« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions
transfert de 2 exos de ../Racines de polynômes |
→Exercice 4-2 : +1 |
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(Inspiré de l'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf et de ce document : <nowiki>https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=2ahUKEwiIiejAiLjfAhWOyoUKHdPAA6AQFjABegQIARAB&url=https%3A%2F%2Fservices.artofproblemsolving.com%2Fdownload.php%3Fid%3DYXR0YWNobWVudHMvZC84L2VhZTZkNzZmODQ1MGI5ZTE5ODc4MDJhMDkwMmZhYmQzOGY2ZDQ4%26rn%3DMDlfNDNFTlNMIE5vcm1lcyBldCBLZXJmID0gS2VyZjIucGRm&usg=AOvVaw1Emxpjkzuk7vVe08delrXa</nowiki>.) |
(Inspiré de l'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf et de ce document : <nowiki>https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=2ahUKEwiIiejAiLjfAhWOyoUKHdPAA6AQFjABegQIARAB&url=https%3A%2F%2Fservices.artofproblemsolving.com%2Fdownload.php%3Fid%3DYXR0YWNobWVudHMvZC84L2VhZTZkNzZmODQ1MGI5ZTE5ODc4MDJhMDkwMmZhYmQzOGY2ZDQ4%26rn%3DMDlfNDNFTlNMIE5vcm1lcyBldCBLZXJmID0gS2VyZjIucGRm&usg=AOvVaw1Emxpjkzuk7vVe08delrXa</nowiki>.) |
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==Exercice 4-3== |
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Soit <math>P=\sum_{i=0}^na_iX^i</math> un polynôme à coefficients entiers. Soit <math>\frac pq</math> un racine rationnelle de <math>P</math>, écrite sous forme irréductible. Montrer que <math>p\mid a_0</math> et <math>q\mid a_n</math>. En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière. |
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{{Solution|contenu= |
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<math>0=q^nP(p/q)=a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\dots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n</math> donc : |
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*<math>p\mid-p(a_np^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}q+\dots+a_1q^{n-1})=a_0q^n</math> et |
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*<math>q\mid-q(a_{n-1}p^{n-1}+\dots+a_1pq^{n-2}+a_0q^{n-1})=a_np^n</math>. |
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Du fait que pgcd(p,q) = 1 et par le [[Arithmétique/Théorèmes de Bézout et Gauss|lemme de Gauss]], on en déduit : |
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:<math>p</math> est premier avec <math>q^n</math> et divise <math>a_0q^n</math>, donc il divise <math>a_0</math>. |
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De même : |
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:<math>q</math> est premier avec <math>p^n</math> et divise <math>a_np^n</math>, donc il divise <math>a_n</math>. |
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Si de plus <math>a_n=1</math>, alors <math>q=1</math>. |
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Version du 10 juin 2021 à 12:13
Exercice 4-1
On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.
- D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
- car .
- Soit une racine non nulle d'un élément de . D'après la question 2, les pour sont aussi des racines d'éléments de et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc distincts tels que .
Exercice 4-2
Soient n entiers deux à deux distincts () et . Dans chacun des cas suivants, montrer que dans , le polynôme est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont .
- avec n impair ;
- ;
- .
Soient tels que avec, sans perte de généralité, unitaires et . Montrons que .
- et donc et . Par conséquent, avec (pour des raisons de degrés et de coefficients dominants) ou . Mais est impossible (on aurait donc pair). Donc et , si bien que .
- Par le même raisonnement, avec ou . Mais est impossible (on aurait , non unitaire). Donc et , si bien que .
- Par le même raisonnement, . En fait, car sur , puisque est unitaire et ne s'annule pas (car ), . Par conséquent, avec (puisque est unitaire et de degré ), ou . Mais est impossible ( n'est pas divisible par ) donc , si bien que .
(Inspiré de l'exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf et de ce document : https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=2ahUKEwiIiejAiLjfAhWOyoUKHdPAA6AQFjABegQIARAB&url=https%3A%2F%2Fservices.artofproblemsolving.com%2Fdownload.php%3Fid%3DYXR0YWNobWVudHMvZC84L2VhZTZkNzZmODQ1MGI5ZTE5ODc4MDJhMDkwMmZhYmQzOGY2ZDQ4%26rn%3DMDlfNDNFTlNMIE5vcm1lcyBldCBLZXJmID0gS2VyZjIucGRm&usg=AOvVaw1Emxpjkzuk7vVe08delrXa.)
Exercice 4-3
Soit un polynôme à coefficients entiers. Soit un racine rationnelle de , écrite sous forme irréductible. Montrer que et . En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.
donc :
- et
- .
Du fait que pgcd(p,q) = 1 et par le lemme de Gauss, on en déduit :
- est premier avec et divise , donc il divise .
De même :
- est premier avec et divise , donc il divise .
Si de plus , alors .