« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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Le <math>m</math>-ième polynôme de Tchebychev <math>T_m</math> est de degré <math>m</math>, de coefficient dominant <math>2^{m-1}</math> et de terme constant <math>(-1)^{m/2}</math> si <math>m</math> est pair. <math>P</math> est donc de degré <math>2n</math>, de coefficient dominant <math>p_{2n}=2\times2^{2n-1}=4^n</math> et de terme constant <math>p_0=2(-1)^n+2(-1)^{n-1}+\dots+2(-1)+1=(-1)^n</math>. Le produit <math>\prod_{k=1}^{2n}\cos\frac{k\pi}{2n+1}</math> de ses racines est bien égal à <math>(-1)^{2n}\frac{p_0}{p_{2n}}=\frac1{(-4)^n}</math>.
Le <math>m</math>-ième polynôme de Tchebychev <math>T_m</math> est de degré <math>m</math>, de coefficient dominant <math>2^{m-1}</math> et de terme constant <math>(-1)^{m/2}</math> si <math>m</math> est pair. <math>P</math> est donc de degré <math>2n</math>, de coefficient dominant <math>p_{2n}=2\times2^{2n-1}=4^n</math> et de terme constant <math>p_0=2(-1)^n+2(-1)^{n-1}+\dots+2(-1)+1=(-1)^n</math>. Le produit <math>\prod_{k=1}^{2n}\cos\frac{k\pi}{2n+1}</math> de ses racines est bien égal à <math>(-1)^{2n}\frac{p_0}{p_{2n}}=\frac1{(-4)^n}</math>.
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Remarque : on en déduit immédiatement <math>\prod_{k=1}^n\cos\frac{k\pi}{2n+1}=\frac1{2^n}</math>.
*Pour une autre méthode, voir [[Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1#Exercice 10-6]] question 2 (dans le cas particulier <math>n=4</math>).
*Pour d'autres formules de ce genre, voir [[Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Formules générales en relation avec les coefficients des polynômes minimaux trigonométriques]].


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Version du 12 juin 2021 à 12:57

Racines de polynômes
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Polynôme
Chapitre du cours : Racines d’un polynôme

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Polynôme dérivé
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Polynôme/Exercices/Racines de polynômes
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 1-1

Trouver tous les polynômes tels que .

Exercice 1-2

Déterminer les polynômes tels que .

Exercice 1-3

Soit . Montrer que :

  1. a une unique racine réelle  ;
  2. .
  3. Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
  4. En déduire que .
  5. Calculer .

Exercice 1-4

Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .

descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Dix-septième problème de Hilbert ».

Exercice 1-5

Soient .

Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .

Exercice 1-6

Montrer que pour tout , le polynôme est divisible par .

Exercice 1-7

Démontrer que pour tout ,

.

Indication : on fera intervenir un polynôme de degré ayant pour racines les nombres complexes pour , et l'on en déduira (à l'aide des polynômes de Tchebychev) un polynôme de degré ayant pour racines les . Une relation entre coefficients et racines de permettra de conclure.

Remarque : on en déduit immédiatement .