la cible a probablement changé |
→Exercice 4-3 : +exemple |
||
Ligne 50 : | Ligne 50 : | ||
}} |
}} |
||
Le polynôme <math>P(X):=X^3+X+1</math> est-il irréductible dans <math>\C[X]</math> ? dans <math>\R[X]</math> ? dans <math>\Q[X]</math> ? |
|||
{{Solution|contenu= |
|||
<math>P</math> est scindé dans <math>\C[X]</math>. Il a au moins une racine réelle. Il est irréductible dans <math>\Q[X]</math> car il est de degré 3 sans racine rationnelle car d'après le critère précédent, les seules éventuelles racines rationnelles sont <math>\pm1</math>, or <math>P(1)=3</math> et <math>P(-1)=-1</math>. |
|||
}} |
|||
{{Bas de page |
{{Bas de page |
||
| idfaculté = mathématiques |
| idfaculté = mathématiques |
Version du 14 juin 2021 à 07:27
Exercice 4-1
On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.
- D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
- car .
- Soit une racine non nulle d'un élément de . D'après la question 2, les pour sont aussi des racines d'éléments de et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc distincts tels que .
Exercice 4-2
Soient n entiers deux à deux distincts () et . Dans chacun des cas suivants, montrer que dans , le polynôme est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont .
- avec n impair ;
- ;
- .
Soient tels que avec, sans perte de généralité, unitaires et . Montrons que .
- et donc et . Par conséquent, avec (pour des raisons de degrés et de coefficients dominants) ou . Mais est impossible (on aurait donc pair). Donc et , si bien que .
- Par le même raisonnement, avec ou . Mais est impossible (on aurait , non unitaire). Donc et , si bien que .
- Par le même raisonnement, . En fait, car sur , puisque est unitaire et ne s'annule pas (car ), . Par conséquent, avec (puisque est unitaire et de degré ), ou . Mais est impossible ( n'est pas divisible par ) donc , si bien que .
(Inspiré de l'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf.)
Exercice 4-3
Soit un polynôme à coefficients entiers. Soit un racine rationnelle de , écrite sous forme irréductible. Montrer que et . En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.
donc :
- et
- .
Du fait que pgcd(p,q) = 1 et par le lemme de Gauss, on en déduit :
- est premier avec et divise , donc il divise .
De même :
- est premier avec et divise , donc il divise .
Si de plus , alors .
Le polynôme est-il irréductible dans ? dans ? dans ?
est scindé dans . Il a au moins une racine réelle. Il est irréductible dans car il est de degré 3 sans racine rationnelle car d'après le critère précédent, les seules éventuelles racines rationnelles sont , or et .