« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Contenu supprimé Contenu ajouté
m →‎Exercice 4-2 : màj : masqué lien externe apparemment hors sujet : la cible a probablement changé
→‎Exercice 4-3 : +exemple
Ligne 50 : Ligne 50 :
}}
}}


Le polynôme <math>P(X):=X^3+X+1</math> est-il irréductible dans <math>\C[X]</math> ? dans <math>\R[X]</math> ? dans <math>\Q[X]</math> ?
{{Solution|contenu=
<math>P</math> est scindé dans <math>\C[X]</math>. Il a au moins une racine réelle. Il est irréductible dans <math>\Q[X]</math> car il est de degré 3 sans racine rationnelle car d'après le critère précédent, les seules éventuelles racines rationnelles sont <math>\pm1</math>, or <math>P(1)=3</math> et <math>P(-1)=-1</math>.
}}
{{Bas de page
{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
| idfaculté = mathématiques

Version du 14 juin 2021 à 07:27

Polynômes à coefficients entiers
Image logo représentative de la faculté
Exercices no4
Leçon : Polynôme

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Arithmétique des polynômes
Exo suiv. :Sommaire
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Polynômes à coefficients entiers
Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 4-1

On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.

  1. Montrer que est fini.
  2. Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
  3. Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.

Exercice 4-2

Soient n entiers deux à deux distincts () et . Dans chacun des cas suivants, montrer que dans , le polynôme est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont .

  1. avec n impair ;
  2.  ;
  3. .

Exercice 4-3

Soit un polynôme à coefficients entiers. Soit un racine rationnelle de , écrite sous forme irréductible. Montrer que et . En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.

Le polynôme est-il irréductible dans  ? dans  ? dans  ?