« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions
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#Par le même raisonnement, <math>Q(a_i)=\pm1</math>. En fait, <math>Q(a_i)=1</math> car sur <math>\R</math>, puisque <math>Q</math> est unitaire et ne s'annule pas (car <math>QR=1+T^2>0</math>), <math>Q>0</math>. Par conséquent, <math>Q=1+TU</math> avec (puisque <math>Q</math> est unitaire et de degré <math>\le n</math>), <math>U=0</math> ou <math>1</math>. Mais <math>U=1</math> est impossible (<math>T^2+1</math> n'est pas divisible par <math>T+1</math>) donc <math>U=0</math>, si bien que <math>Q=1</math>. |
#Par le même raisonnement, <math>Q(a_i)=\pm1</math>. En fait, <math>Q(a_i)=1</math> car sur <math>\R</math>, puisque <math>Q</math> est unitaire et ne s'annule pas (car <math>QR=1+T^2>0</math>), <math>Q>0</math>. Par conséquent, <math>Q=1+TU</math> avec (puisque <math>Q</math> est unitaire et de degré <math>\le n</math>), <math>U=0</math> ou <math>1</math>. Mais <math>U=1</math> est impossible (<math>T^2+1</math> n'est pas divisible par <math>T+1</math>) donc <math>U=0</math>, si bien que <math>Q=1</math>. |
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(Inspiré de l'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf et de ce document : <nowiki>https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=2ahUKEwiIiejAiLjfAhWOyoUKHdPAA6AQFjABegQIARAB&url=https%3A%2F%2Fservices.artofproblemsolving.com%2Fdownload.php%3Fid%3DYXR0YWNobWVudHMvZC84L2VhZTZkNzZmODQ1MGI5ZTE5ODc4MDJhMDkwMmZhYmQzOGY2ZDQ4%26rn%3DMDlfNDNFTlNMIE5vcm1lcyBldCBLZXJmID0gS2VyZjIucGRm&usg=AOvVaw1Emxpjkzuk7vVe08delrXa</nowiki>.) |
(Inspiré de l'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf<!-- et de ce document : <nowiki>https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=2ahUKEwiIiejAiLjfAhWOyoUKHdPAA6AQFjABegQIARAB&url=https%3A%2F%2Fservices.artofproblemsolving.com%2Fdownload.php%3Fid%3DYXR0YWNobWVudHMvZC84L2VhZTZkNzZmODQ1MGI5ZTE5ODc4MDJhMDkwMmZhYmQzOGY2ZDQ4%26rn%3DMDlfNDNFTlNMIE5vcm1lcyBldCBLZXJmID0gS2VyZjIucGRm&usg=AOvVaw1Emxpjkzuk7vVe08delrXa</nowiki>-->.) |
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Version du 10 juin 2021 à 12:58
Exercice 4-1
On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.
- D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
- car .
- Soit une racine non nulle d'un élément de . D'après la question 2, les pour sont aussi des racines d'éléments de et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc distincts tels que .
Exercice 4-2
Soient n entiers deux à deux distincts () et . Dans chacun des cas suivants, montrer que dans , le polynôme est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont .
- avec n impair ;
- ;
- .
Soient tels que avec, sans perte de généralité, unitaires et . Montrons que .
- et donc et . Par conséquent, avec (pour des raisons de degrés et de coefficients dominants) ou . Mais est impossible (on aurait donc pair). Donc et , si bien que .
- Par le même raisonnement, avec ou . Mais est impossible (on aurait , non unitaire). Donc et , si bien que .
- Par le même raisonnement, . En fait, car sur , puisque est unitaire et ne s'annule pas (car ), . Par conséquent, avec (puisque est unitaire et de degré ), ou . Mais est impossible ( n'est pas divisible par ) donc , si bien que .
(Inspiré de l'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf.)
Exercice 4-3
Soit un polynôme à coefficients entiers. Soit un racine rationnelle de , écrite sous forme irréductible. Montrer que et . En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.
donc :
- et
- .
Du fait que pgcd(p,q) = 1 et par le lemme de Gauss, on en déduit :
- est premier avec et divise , donc il divise .
De même :
- est premier avec et divise , donc il divise .
Si de plus , alors .