Recherche:Cardinal quantitatif

Cardinal quantitatif

Travaux de recherche en mathématiques

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Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini.

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Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

• https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-200/
• https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/
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• Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Cardinal quantitatif sur ${\mathbb {R} }^{n}$ et sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$

Introduction

Partie principale

J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.

En particulier, je désignerai par :

• PV (comme « petite variété ») les sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe ($C^{0}$) et ($C^{1}$ par morceaux),

et

• PV2 (comme « petite variété 2 ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes, (connexes) de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe ($C^{0}$) et ($C^{1}$ par morceaux) ou sans bord,

et on posera :

${PV}(\mathbb {R} ^{n})=\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big |}\,\,A\,\,sous{\mbox{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{n},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}$;

et ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})=\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big |}\,\,A\,\,sous{\mbox{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,ferm{\acute {e}}e,\,\,non\,\,born{\acute {e}}e,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{n},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,ou\,\,sans\,\,bord\}$

• La notion de "cardinal quantitatif" (CQ) est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$. C'est une mesure définie sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, qui ne néglige aucun point et pour laquelle le nombre ou la quantité d'éléments d'un singleton vaut $1$ et qui s'exprime en fonction des mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$, sur $\mathbb {R} ^{n}$. C'est une notion qui conserve le caractère intuitif que l'on a déjà de la notion de cardinal (de Cantor) dans le cas des ensembles finis, dans le cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins dans le cas des ensembles infinis de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$) c-à-d qui vérifie le principe du tout et de la partie : "Le tout est nécessairement strictement plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ et de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). Par opposition à la notion de cardinal de Cantor c-à-d la notion usuelle de cardinal (1 et Autre lien 2), que j'appelle "cardinal équipotentiel", et qui est définie pour toutes les parties de $\mathbb {R} ^{n}$ et qui est la notion optimale de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le principe du tout et de la partie. Donc la notion de "cardinal quantitatif" se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal équipotentiel" c-à-d que celle de cardinal (de Cantor). Les notions de CQ et de "cardinal équipotentiel" se confondent, dans le cas des parties finies.

Cette notion est définie sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$. Le problème se pose, en dehors de $PV(\mathbb {R} ^{n})$, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements à l'infini" [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Peut-être qu'on peut généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées et aux parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$.

Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ c-à-d si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de $\mathbb {R} ^{n}$ (sous réserve de compatibilité des axiomes de définition et de non-contradiction), on doit abandonner l'axiome de la $\sigma$-additivité, du moins avec la théorie classique, mais on peut le récupérer, avec une théorie non classique (avec des changements minimes par rapport à la théorie classique) et considérer que la notion de CQ, dans le cas des parties non bornées n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{n}$, et au plafonnement sphérique ou autre, à l'infini, associé, que l'on s'est fixé.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de $\mathbb {R} ^{n}$ et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "demi-droites", puisque dans notre cadre, toutes les "demi-droites" n'ont pas toutes la même longueur, du fait même de l'existence d'un "plafonnement à l'infini", et que certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement".

Entre autre, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, voire à celles de ${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$ [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le nouvel espace ${\mathbb {R} ''}$, qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace $*\mathbb {R}$ de l'analyse non standard. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres $+\infty _{f}$ où $f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )$, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble $\mathbb {R} ''$ par : $\displaystyle {\mathbb {R} ''=-\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}\bigcup \mathbb {R} \bigcup +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}=\{-\infty _{f}|f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{+\infty _{f}|f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )\}}$.

NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que Cantor.

La notion de cardinal quantitatif (ou au sens de la quantité) est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ (Cf. interventions de Michel COSTE), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.

La notion de cardinal (de Cantor) est valable pour toutes les parties de $\mathbb {R} ^{n}$, alors que concernant la notion de cardinal quantitatif, on ne sait pas, pour le moment, aller au delà des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies.

Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : (voir supra)

(Historiquement, avant Cantor, la notion de "cardinal" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis Cantor, cela n'est plus vrai, il désigne l'équipotence. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion d'équipotence et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal équipotentiel", pour les distinguer.

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de "cardinal quantitatif" n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal".

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal" uniquement à la notion d'équipotence qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : "quantité d'éléments d'un ensemble".)

Voici des extraits du livre de Berger2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): (voir supra)

Quant à l'extrait de livre de Jean Dieudonné : (voir supra)

Je pense que les notions de quantité d'éléments et d'équipotence doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien $[-1,1]\subsetneq [-2,2]$ et $[-1,1]$ peut être mis en bijection avec $[-2,2]$

et on a $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q}([-2,2])-1}{{card}_{Q}([-1,1])-1}}=2}$ et ${card}_{Q}([-1,1])<{card}_{Q}([-2,2])$

alors qu'on a ${card}_{E}([-2,2])={card}_{E}([-1,1])$,

où ${card}_{Q}(A)$ désigne le cardinal quantitatif de l'ensemble $A$, sous certaines conditions sur l'ensemble $A$

et ${card}_{E}(A)$ désigne le cardinal équipotentiel de l'ensemble $A$, c-à-d le cardinal de Cantor ou le cardinal classique de l'ensemble $A$.

La notion de cardinal quantitatif (ou au sens de la quantité) présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

Je pense qu'on peut comparer, entre eux, les cardinaux quantitatif (ou au sens de la quantité) de parties bornées quelconques de $\mathbb {R} ^{n}$ ayant une décomposition en un nombre fini de sous-variétés ouvertes, bornées, simplement connexes et/ou (?) connexes, de classe $C^{0}$, et de dimension $i\,\,(1\leq i\leq n)$, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons ;

Décomposition d'une partie bornée de $\mathbb {R} ^{2}$ (voir infra)

Exemples 2 ("Suite 1 CQ de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ (26)") (voir infra)

Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre eux, les cardinaux quantitatif (ou au sens de la quantité), des parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés comme détaillé ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre eux, ceux des parties bornées quelconques et même ceux de parties non bornées quelconques de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ (respectivement de $\mathbb {R} ^{n}$), ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable ».

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.

Les mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff de dimension $i$ dans $\mathbb {R} ^{n}$, ${vol}^{i}$

(Le cas $i=0$ étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de Hausdorff"

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demange/integration/2013/poly_integration_mai2013.pdf

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de Hausdorff

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.1 Mesures de Hausdorff/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.3 Définition alternative de la mesure de Lebesgue/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de $\mathbb {R} ^{d}$ /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées),

sont telles que si $i\in \mathbb {N} _{n}^{*}$, elles négligent chacune, respectivement, des points isolés, respectivement, des points isolés et des points de courbes, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension $3$, …, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension $3$, …, et des points d'espaces de dimension $n-1$.

La "mesure" cardinal quantitatif qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$, dans $\mathbb {R} ^{n}$, ${\widetilde {vol^{i}}}$, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" de Lebesgue généralisée ou la mesure de Hausdorff de dimension $0$, ${\widetilde {vol^{0}}}$.

Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal équipotentiel "${card}_{E}$" ou "${card}$" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et le cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé ${\mathcal {R}}$ de $\mathbb {R} ^{2}$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$", sachant que la référence à un repère orthonormé ${\mathcal {R}}$, n'est utile que pour les parties non bornées de $\mathbb {R} ^{2}$ (ou de $\mathbb {R} ^{n}$, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de $\mathbb {R} ^{2}$ (ou de $\mathbb {R} ^{n}$, de manière générale), on peut noter le cardinal quantitatif : "${card}_{Q}$".

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{2}$, d'origine $O$.

Nous désignons le CQ d'une partie $A$ de $\mathbb {R} ^{2}$ par $card_{Q,{\cal {R}}}(A)$ et son cardinal équipotentiel" par $card_{E}(A)$.

On a :

$card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {N} _{n})<card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times 3\mathbb {N} )$

$<card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\{O\}\times (3\mathbb {N} \bigcup \{1,2\}){\Big )}<card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {N} )<card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {Z} )<card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {Q} )$

$<card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times ]-1,1[)<{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times [-1,1])<{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times [-2,2])$

$=card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\{O\}\times ([-2,2]+1){\Big )}<card_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}\{O\}\times {\Big (}([-2,2]+1)\bigcup \{4\}{\Big )}{\bigg )}<card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\{O\}\times (\mathbb {R} \setminus [-2,2]){\Big )}$

$<{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\{O\}\times (\mathbb {R} \setminus [-1,1]){\Big )}<card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {R} ^{*})<card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {R} )$

$<{card}_{Q,{\cal {R}}}([-1,1]\times [-1,1])<{card}_{Q,{\cal {R}}}([-2,2]\times [-2,2])<{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{2})$

alors que :

${card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {N} _{n})<{card}_{E}(\{O\}\times 3\mathbb {N} )$

$={card}_{E}{\Big (}\{O\}\times (3\mathbb {N} \bigcup \{1,2\}){\Big )}={card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {N} )={card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {Z} )={card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {Q} )$

$<{card}_{E}(\{O\}\times ]-1,1[)={card}_{E}(\{O\}\times [-1,1])={card}_{E}(\{O\}\times [-2,2])$

$=card_{E}{\Big (}\{O\}\times ([-2,2]+1){\Big )}=card_{E}{\bigg (}\{O\}\times {\Big (}([-2,2]+1)\bigcup \{4\}{\Big )}{\bigg )}={card}_{E}{\Big (}\{O\}\times (\mathbb {R} \setminus [-2,2]){\Big )}$

$={card}_{E}{\Big (}\{O\}\times (\mathbb {R} \setminus [-1,1]){\Big )}={card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {R} ^{*})={card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {R} )$

$={card}_{E}([-1,1]\times [-1,1])={card}_{E}([-2,2]\times [-2,2])=card_{E}(\mathbb {R} ^{2})$

Applications :

1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est plus gros que l'autre et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le plus gros disque dur cubique aura une plus grande capacité de stockage que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (équipotence).

2) Dans une bouteille de $2L$, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'$1L$.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de cardinal au sens de la quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

Le cardinal quantitatif (ou au sens de la quantité) mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de quantité est plus fine que celle d'équipotence qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.

Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les cardinaux quantitatifs (ou au sens de la quantité), de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.

Restera à généraliser cette notion aux parties de ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$, ${\mathcal {P}}{\Big (}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, etc..., et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

La notion de "volume" ou de "mesure" de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$ sur $\mathbb {R} ^{n}$, le fait que $\mathbb {R} ^{n}$ soit un espace vectoriel topologique (éventuellement normé), le fait que $\mathbb {R}$ soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de cardinal, au sens de la quantité sur $\mathbb {R} ^{n}$ :

Comment généraliser ces notions, ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui ne dépendent que des ${(\mathbb {R} ^{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ ?

Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux

Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les axiomes de définition du cardinal quantitatif en précisant rigoureusement pour chacun leurs domaines d'applications respectifs, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a tous les axiomes de définition dont on a besoin sur le domaine ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de Steiner-Minkowski, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule du cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur le Cardinal quantitatif sont beaucoup plus secs que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur le Cardinal quantitatif et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors cardinal quantitatif et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.

Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}$ est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, encore que, pourvu que la conjecture que j'ai émise soit bonne.

Liens

N'oubliez pas de consulter : http://www.philo-et-societe-2-0.com/

REMARQUE : On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :

L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous émet des publicités intempestives voire agressives.

• http://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" version 4
• http://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" version 3
• http://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" version 2
• http://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" version 1.

En plus des dangers de l'hébergeur PDF (cf. supra), les scans de pages de livres constituent une violation du copyright.

Voici des extraits du livre de Berger2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" :

• http://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/berger1/
• http://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/berger2/

Quant à l'extrait de livre suivant, d'après Michel COSTE, il provient de Jean Dieudonné :

• http://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/

Voici des liens Wikipedia :

• Volume mixte (en anglais)
• Théorème de Hadwiger (en anglais)
• Formule de Steiner-Minkowski

Voici des liens intéressants en français :

• https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et théorème d’Hadwiger
• https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER

Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :

• http://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf

La notion de CQ sur $\mathbb {R} ^{n}$ est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.

Remarques secondaires

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" versions 1-2-3-4, qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule du CQ concernant les parties bornées de $\mathbb {R} ''^{n}$, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

Je sais que si des suites de polytopes de $\mathbb {R} ^{n}$, de dimension $n$ (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de $\mathbb {R} ^{n}$, de dimension $n$), convergent vers une PV de dimension $n$, alors les suites constituées des CQ des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers le CQ de cette PV.

(Cf. articles informels de vulgarisation de Michel COSTE que j'ai donnés (voir supra)

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la notion optimale de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que le cardinal quantitatif de tout singleton de $\mathbb {R} ^{n}$ vaut $1$.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de Steiner-Minkowski qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de CQ en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.

Conjecture :

"Toute partie non convexe, connexe, de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$,

donc toute partie non convexe, de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$,

donc toute partie de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$."

Il est mentionné quelque part que la formule de Steiner-Minkowski s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements à l'infini".

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre le CQ et la formule de Steiner-Minkowski, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de Hadwiger, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de Brunn-Minkowski et la formule de Pick et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.

Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre le CQ aux "seules" parties de $\mathbb {R} ^{n}$.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.

Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les CQ, au moins, des PV de $\mathbb {R} ^{n}$, de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$.

Partie déjà établie et connue : Cardinal quantitatif défini sur ${PV}({\mathbb {R} }^{n})$

Préliminaires

Définition de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$

${PV}(\mathbb {R} ^{n})$

$={\Big \{}{A}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big |}\,\,{A}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{n},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux){\Big \}}$

Construction et définition

Définition du cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ (axiomes de définition généraux dans le cas des parties de ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ + axiomes de définition dans le cas des parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ et en particulier dans le cas des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$)

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$, d'origine $O$.

${{card}_{Q,{\cal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} }^{n})\longrightarrow (F,+,\times ,\leq )$

où $(F,+,\times ,\leq )$ est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec $F=\mathbb {R} _{n}[{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(I)]$, où $I$ est un intervalle borné de $\mathbb {R}$, par exemple $I=[0;1[$.

On peut cependant dire au moins à ce stade que :

$\displaystyle {{{card}_{Q,{\cal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} }^{n})\longrightarrow \mathbb {N} \bigcup +\infty }$,

où, de manière non classique, on considère : "$+\infty$" comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Elle doit, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur le CQ) :

0) Dans un cadre plus général que celui de cette définition où l'on considère la restriction de l'application ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ à l'ensemble $\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}$, on impose que :

$\forall {\mathcal {R}},{\mathcal {R}}'$ repères orthonormés de $\mathbb {R} ^{n},\,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}'}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}}$

On pose donc : $\forall {\mathcal {R}}$ repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n},\,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}}={\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}$ et donc $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|PV(\mathbb {R} ^{n})}={\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}={\widetilde {{card}_{Q}}}}$.

1) Dans un cadre plus général que celui de cette définition où l'on considère l'application ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ sur l'ensemble ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$, on impose que :

[a) $\forall A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$, $card_{Q,{\cal {R}}}(A)\geq 0$]

b) $card_{Q,{\cal {R}}}(\emptyset )=0$

c) $\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x\})=1$

2) Dans un cadre plus général que celui de cette définition où l'on considère l'application ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ sur l'ensemble ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$, on impose que :

$\forall A,B\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\bigcup B)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\bigcap B)}$

3)

$\displaystyle {\forall {(x_{m})}_{m\in \mathbb {N} }\subset {\mathbb {R} },\,\,({\acute {e}}ventuellement\,\,convergente),\,\,\lim _{m\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,x_{m}])={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,\lim _{m\rightarrow +\infty }x_{m}])}$

4) Dans un cadre plus général que celui de cette définition où l'on considère la restriction de l'application ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ à l'ensemble $\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}$, on impose que :

Soient $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ un repère orthonormé de ${\mathbb {R} }^{i}$ d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$.

$\forall k\in \mathbb {N} _{n-1},$

$\displaystyle {\forall A\in \{A'\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n-k})\,\,|\,\,A'\,\,born{\acute {e}}e\}}$, $\displaystyle {\forall B\in \{B'\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{k})\,\,|\,\,B'\,\,born{\acute {e}}e\}}$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A\times \prod _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}\{0\})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in \mathbb {N} _{n-k}^{*}}\{0\}\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{k}}(B)}$

@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine du repère orthonormé direct ${\cal {R}}$.@

5)

A)

a) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}$, $I\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,I\,\,born{\acute {e}}e$

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{is}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$, pour toutes les isométries de $\mathbb {R} ^{n}$, $is$

En particulier :

a1) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}$, $I\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,I\,\,born{\acute {e}}e$,

$\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(I+x)={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$

a2) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}$, $I\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,I\,\,born{\acute {e}}e$,

$\displaystyle {\forall M\in \mathbb {R} ^{n}}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2k\pi ;\,\,k\in \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(M,\theta _{n})}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$

Si les axiomes donnés dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les axiomes donnés dans 3) B).

B)

a) $\forall A\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,A\,\,born{\acute {e}}e$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{is}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$, pour toutes les isométries de $\mathbb {R} ^{n}$, $is$

En particulier :

a1) $\forall A\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,A\,\,born{\acute {e}}e$,

$\displaystyle {\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(A+x)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}$

a2) $\forall A\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,A\,\,born{\acute {e}}e$,

$\forall M\in \mathbb {R} ^{n}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2k\pi ;\,\,k\in \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(M,\theta _{n})}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$

Remarques sur la définition

On verra que ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ est définie et donnée sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, par une formule exprimant ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ en fonction de ${({vol}^{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}$ (ou de ${({vol}^{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$, si on considère ${vol}^{0}$, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties dénombrables de $\mathbb {R} ^{n}$) et qui est donnée par Michel Coste,

dans La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

ou dans : Théorème ($\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$, $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$ et formule donnant le cardinal quantitatif de $A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ (et, en particulier, de $A_{N}=A_{N}^{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$), en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$)

ou dans les propositions suivantes : Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE (voir infra)' et Proposition (voir infra)

Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$.

Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné $(F,+,\times ,\leq )$, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$, mais j'aurais pu l'appeler ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des axiomes de définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ et de ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ est l'ensemble $\displaystyle {\mathbb {N} \bigcup +\infty }$, où $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":

Dans le cas des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, Michel Coste a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie du cardinal quantitatif, mais moi je crois qu'on peut construire ${card}_{Q,{\cal {R}}}$, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$, dans la théorie classique, mais que ce le sera dans la nouvelle théorie, quitte à introduire la nouvelle notation (excluant l'ancienne) et la nouvelle notion de "plafonnement à l'infini" $''[A,{(A_{i})}_{i\in I}]''$ où $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ et ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

Propriétés immédiates découlant des axiomes de définition du cardinal quantitatif sur ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$, $\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}$ et ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres axiomes de définition du cardinal quantitatif, en particulier que :

$\forall I\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n}),\,\,{card}_{E}(I)\leq \aleph _{0},\,\,\forall (A_{i})_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$,

$\forall i,j\in I,\,\,i\neq j,\,\,A_{i}\bigcap A_{j}=\emptyset$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}=\sum _{i\in I}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})$

La $\sigma$-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, avec la notation classique de la notion de limite de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$ ayant pour limite une partie $A$ non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$, dans la théorie classique, elle l'est si ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ et $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, moyennant une nouvelle notation de la notion de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ ayant pour limite une partie $A$ non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$, dans la nouvelle théorie, (excluant l'ancienne notation), c-à-d l'introduction de la notion de plafonnement à l'infini.

En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :

a) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,B\in {\mathcal {P}}(A)$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\setminus B)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}$

b) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,A\in {\mathcal {P}}(B),\,\,A\neq B$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}$

Il découle, en particulier, de 4), que :

Si $I,{(I_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ sont des parties de ${PV}(\mathbb {R} )$ (résultats généralisables aux intervalles bornés de $\mathbb {R}$, moyennant un prolongement du domaine de définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$), alors :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I_{i})=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(I_{i}\times \prod _{j\in \mathbb {N} _{n-1}^{*}}\{0\})=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I_{i})}$

et donc en particulier

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(I^{n})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(I^{n})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I)=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(I\times \prod _{j\in \mathbb {N} _{n-1}^{*}}\{0\})=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I)={{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I){\Big )}}^{n}={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{n}(I)}$

Le cardinal quantitatif est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, qui ne néglige aucun point de $\mathbb {R} ^{n}$ et qui est uniforme ($\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x\})=1$).

Proposition :

Soit ${\widetilde {E}}\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

Si $\forall x\in {\widetilde {E}},\,\,A_{x}\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ et $\forall x,y\in {\widetilde {E}},\,\,x\neq y,\,\,A_{x}\bigcap A_{y}=\emptyset$ et $A=\bigcup _{x\in {\widetilde {E}}}A_{x}$

alors ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{x\in {\widetilde {E}}}A_{x}{\Big )}=\int _{\widetilde {E}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{x})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(x)$

(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ et les "plafonnements à l'infini", mais sans nécessairement considérer ${\widetilde {E}}\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou ${\widetilde {E}}\in \{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}$)

Existence et résultats sur les intervalles $I$, bornés, de $\mathbb {R}$, et en particulier, sur les parties de ${PV}(\mathbb {R} )$

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R}$, d'origine $O$.

Préliminaires :

Notations

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $A\in {\cal {P}}(E)$.

${\stackrel {\circ }{A}}^{E}$ est l'intérieur de $A$ dans |par rapport à $E$ (on note aussi ${\stackrel {\circ }{A}}$).

${\overline {A}}^{E}$ est l'adhérence de $A$ dans |par rapport à $E$ (on note aussi ${\overline {A}}$).

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,{vol}^{i,n}}$ désigne la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $i$, dans $\mathbb {R} ^{n}$, de tribu de départ $\displaystyle {{\cal {A}}_{i,n}=\{A_{i,n}\in {\cal {B}}(\mathbb {R} ^{n})|{dim}(A_{i,n})=i\}\bigcup \{\emptyset \}}$.

On note aussi parfois ${vol}^{i,n}$ : ${vol}^{i}$, et la suite le justifiera.

$\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,{vol}^{0,n}}$ désigne la mesure de Lebesgue ou de Hausdorff, de dimension $0$, sur $\mathbb {R} ^{n}$, c'est-à-dire la mesure de comptage sur $\mathbb {R} ^{n}$ , de tribu de départ $\displaystyle {{\cal {A}}_{0,n}=\{A_{0,n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})|{dim}(A_{0,n})=0\}\bigcup \{\emptyset \}=\{A_{0,n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})|{card}_{E}(A_{0,n})\leq \aleph _{0}\}}$.

On note aussi parfois ${vol}^{0,n}$ : ${vol}^{0}$, et la suite le justifiera.

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}$, notée, encore, ${vol}^{i}$, désigne le prolongement de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $i$, sur $\displaystyle {\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}\mathbb {R} ^{n}}$, de tribu de départ $\displaystyle {{\cal {A}}_{i}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\cal {A}}_{i,n}}$ telle que $\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}_{|{\cal {A}}_{i,n}}={vol}^{i,n}$.

et telle que $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,A_{i,n}\in {\cal {A}}_{i,n},\,\,A_{i}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},n\geq i}A_{i,n},\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}(A_{i})={\widetilde {{vol}^{i}}}(\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}A_{i,n})=\sum _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\widetilde {{vol}^{i}}}(A_{i,n})}$.

Par exemple pour $N=3$ et $i=1$ :

$\displaystyle {{\cal {A}}_{1,1}=\{A_{1,1}\in {\cal {B}}(\mathbb {R} )|{dim}(A_{1,1})=1\}\bigcup \{\emptyset \}}$

$\displaystyle {{\cal {A}}_{1,2}=\{A_{1,2}\in {\cal {B}}(\mathbb {R} ^{2})|{dim}(A_{1,2})=1\}\bigcup \{\emptyset \}}$

$\displaystyle {{\cal {A}}_{1,3}=\{A_{1,3}\in {\cal {B}}(\mathbb {R} ^{3})|{dim}(A_{1,3})=1\}\bigcup \{\emptyset \}}$

$\displaystyle {{\cal {A}}_{1}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{3}^{*},\,\,n\geq 1}{\cal {A}}_{1,n}}$ telle que $\forall n\in \mathbb {N} _{3}^{*},\,\,n\geq 1,\,\,{\widetilde {{vol}^{1}}}_{|{\cal {A}}_{1,n}}={vol}^{1,n}$

c-à-d $\displaystyle {{\cal {A}}_{1}={\cal {A}}_{1,1}\bigcup {\cal {A}}_{1,2}\bigcup {\cal {A}}_{1,3}}$ telle que

${\widetilde {{vol}^{1}}}_{|{\cal {A}}_{1,1}}={vol}^{1,1}$

${\widetilde {{vol}^{1}}}_{|{\cal {A}}_{1,2}}={vol}^{1,2}$

${\widetilde {{vol}^{1}}}_{|{\cal {A}}_{1,3}}={vol}^{1,3}$

Soit $A_{1}\in {\cal {A}}_{1}$,

$\exists A_{1,1}\in {\cal {A}}_{1,1}$

$\exists A_{1,2}\in {\cal {A}}_{1,2}$

$\exists A_{1,3}\in {\cal {A}}_{1,3}$

telles que $\displaystyle {A_{1}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{3}^{*},n\geq 1}A_{1,n}=A_{1,1}\bigcup A_{1,2}\bigcup A_{1,3}}$

On a : $\displaystyle {{\widetilde {{vol}^{1}}}(A_{1})={\widetilde {{vol}^{1}}}(\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{3}^{*},\,\,n\geq 1}A_{1,n})=\sum _{n\in \mathbb {N} _{3}^{*},\,\,n\geq 1}{\widetilde {{vol}^{1}}}(A_{1,n})}$

c-à-d $\displaystyle {{\widetilde {{vol}^{1}}}(A_{1})={\widetilde {{vol}^{1}}}{\Big (}A_{1,1}\bigcup A_{1,2}\bigcup A_{1,3}{\Big )}={\widetilde {{vol}^{1}}}(A_{1,1})+{\widetilde {{vol}^{1}}}(A_{1,2})+{\widetilde {{vol}^{1}}}(A_{1,3})}$

Remarque

Remarque : J'hésite à omettre la notation "${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$" concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$.

Soient $I$ et $J$, deux intervalles bornés de $\mathbb {R}$, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de ${\overline {I}}$ et ${\overline {J}}$ ou de ${\stackrel {\circ }{I}}$ et ${\stackrel {\circ }{J}}$ existent et sont notés $i_{0}$ et $j_{0}$, alors on remarque que :

1)

$\displaystyle {\forall x_{0}\in \mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x_{0}\})={vol}^{0}(\{x_{0}\})=1}$

$\displaystyle {{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(J)\Longleftrightarrow {card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})\,\,et\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})}$

En effet $\displaystyle {\forall I,J\,\,intervalle\,\,born{\acute {e}}\,\,de\,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(J),\,\,\exists a_{I,J}\in \mathbb {R} ,\,\,{\overline {J}}={\overline {I}}+a_{I,J}\,\,et\,\,{\stackrel {\circ }{J}}={\stackrel {\circ }{I}}+a_{I,J}}$

2)

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus \{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus \{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big (}{\stackrel {\circ }{I}}\bigcup ({\overline {I}}\setminus {\stackrel {\circ }{I}}){\Big )}\setminus \{i_{0}\}{\bigg )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big (}{\stackrel {\circ }{J}}\bigcup ({\overline {J}}\setminus {\stackrel {\circ }{J}}){\Big )}\setminus \{j_{0}\}{\bigg )}}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\stackrel {\circ }{I}}\bigcup ({\overline {I}}\setminus {\stackrel {\circ }{I}}){\Big )}-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\stackrel {\circ }{J}}\bigcup ({\overline {J}}\setminus {\stackrel {\circ }{J}}){\Big )}-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus {\stackrel {\circ }{I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus {\stackrel {\circ }{J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{\displaystyle {\inf _{i\in I}i,\sup _{i\in I}i}\})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{\displaystyle {\inf _{j\in J}j,\sup _{j\in J}j}\})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+2-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+2-1}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}$

Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE)

Remarque : J'hésite à omettre la notation "${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$" concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$.

Soient $I$ et $J$, deux intervalles bornés de $\mathbb {R}$, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de ${\overline {I}}$ et ${\overline {J}}$ ou de ${\stackrel {\circ }{I}}$ et ${\stackrel {\circ }{J}}$ existent et sont notés $i_{0}$ et $j_{0}$, alors a :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus \{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus \{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}={\frac {vol^{1}(I)}{vol^{1}(J)}}$

Démonstration :

Si on suppose que $I$ et $J$ sont bornés dans $\mathbb {R}$, sans s'assimiler à des "demi-droites" de $\mathbb {R}$, alors :

On pose :

$\displaystyle {K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}=]0,{vol}^{1}({\stackrel {\circ }{I}})[}$, $\displaystyle {K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}=]0,{vol}^{1}({\stackrel {\circ }{J}})[}$

$\displaystyle {K_{0,{\overline {I}}}=[0,{vol}^{1}({\overline {I}})]}$, $\displaystyle {K_{0,{\overline {J}}}=[0,{vol}^{1}({\overline {J}})]}$

On a :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})+1}{{card}_{Q}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}{{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}}}$

En effet,on a (proposition):

Si $s=k\in \mathbb {N}$ :

$\displaystyle {[0,kp[=\bigcup _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}[(i-1)p,ip[\,\,{\mbox{et}}\,\,\bigcap _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}[(i-1)p,ip[=\emptyset }$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([(i-1)p,ip[)}$

or $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[)={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)}$

car $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{vol}^{1}(](i-1)p,ip[)={vol}^{1}(]0,p[)}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[)+1={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{(i-1)p\})={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[\bigcup \{(i-1)p\})={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[\bigcup \{0\})}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([(i-1)p,ip[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$

donc comme $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([(i-1)p,ip[)}$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$,

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,kp[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[\setminus \{0\})={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)-1=k\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)-1}$

$\displaystyle {=k\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[\bigcup \{0\}){\Big )}-1=k\,\,({card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\}){\Big )}-1=k\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1{\Big )}-1}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1}}=k}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1}}={\frac {{vol}^{1}(]0,kp[)}{{vol}^{1}(]0,p[)}}}$

Remarque : On montre facilement le résultat pour $s\in \mathbb {Q}$ et $s\in \mathbb {R}$

or $\displaystyle {{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}$, $\displaystyle {{vol}(J)={vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}}})}$, $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}}})}$

or ${\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}}}=K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}$, ${\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}}}=K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}$, $\displaystyle {card({\stackrel {\circ }{J}})={card}_{Q,{\cal {R}}}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}$

or $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})+1}{{card}_{Q}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}{{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}}}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(I)}{{vol}^{1}(J)}}}$

or $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(I)}{{vol}^{1}(J)}}}$

Existence et résultats généraux concernant le cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

Définition (dimension d'une partie ou d'une sous-variété de $\mathbb {R} ^{N}$)

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $M\in \mathbb {N} _{N}$.

Soit $A_{N}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\setminus \{\emptyset \}$.

Alors ${dim}(A_{N})=M\,\,\iff _{d{\acute {e}}f}\,\,{vol}^{M}(A_{N})\,\,existe$

et ${dim}(\emptyset )=+\infty$.

Définitions de ${{\cal {P}}olytope}(\mathbb {R} ^{N})$ et de ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$

1) ${{\cal {P}}olytope}(\mathbb {R} ^{N})$

$={\Big \{}{P^{N}}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{P^{N}}\,\,polytope\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,(c{\mbox{-}}{\grave {a}}{\mbox{-}}d\,\,poly{\grave {e}}dre\,\,compact,\,\,convexe,\,\,[connexe]\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N}){\Big \}}$.

2) ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$

$={\Big \{}{A^{N}}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{A^{N}}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux){\Big \}}$

Définitions de ${{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$ et de ${PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$.

1) ${{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$

$\displaystyle {={\Big \{}{P_{i}^{N}}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{P_{i}^{N}}\,\,polytope\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,(c{\mbox{-}}{\grave {a}}{\mbox{-}}d\,\,poly{\grave {e}}dre\,\,compact,\,\,convexe,\,\,[connexe]\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N})\,\,et\,\,telle\,\,que\,\,{dim}({P_{i}^{N}})=i{\Big \}}\bigcup \{\emptyset \}}$.

$\displaystyle {={\Big \{}{P_{i}^{N}}\in {{\cal {P}}olytope}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{dim}({P_{i}^{N}})=i{\Big \}}\bigcup \{\emptyset \}}$.

2) ${PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$

$\displaystyle {={\Big \{}{A_{i}^{N}}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{A_{i}^{N}}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux)}$

$\displaystyle {et\,\,telle\,\,que\,\,{dim}({A_{i}^{N}})=i{\Big \}}\bigcup \{\emptyset \}}$

$\displaystyle {={\Big \{}{A_{i}^{N}}\in {PV}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{dim}({A_{i}^{N}})=i{\Big \}}\bigcup \{\emptyset \}}$

Théorème admis (formule de Steiner-Minkowski, pour $P_{N}=P_{N}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$ et coefficients de Steiner-Minkowski ${\cal {L}}_{i,N}(P_{N})$ pour $P_{N}$ et pour $i\in \mathbb {N} _{N}$)

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $P_{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$.

On pose $\forall r\in \mathbb {R} _{+},\,\,{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(P_{N},r)}}=\{x\in \mathbb {R} ^{N}|d(P_{N},x)\leq r\}=P_{N}+r\,\,{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(O_{N},1)}}$.

Alors $\displaystyle {\exists !{{\Big (}{\cal {L}}_{i,N}(P_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}\subset \mathbb {R} _{+},\,\,\forall r\in \mathbb {R} _{+},\,\,{vol}^{N}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(P_{N},r)}}{\Big )}={vol}^{N}{\Big (}P_{N}+r\,\,{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(O_{N},1)}}{\Big )}=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}{\cal {L}}_{i,N}(P_{N})\,\,r^{i}}$

où $O_{N}$ est l'origine du repère orthonormé ${\cal {R}}_{N}$ de $\mathbb {R} ^{N}$.

On a ${\cal {L}}_{0,N}(P_{N})={vol}^{N}(P_{N})$, ${\cal {L}}_{1,N}(P_{N})={vol}^{N-1}(\partial P_{N})$ et ${\cal {L}}_{N,N}(P_{N})={vol}^{N}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(O_{N},1)}}{\Big )}$.

La suite ${{\Big (}{\cal {L}}_{i,N}(P_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}$ est appelée la suite des coefficients de Steiner-Minkowski pour le polytope $P_{N}$.

Remarque : Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à $P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$.

La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Remarque :

La formule de Steiner-Minkowski ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de $\mathbb {R} ^{N}$, il va falloir creuser d'avantage.

Lemme admis (sur les coefficients ${\mathcal {L}}_{j,i}(P_{i}^{N}),\,\,c_{j,i}(P_{i}^{N})$ et les applications ${\mathcal {L}}_{j,i},\,\,c_{j,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ et $j\in \mathbb {N} _{i}$ et $P_{i}^{N}\in {{\mathcal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$ (et en particulier sur les coefficients ${\mathcal {L}}_{i,N}(P_{N}),\,\,c_{i,N}(P_{N})$ et les applications ${\mathcal {L}}_{i,N},\,\,c_{i,N}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ et $P_{N}=P_{N}^{N}\in {{\mathcal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$)

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$

1) Soit $\displaystyle {P_{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$.

Soient

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}(P_{N})={\frac {{\mathcal {L}}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta (N-i)}}}$

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,\beta (i)={vol}^{i}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{i}}(O_{i},1)}}{\Big )}}$,

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,O_{i}$ est l'origine du repère orthonormé ${\cal {R}}_{i}$ de $\mathbb {R} ^{i}$,

où ${{\Big (}{\mathcal {L}}_{i,N}(P_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}$ est la suite des coefficients de Steiner-Minkowski pour le polytope $P_{N}$,

et on a : ${\cal {L}}_{0,N}(P_{N})={vol}^{N}(P_{N})$, ${\cal {L}}_{1,N}(P_{N})={vol}^{N-1}(\partial P_{N})$ et ${\cal {L}}_{N,N}(P_{N})={vol}^{N}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(O_{N},1)}}{\Big )}$,

et $c_{0,N}(P_{N})=1$.

Soient

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\cal {L}}_{i,N}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{N}\,\,\longmapsto \,\,{\cal {L}}_{i,N}(P_{N})$

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{N}\,\,\longmapsto \,\,c_{i,N}(P_{N})$.

On a :

${\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\cal {L}}_{i,N}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

${\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$.

2) Soit $\displaystyle {P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$.

Soient

$\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,c_{j,i}(P_{i}^{N})={\frac {{\mathcal {L}}_{i-j,i}(P_{i}^{N})}{\beta (i-j)}}}$

$\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,\beta (j)={vol}^{j}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{j}}(O_{j},1)}}{\Big )}}$

$\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,O_{j}$ est l'origine du repère orthonormé ${\cal {R}}_{j}$ de $\mathbb {R} ^{j}$

où ${{\Big (}{\mathcal {L}}_{j,i}(P_{i}^{N}){\Big )}}_{j\in \mathbb {N} _{i}}$ est la suite de coefficients donnée par la formule de Steiner-Minkowski,

et on a : ${\cal {L}}_{0,i}(P_{i}^{N})={vol}^{i}(P_{i}^{N})$, ${\cal {L}}_{1,i}(P_{i}^{N})={vol}^{i-1}(\partial P_{i}^{N})$ et ${\cal {L}}_{i,i}(P_{i}^{N})={vol}^{i}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{i}}(O_{i},1)}}{\Big )}$

et on a : $c_{0,i}(P_{i}^{N})=1$.

Soient

$\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\cal {L}}_{j,i}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{i}^{N}\,\,\longmapsto \,\,{\cal {L}}_{j,i}(P_{i}^{N})$

et où $\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,c_{j,i}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{i}^{N}\,\,\longmapsto \,\,c_{j,i}(P_{i}^{N})$,

On a :

${\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\cal {L}}_{j,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

${\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,c_{j,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$.

Théorème admis ($\displaystyle {{card}_{Q}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$, $\displaystyle {{card}_{Q,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$ et formule donnant le cardinal quantitatif de $P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ (et, en particulier, de $P_{N}=P_{N}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$), en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$)

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$

Reprenons les notations du lemme précédent.

1) $\exists !{card}_{Q,N}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,F,$

telle que $\forall {{\cal {R}}_{N}}'\,\,rep{\grave {e}}re\,\,orthonorm{\acute {e}}\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,{{card}_{Q,{{\cal {R}}_{N}}'}}_{{\Big |}{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={card}_{Q,N}$

et telle que $\displaystyle {\forall P_{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,{card}_{Q,N}(P_{N})=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}c_{i,N}(P_{N})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)}$.

On a :

$\displaystyle {{card}_{Q,N}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$

2)$\exists !{card}_{Q,i}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,F,$

telle que $\forall {{\cal {R}}_{N}}'\,\,rep{\grave {e}}re\,\,orthonorm{\acute {e}}\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,{{card}_{Q,{{\cal {R}}_{N}}'}}_{{\Big |}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={card}_{Q,i}$

et telle que $\displaystyle {\forall P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,{card}_{Q,N}(P_{i}^{N})=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}c_{j,i}(P_{i}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)}$.

On a :

$\displaystyle {{card}_{Q,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$

Remarque : On peut aussi poser $\displaystyle {{card}_{Q}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytope}(\mathbb {R} ^{N})=\bigcup _{i\in \mathbb {N} _{N}}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\longrightarrow F}$ telle que $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{{card}_{Q}}_{{\Big |}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={card}_{Q,i}}$

et telle que $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,{card}_{Q,i}(P_{i}^{N})=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}c_{j,i}(P_{i}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)}$.

$\displaystyle {{card}_{Q}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$

La saga du "cardinal" version 4, Théorème de Hadwiger (voir supra)

Remarque : On aurait pu poser $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}(P_{N})={\frac {{\mathcal {L}}_{i,N}(P_{N})}{\beta (i)}}}$, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel Coste, qui est, ici, notre référent et notre guide.

Proposition admise

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$

1) $\displaystyle {{\overline {{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}}^{{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$

c-à-d

$\displaystyle {\forall A_{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$, c'est-à-dire vérifiant les conditions MC, $\displaystyle {\exists {(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,telle\,\,que\,\,A_{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n}}$

2) $\displaystyle {{\overline {{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}}^{{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$

c-à-d

$\displaystyle {\forall A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$, c'est-à-dire vérifiant les conditions MC, $\displaystyle {\exists {(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,telle\,\,que\,\,A_{i}^{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N}}$

La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Lemme (sur les coefficients ${\widetilde {{\mathcal {L}}_{j,i}}}(A_{i}^{N}),\,\,{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})$ et les applications ${\widetilde {{\mathcal {L}}_{j,i}}},\,\,{\widetilde {c_{j,i}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ et $j\in \mathbb {N} _{i}$ et $A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$ (et en particulier sur les coefficients ${\widetilde {{\mathcal {L}}_{i,N}}}(A_{N}),\,\,{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})$ et les applications ${\widetilde {{\mathcal {L}}_{i,N}}},\,\,{\widetilde {c_{i,N}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ et $A_{N}=A_{N}^{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$)

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$

Reprenons les notations du lemme et du théorème précédents.

1) D'après la proposition précédente :

Soit $\displaystyle {A_{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$, c'est-à-dire vérifiant les conditions MC, alors $\displaystyle {\exists {(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n}}$

On a :

(*1-1) ${\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\cal {L}}_{i,N}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

${{\Big (}{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}(A_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}\subset \mathbb {R}$, telle que $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}(A_{N})={\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }{\cal {L}}_{i,N}(P_{N,n})}}$,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite ${(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }$ choisie de la proposition précédente.

On a :

(*2-1) ${\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

${{\Big (}{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}\subset \mathbb {R}$, telle que $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})={\widetilde {c_{i,N}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{i,N}(P_{N,n})}}$,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite ${(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }$ choisie de la proposition précédente.

Et on a :

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},}$

$\displaystyle {\exists !{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}_{|{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={\cal {L}}_{i,N}}$,

c'est l'application $\displaystyle {{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}\,\,:\,\,{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \mathbb {R} \,\,:\,\,A_{N}\,\,\longmapsto \,\,{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}(A_{N})}$, où ${\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}(A_{N})$ a été défini, précédemment,

et

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},}$

$\displaystyle {\exists !{\widetilde {c_{i,N}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {c_{i,N}}}_{|{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}=c_{i,N}}$,

c'est l'application $\displaystyle {{\widetilde {c_{i,N}}}\,\,:\,\,{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \mathbb {R} \,\,:\,\,A_{N}\,\,\longmapsto \,\,{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})}$, où ${\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})$ a été défini, précédemment,

et on a : ${\widetilde {{\cal {L}}_{0,N}}}(A_{N})={vol}^{N}(A_{N})$, ${\widetilde {{\cal {L}}_{1,N}}}(A_{N})={vol}^{N-1}(\partial A_{N})$ et ${\widetilde {{\cal {L}}_{N,N}}}(A_{N})={vol}^{N}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(O_{N},1)}}{\Big )}$,

et ${\widetilde {c_{0,N}}}(A_{N})=1$.

2) D'après la proposition précédente :

Soit $\displaystyle {A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$, c'est-à-dire vérifiant les conditions MC, alors $\displaystyle {\exists {(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{i}^{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N}}$

On a :

(*1-2) ${\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\cal {L}}_{j,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

${{\Big (}{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}(A_{i}^{N}){\Big )}}_{j\in \mathbb {N} _{i}}\subset \mathbb {R}$, telle que $\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }{\cal {L}}_{j,i}(P_{i,n}^{N})}}$,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite ${(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }$ choisie de la proposition précédente.

On a :

(*2-2)${\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,c_{j,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

${{\Big (}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N}){\Big )}}_{j\in \mathbb {N} _{i}}\subset \mathbb {R}$, telle que $\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {c_{j,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{j,i}(P_{i,n}^{N})}}$,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite ${(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }$ choisie de la proposition précédente.

Et on a :

$\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},}$

$\displaystyle {\exists !{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}_{|{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={\cal {L}}_{j,i}}$,

c'est l'application $\displaystyle {{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}\,\,:\,\,{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \mathbb {R} \,\,:\,\,A_{i}^{N}\,\,\longmapsto \,\,{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}(A_{i}^{N})}$, où ${\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}(A_{i}^{N})$ a été défini, précédemment,

et

$\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},}$

$\displaystyle {\exists !{\widetilde {c_{j,i}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {c_{j,i}}}_{|{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}=c_{j,i}}$,

c'est l'application $\displaystyle {{\widetilde {c_{j,i}}}\,\,:\,\,{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \mathbb {R} \,\,:\,\,A_{N}\,\,\longmapsto \,\,{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})}$, où ${\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})$ a été défini, précédemment,

et on a : ${\widetilde {{\cal {L}}_{0,i}}}(A_{i}^{N})={vol}^{i}(A_{i}^{N})$, ${\widetilde {{\cal {L}}_{1,i}}}(A_{i}^{N})={vol}^{i-1}(\partial A_{i}^{N})$ et ${\widetilde {{\cal {L}}_{i,i}}}(A_{i}^{N})={vol}^{i}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{i}}(O_{i},1)}}{\Big )}$

et ${\widetilde {c_{0,i}}}(A_{i}^{N})=1$.

Théorème ($\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$, $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$ et formule donnant le cardinal quantitatif de $A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ (et, en particulier, de $A_{N}=A_{N}^{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$), en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$)

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$

Reprenons les notations des 2 lemmes et du théorème précédents.

1) D'après la proposition précédente :

Soit $\displaystyle {A_{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$, c'est-à-dire vérifiant les conditions MC, alors $\displaystyle {\exists {(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n}}$

D'après le théorème précédent, on a : (*3-1) $\displaystyle {{card}_{Q,N}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

$\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,N}}}(A_{N})={\widetilde {{card}_{Q,N}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,N}(P_{N,n})}}$,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite ${(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }$ choisie de la proposition précédente,

et comme $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,{card}_{Q,N}(P_{N,n})=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}c_{i,N}(P_{N,n})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)}$,

$\exists !{\widetilde {{card}_{Q,N}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}$,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,N}}}_{|{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={card}_{Q,N}}$

et telle que $\forall {{\cal {R}}_{N}}'\,\,rep{\grave {e}}re\,\,orthonorm{\acute {e}}\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,{{card}_{Q,{{\cal {R}}_{N}}'}}_{{\Big |}{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={\widetilde {{card}_{Q,N}}}$,

et telle que [comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)] :

$\displaystyle {\forall A_{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})},$ $\displaystyle {\exists {(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n},}$

$\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,N}}}(A_{N})={\widetilde {{card}_{Q,N}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n})=\lim _{n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,N}(P_{N,n})=\lim _{n\rightarrow +\infty }\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}c_{i,N}(P_{N,n})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{i,N}(P_{N,n})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}{\widetilde {c_{i,N}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})\,\,{\widetilde {{card}_{Q,1}}}^{i}([0,1[)}$,

c'est l'application ${\widetilde {{card}_{Q,N}}}\,\,:{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,F\,\,:\,\,A_{N}\,\,\mapsto \,\,{\widetilde {{card}_{Q,N}}}(A_{N})$, avec ${\widetilde {{card}_{Q,N}}}(A_{N})$ défini précédemment,

2) D'après la proposition précédente :

Soit $\displaystyle {A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$, c'est-à-dire vérifiant les conditions MC, alors $\displaystyle {\exists {(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{i}^{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N}}$

D'après le théorème précédent, on a : (*3-2) $\displaystyle {{card}_{Q,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

$\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {{card}_{Q,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,i}(P_{i,n}^{N})}}$,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite ${(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }$ choisie de la proposition précédente,

et comme $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,{card}_{Q,i}(P_{i,n}^{N})=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}c_{j,i}(P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)}$,

$\displaystyle {\exists !{\widetilde {{card}_{Q,i}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}_{|{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={card}_{Q,i}}$

et telle que $\forall {{\cal {R}}_{N}}'\,\,rep{\grave {e}}re\,\,orthonorm{\acute {e}}\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,{{card}_{Q,{{\cal {R}}_{N}}'}}_{{\Big |}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={\widetilde {{card}_{Q,i}}}$,

et telle que [comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)] :

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},$

$\displaystyle {\forall A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})},$ $\displaystyle {\exists {(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{i}^{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N},}$

$\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {{card}_{Q,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})=\lim _{n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,i}(P_{i,n}^{N})=\lim _{n\rightarrow +\infty }\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}c_{j,i}(P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)}$

$\displaystyle {=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{j,i}(P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})\,\,{\widetilde {{card}_{Q,1}}}^{j}([0,1[)}$,

c'est l'application $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}\,\,:{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,F:\,\,A_{i}^{N}\,\,\mapsto \,\,{\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})}$, avec ${\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})$ défini précédemment.

On peut aussi poser $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}:{PV}(\mathbb {R} ^{N})=\bigcup _{i\in \mathbb {N} _{N}}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\longrightarrow F}$,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}_{{\Big |}\displaystyle {{{\cal {P}}olytope}(\mathbb {R} ^{N})=\bigcup _{i\in \mathbb {N} _{N}}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}}={card_{Q}}}$

et telle que $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\widetilde {{card}_{Q}}}_{{\Big |}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={\widetilde {{card}_{Q,i}}}}$

et telle que [comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)] :

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},$

$\displaystyle {\forall A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})},$ $\displaystyle {\exists {(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{i}^{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N},}$

$\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {{card}_{Q,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})=\lim _{n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,i}(P_{i,n}^{N})=\lim _{n\rightarrow +\infty }\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}c_{j,i}(P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)}$

$\displaystyle {=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{j,i}(P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})\,\,{\widetilde {{card}_{Q,1}}}^{j}([0,1[)}$.

La saga du "cardinal" version 4, Formule de Steiner-Minkowski, Volume mixte, Théorème de Hadwiger (voir supra)

Remarque :

Le corollaire précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de ${\mathbb {R} ''}^{N}$, de classe ($C^{0}$) et ($C^{1}$ par morceaux).

Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $\forall i\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{i}$, d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$ et ${\cal {R}}={\cal {R}}_{N}$.

On désigne par $\forall i\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,{card}_{Q,i}={card}_{Q,{\cal {R}}_{i}}$, le cardinal quantitatif relatif au repère ${\cal {R}}_{i}$ et ${card}_{Q}={card}_{Q,{\cal {R}}}$.

Remarque : La notion de cardinal quantitatif est une notion plus fine que celle de cardinal équipotentiel (ou de Cantor) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait, pour le moment, la définir que sur une classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, contrairement au cardinal équipotentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de $\mathbb {R} ^{n}$.

Remarque préliminaire 1

Soit $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$

Soient $f:A\longrightarrow \mathbb {R}$,

et $\displaystyle {G_{f}={\Big \{}(x,y)\in A\times \mathbb {R} {\Big |}y=f(x){\Big \}}}$, le graphe de $f$

et ${epi}(f)={\Big \{}(x,y)\in A\times \mathbb {R} {\Big |}y\geq f(x){\Big \}}$, l'épigraphe de $f$ :

1) Alors si $f(A)$ est fini dénombrable :

$\forall a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,{card}_{Q,1}{\Big (}(a.f)(A){\Big )}={card}_{Q,1}{\Big (}f(A){\Big )}$

2) ${card}_{Q,1}{\Big (}(0.f)(A){\Big )}={card}_{Q,1}(\{0\})=1\neq 0\,\,{card}_{Q,1}{\Big (}f(A){\Big )}=0$

3) ${card}_{Q,1}{\Big (}-f(A){\Big )}={card}_{Q,1}{\Big (}f(A){\Big )}$

4) Soient $f,g\,\,:A\,\,\longrightarrow \mathbb {R}$.

a) $f\leq g\Longrightarrow {epi}(f)\supset {epi}(g)\Longrightarrow {card}_{Q,1}{\Big (}{epi}(f){\Big )}\geq {card}_{Q,1}{\Big (}{epi}(g){\Big )}$

b) Soit $B\subset A$ :

Comme $epi(f_{|B})\subset {epi}(f)$, on a : ${card}_{Q,1}{\Big (}{epi}(f_{|B}){\Big )}\leq {card}_{Q,1}{\Big (}{epi}(f){\Big )}$

Remarque importante 4

Si $f'(I)=\{0\}$ alors $f=C_{f}\in \mathbb {R}$ et $\displaystyle {{card}_{Q,1}(G_{f})={card}_{Q,1}(I)}$

En particulier si $I=\mathbb {R}$

$f'(\mathbb {R} )=\{0\}$ alors ${card}_{Q,1}(G_{f})={card}_{Q,1}(\mathbb {R} )$

Proposition 5

Soit $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ : $\exists {(I_{i})}_{i\in \mathbb {Z} }$ partition de $A$, telle que $\forall i\in \mathbb {Z}$ $I_{i}$ est soit un intervalle de $\mathbb {R}$, soit un singleton de $\mathbb {R}$, soit $\emptyset$.

Soit $f\in {C^{1}}-{\cal {D}}iff{\acute {e}}omorphisme\,\,par\,\,morceaux(A,\mathbb {R} )$.

Alors $\displaystyle {{card}_{Q,1}(G_{f})=\sum _{i\in \mathbb {Z} }{card}_{Q,1}{\Big (}f(I_{i}){\Big )}}$

Revenons aux parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, en particulier aux parties compactes, convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$, avec $n=2$

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,\forall i\in \mathbb {N} _{n},\,\,{card}_{Q,i}$ est une mesure sur ${PV}_{i}(\mathbb {R} ^{n})$

où $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,\forall i\in \mathbb {N} _{n},\,\,{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{n})=\{A_{n,i}\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,{dim}(A_{n,i})=i\}\bigcup \{\emptyset \}}$

donc :

${card}_{Q,2}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(0,1)}}{\Big )}$

$\displaystyle {={card}_{Q,2}{\Bigg (}\bigcup _{x\in [-1,1]}{\bigg [}{\Big (}x,-{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big )},{\Big (}x,{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}{\Bigg )}}$

$\displaystyle {=\int _{[-1,1]}{card}_{Q,1}{\Bigg (}{\bigg [}{\Big (}x,-{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big )},{\Big (}x,{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}{\Bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)}$

$\displaystyle {=\int _{[-1,1]}{card}_{Q,1}{\bigg (}{\Big [}-{\sqrt {1-x^{2}}},{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big ]}{\bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)}$

$\displaystyle {=\int _{]-1,1[}{card}_{Q,1}{\bigg (}{\Big [}-{\sqrt {1-x^{2}}},{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big ]}{\bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2\,\,{card}_{Q,1}(\{0\})}$

$\displaystyle {=\int _{]-1,1[}{\Bigg (}{card}_{Q,1}{\bigg (}{\Big [}-{\sqrt {1-x^{2}}},{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big [}{\bigg )}+1{\Bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2}$

$\displaystyle {=\int _{]-1,1[}{\Bigg (}{vol}^{1}{\bigg (}{\Big [}-{\sqrt {1-x^{2}}},{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big [}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2}$

$\displaystyle {=\int _{]-1,1[}{\Bigg (}2{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+\int _{]-1,1[}d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+{card}_{Q,1}(]-1,1[)+2}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+{card}_{Q,1}([-1,1[)-1+2}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+{vol}^{1}([-1,1[)\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{\Big (}\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+1{\Big )}+1}$

Or d'après l'un des PDF de Michel Coste :

$\displaystyle {{card}_{Q,2}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(0,1)}}{\Big )}=\pi \,\,{card}_{Q,1}^{2}([0,1[)+\pi \,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1=\pi \,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{\Big (}{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Big )}+1}$

donc $\displaystyle {2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{\Big (}\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+1{\Big )}+1=\pi \,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{\Big (}{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Big )}+1}$

c'est-à-dire $\displaystyle {2\,\,{\Big (}\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+1{\Big )}=\pi \,\,{\Big (}{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Big )}}$

c'est-à-dire $\displaystyle {\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)={\frac {\pi }{2}}\,\,{\Big (}{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Big )}-1={\frac {\pi }{2}}\,\,{card}_{Q,1}([0,1])-1}$

c'est-à-dire $\displaystyle {\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)={\Big (}\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{vol}^{1}(x){\Big )}\,\,{card}_{Q,1}([0,1])-1}$

c'est-à-dire $\displaystyle {\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)={\frac {\pi }{2}}\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+{\frac {\pi }{2}}-1}$

Décomposition d'une partie bornée de $\mathbb {R} ^{n}$

Soit $\mathbb {N} \in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $n\in \mathbb {N} _{N}$.

Soit $A_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})$, une sous-variété bornée, simplement connexe de $\mathbb {R} ^{N}$, non vide, de dimension $n$, dont le "bord" est non vide et de classe "non $C^{0}$" sauf concernant $A_{0}$.

Si $n\in \mathbb {N} _{N}$, on pose ${''\partial ^{0}(A_{n})''}=_{def}A_{n}$ et si $n\in \mathbb {N} _{N}^{*}$, on définit $A_{n-1}={''\partial ^{1}(A_{n})''}$ comme le "bord" de la sous-variété $A_{n}$, en supposant que $A_{n-1}$ est une réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$, non vides, de dimension $n-1$, dont le "bord" est non vide et de classe "non $C^{0}$"

(Si $n\in \mathbb {N} _{N}$, on a ${''\partial ^{1}(A_{n})''}=A_{n}\setminus {\stackrel {\circ }{A_{n}}}$. Le "bord" de n'importe quelle sous-variété bornée, simplement connexe, de $\mathbb {R} ^{n}$, de dimension $0\leq m<n$, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si $n\in \mathbb {N} _{N}^{*}$, $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*}$, on définit $A_{n-i}={''\partial ^{i}(A_{n})''}=_{def}{''\partial ^{1}{\Big (}{''\partial ^{i-1}(A_{n})''}{\Big )}''}$, en supposant que $A_{n-i}$ est une réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$, non vides, de dimension $n-i$, dont, sauf concernant $A_{0}$, le "bord" est non vide et de classe "non $C^{0}$".

On a :

Si $n\in \mathbb {N} _{N}$, $\displaystyle {A_{n}=\bigcup _{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}\underbrace {{\Big (}A_{n-(i-1)}\setminus A_{n-i}{\Big )}} _{{\text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}\,\,{\text{, non vides, de dimension}}\,\,n-(i-1)}\bigcup \underbrace {A_{0}} _{{\text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}\,\,{\text{, non vides, de dimension}}\,\,0,\,\,{\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}}}}$

et $\displaystyle {\forall i,j\in \mathbb {N} _{n+1}^{*},\,\,i\neq j,}$

$\displaystyle {{\Big (}A_{n-(i-1)}\setminus A_{n-i}{\Big )}\bigcap A_{0}=\emptyset }$

$\displaystyle {{\Big (}A_{n-(i-1)}\setminus A_{n-i}{\Big )}\bigcap {\Big (}A_{n-(j-1)}\setminus A_{n-j}{\Big )}=\emptyset }$.

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Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)

Cardinal quantitatif défini sur ${PV2}({\mathbb {R} }^{n})$

Préliminaires

Nouvelle notation concernant la notion de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$ dont la limite est une partie non bornée $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$, excluant la notation classique, et notion de plafonnement à l'infini "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$"

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $I$ est un ensemble totalement ordonné.

Soit $A$ une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$.

Soit ${(A_{i})}_{i\in I}$ une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ telle que $\displaystyle {\lim _{i\,\,\rightarrow \,\,\sup(I)}A_{i}=A}$.

Alors on exclut cette notation et on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille ${(A_{i})}_{i\in I}$, $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$.

Motivation : Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant le cardinal quantitatif :

"Conjecture impliquant un plafonnement à l'infini "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$", constitué d'une partie $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, et d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$"

et qui servira

dans Résultats sur les intervalles $I$ de $\mathbb {R}$ ou de $\mathbb {R} ''$, c'est-à-dire, en particulier, sur les parties de ${PV}(\mathbb {R} )$ ou de ${PV}(\mathbb {R} '')$/Axiome de normalisation (à zapper dans un 1er temps)

dans Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 1,

dans "Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de $\mathbb {R} ^{n}$(26)" )/2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$",

dans "Plafonnement sphérique, à l'infini, {associé à|de} $\mathbb {R} ^{n}$, autour de l'origine $O_{n}$ d'un repère orthonormé direct ${\cal {R_{n}}}$ de $\mathbb {R} ^{n}$",

et dans Tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$/Partie 1.

Définition de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$

${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$

$={\Big \{}{A}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big |}\,\,{A}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,ferm{\acute {e}}e,\,\,non\,\,born{\acute {e}}e,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{n},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux),\,\,ou\,\,sans\,\,bord{\Big \}}$

Construction

Définition du cardinal quantitatif sur ${PV}({\mathbb {R} }^{n})\bigcup {PV2}({\mathbb {R} }^{n})$

$\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})\bigcup {PV2}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{PV}(\mathbb {R} ^{n})\bigcup {PV2}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,(F,+,\times ,\leq )\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)=?}$ et telle que $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}={\widetilde {{card}_{Q}}}}$,

où $(F,+,\times ,\leq )$ est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec $F=?$.

On peut cependant dire au moins à ce stade que :

$\displaystyle {{{card}_{Q,{\cal {R}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} }^{n})\bigcup {PV2}({\mathbb {R} }^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} }^{n})\bigcup {PV2}({\mathbb {R} }^{n})\longrightarrow \mathbb {N} \bigcup +\infty }$,

où, de manière non classique, on considère : "$+\infty$" comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Conjecture impliquant un plafonnement à l'infini "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$", constitué d'une partie $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, et d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$

${\bigg (}$Cf. Proposition (plafonnement à l'infini de $\mathbb {R} _{+}$, normalisé) basée sur la conjecture principale (Il y a un problème) et "Discussion Recherche:Cardinal quantitatif/Série de remarques 8/Partie non digressive 8/Sous-partie 4 ${\Big (}$Cette théorie (dans sa partie spéculative) est peut-être à un point critique voire une situation critique${\Big )}$", il faudra modifier cette conjecture.${\bigg )}$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Si $I$ est un ensemble totalement ordonné

et si $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$,

et si ${(A_{i})}_{i\in I}$, est une famille de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$,

telles que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$ :

Alors : $card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})$.

Motivation principale :

Avec cette notation non classique qui exclut la notation classique,

soit, ${(B_{i})}_{i\in I}$, une famille de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, telle que $\{{(A_{i})}_{i\in I}\}\neq \{{(B_{i})}_{i\in I}\}$ et telle que $\exists i_{0}\in I,\,\,\forall i\in I,\,\,i\geq i_{0},\,\,A_{i}\neq B_{i}$, et, plus précisément, telle que $\exists i_{0}\in I,\,\,\forall i\in I,\,\,i\geq i_{0},\,\,A_{i}\subsetneq B_{i}$,

et telle que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}B_{i}={\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$,

alors on a : ${\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\neq {\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}$

(Je sais, il faudrait définir une relation d'inclusion et même une relation d'égalité, sur la classe de ces objets, pour pouvoir comparer ces objets, entre eux.)

et $card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}B_{i})=card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(B_{i})_{i\in I}]{\Big )}$,

et il n'y a aucune contradiction,

alors qu'avec la notation classique, on aurait eu :

$card_{Q,{\cal {R}}}(A)=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}B_{i})=card_{Q,{\cal {R}}}(A)$,

c'est-à-dire une contradiction.

Conjecture qui servira :

dans Résultats sur les intervalles $I$ de $\mathbb {R}$ ou de $\mathbb {R} ''$, c'est-à-dire, en particulier, sur les parties de ${PV}(\mathbb {R} )$ ou de ${PV}(\mathbb {R} '')$/Axiome de normalisation (à zapper dans un 1er temps)

dans Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 1,

dans "Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de $\mathbb {R} ^{n}$(26)" )/2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$",

dans "Plafonnement sphérique, à l'infini, {associé à|de} $\mathbb {R} ^{n}$, autour de l'origine $O_{n}$ d'un repère orthonormé direct ${\cal {R_{n}}}$ de $\mathbb {R} ^{n}$",

et dans Tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$/Partie 1.

Remarque (à propos de la $\sigma$-additivité) (Il y a un problème dans la 2ème partie)

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

1) ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ est une mesure, sur la tribu ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

2) ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ ne peut être une mesure, au sens usuel, sur ${\cal {P}}({\mathbb {R} ^{n}})$, car elle ne vérifie pas la $\sigma$-additivité, en général.

3) ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ ne vérifie pas la $\sigma$-additivité, en général, sur ${\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$, car :

$\displaystyle {{\mathbb {R} }_{+}=\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}[i-1,i[\,\,{\mbox{et}}\,\,{\mathbb {R} }_{+}=\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}[2i-2,2i[}$, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,

et donc si ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ était $\sigma$-additive,

on aurait :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} }_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}[i-1,i[{\Big )}=\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}1={card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} }^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

et on aurait aussi

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} }_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}[2i-2,2i[{\Big )}=\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([2i-2,2i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2[)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2[)\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}1=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} }^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

Or ${card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} }^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\neq 2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} }^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

et donc ${card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} }_{+})\neq {card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} }_{+})$.

Contradiction :

Donc, ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ n'est pas $\sigma$-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.

Il y a peut-être quelques axiomes à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.

Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements à l'infini de $\mathbb {R}$ autour de l'origine $O$, du repère orthonormé ${\cal {R}}$ de $\mathbb {R}$.

Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notations :

Où $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$

et où, ici, $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

$\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,p]=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,p[=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\bigcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[i-1,i[}$

$\displaystyle {=\bigcup _{i\in \displaystyle {\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}(\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}}[i-1,i[=\bigcup _{i\in {\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}\setminus \{0\}}[i-1,i[=\bigcup _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}[i-1,i[}$

et

$\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,2p]=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,2p[=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\bigcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[2i-2,2i[}$

$\displaystyle {=\bigcup _{i\in \displaystyle {\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}(\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}}[2i-2,2i[=\bigcup _{i\in {\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}\setminus \{0\}}[2i-2,2i[=\bigcup _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}[2i-2,2i[}$,

qui sont toutes 2 des réunions disjointes

et on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}[i-1,i[{\Big )}=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} ^{*}}{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}1={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

et on a aussi

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}[2i-2,2i[{\Big )}=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([2i-2,2i[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2[)\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}1=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

Or ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\neq 2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

et donc ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}\neq {card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}$

et même ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}$

et il n'y a aucune contradiction :

On a bien ${([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }\neq {([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }$.

Proposition (plafonnement à l'infini de $\mathbb {R} _{+}$, normalisé) basée sur la conjecture principale (Il y a un problème)

Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "${\widetilde {\,\,\,\,\,}}$" concernant l'objet suivant : "${\widetilde {{vol}^{1}}}$".

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

En posant :

$R_{+}={\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

$\displaystyle {N={\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

$\displaystyle {N^{*}=N\setminus \{0\}}$,

on a ou plutôt on devrait avoir :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in N^{*}}[i-1,i[{\Big )}=\sum _{i\in N^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)}$

et

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N)-1{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={\widetilde {{vol}^{1}}}(R_{+})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$.

$R_{+}$ est appelé le plafonnement à l'infini de $\mathbb {R} _{+}$, normalisé.

Dém : ${\bigg (}$Il y a un problème. Cf. aussi "Discussion Recherche:Cardinal quantitatif/Série de remarques 8/Partie non digressive 8/Sous-partie 4 ${\Big (}$Cette théorie (dans sa partie spéculative) est peut-être à un point critique voire une situation critique${\Big )}$"${\bigg )}$

A) Ici, $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )=+\infty$

où $+\infty$ est considéré comme un point.

On a : $\displaystyle {R_{+}={\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,p]=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,p]=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,p[=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }\bigcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[i-1,i[}$

$\displaystyle {=\bigcup _{i\in \displaystyle {\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }(\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}}[i-1,i[=\bigcup _{i\in {\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}\setminus \{0\}}[i-1,i[=\bigcup _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}[i-1,i[}$.

Donc, on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}[i-1,i[{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}\setminus \{0\}}[i-1,i[{\Big )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }\bigcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[i-1,i[{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,p[{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,p]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[0,p]{\Big )}}$

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[i-1,i[\bigcup \{p\}{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{\Big (}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{p\}){\Big )}}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{+\infty \})=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)+1}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1=1+{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}1={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}{\overline {\mathbb {R} }}_{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

car si $p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty$,

on a : ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{u_{p}\in \mathbb {N} \bigcap [0,p]\,\,|\,\,u_{p}\rightarrow +\infty \})>1$

mais $\{\lim _{p\in +\infty }u_{p}\,\,|\,\,u_{p}\in \mathbb {N} \bigcap [0,p],\,\,u_{p}\rightarrow +\infty \}=\{+\infty \}$

et ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{\lim _{p\in +\infty }u_{p}\,\,|\,\,u_{p}\in \mathbb {N} \bigcap [0,p],\,\,u_{p}\rightarrow +\infty \})=1$

Si $p\rightarrow +\infty$ où $+\infty$ est considéré comme un point,

alors $p-1\rightarrow +\infty$,

etc $\cdots$.

La conjecture est donc mal formulée, il faut donc poser $R_{+}={\Big [}{\overline {\mathbb {R} _{+}}},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$ et peut-être poser $N=?$.

Cette solution semble la moins coûteuse.

B) Ici, $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$

et $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

On a : $\displaystyle {R_{+}={\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,p]=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,p[=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\bigcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[i-1,i[}$

$\displaystyle {=\bigcup _{i\in \displaystyle {\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}(\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}}[i-1,i[=\bigcup _{i\in {\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}\setminus \{0\}}[i-1,i[=\bigcup _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}[i-1,i[}$.

Donc, on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}[i-1,i[{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}\setminus \{0\}}[i-1,i[{\Big )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\bigcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[i-1,i[{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,p[{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,p]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[0,p]{\Big )}}$

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[i-1,i[\bigcup \{p\}{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\Big (}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{p\}){\Big )}}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{\sup(\mathbb {N} )\})=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)+1}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1=1+{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}1={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1}$.

De plus, soit $p\in \mathbb {N}$

Si $p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )\in +\infty$ où $+\infty$ est considéré comme un ensemble,

alors $p-1\rightarrow \sup(\mathbb {N} )-1\in +\infty$,

etc $\cdots$.

Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale

En posant :

$R={\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

$R_{+}={\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

$R_{-}={\Big [}\mathbb {R} _{-},{([-r,0])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

$R_{+}^{*}=R_{+}\setminus \{0\}$

$R_{-}^{*}=R_{-}\setminus \{0\}$

$\displaystyle {N={\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

$\displaystyle {N^{*}=N\setminus \{0\}}$

$\displaystyle {-N={\Big [}-\mathbb {N} ,{(-\mathbb {N} \bigcap [-p,0])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

$\displaystyle {-N^{*}=-N\setminus \{0\}}$

$\displaystyle {Z={\Big [}\mathbb {Z} ,{(\mathbb {Z} \bigcap [-p,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

$\displaystyle {Z^{*}=Z\setminus \{0\}}$

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{-}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})$

Donc, comme $\displaystyle {R=R_{-}^{*}\bigcup \{0\}\bigcup R_{+}^{*}}$ et que cete réunion est disjointe, on a :

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{-}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

[c'est-à-dire $=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})+1$]

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus \{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

$=2\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\}){\Big )}+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-1$

On remarque que :

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R)={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{-}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{-}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(-N^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})$

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(Z^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(-N^{*}\bigcup N^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(-N^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})}$

donc ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}-1$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N)-1}$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R)={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{-}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})+1=2\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-1{\Big )}+1=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-1$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z^{*})\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}-1$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z)-1}$

Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale

De manière non classique, on considère : "$+\infty$" comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$,

et où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

On pose : ${R}_{+}={\Big [}{\mathbb {R} }_{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$ et $N={\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}$.

Soient $a,b\in \mathbb {R} _{+}\,\,:\,\,a\leq b$.

Alors $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus [0,a])={card}_{Q,{\cal {R}}}(]a,b])+{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus [0,b])}$

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R)$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+})-1$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({N}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1$

$=2\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N)-1{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1$

Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale

De manière non classique, on considère : "$+\infty$" comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$,

et où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

On pose : ${R}_{+}={\Big [}{\mathbb {R} }_{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$ et $N={\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}$.

Soit $a\in \mathbb {R} _{+}$.

"$\displaystyle {{\Big [}]a,+\infty [,{([0,r]\setminus [0,a])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}={R}_{+}\setminus [0,a]}$"

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "$+\infty$" où $+\infty$ est vu comme un point, on ne peut pas le noter comme dans le 1er membre de l'égalité ci-dessus.

On a :

${card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus [0,a])+1$

${card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus [0,a[)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,a[)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-a\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

$={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})-a{\Big )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[){\Big )}$

$={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})-a{\Big )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus [0,a])+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})-a}$

Soit $a\in \mathbb {R} _{-}$.

"$\displaystyle {{\Big [}]a,+\infty [,{([0,r]\bigcup ]a,0[)}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}={R}_{+}\bigcup ]a,0[}$"

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "$+\infty$" où $+\infty$ est vu comme un point, on ne peut pas le noter comme dans le 1er membre de l'égalité ci-dessus.

On a :

${card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\bigcup ]a,0[)+1$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\bigcup [a,0[)}$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})+{card}_{Q,{\cal {R}}}([a,0[)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-a\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

$={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})-a{\Big )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[){\Big )}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\bigcup ]a,0[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})-a}$

Soit $a\in \mathbb {R} _{+}$.

On a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus [0,a])={card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{-}\setminus [-a,0])}$

On en déduit que $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus [0,a[)={card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{-}\setminus ]-a,0])}$

Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif

Exemples 1

NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.

[Citation de "Matheux philosophe"]

[Citation de "bolza"]

"L'infini" de l'intervalle $[0,1]$ est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle $[0,10]$ ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui".

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de $10\,\,cm$ que dans un fil de $1\,\,cm$.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de $10\,\,cm$ (ou de $1\,\,cm$) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.

On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre.

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est une infinité.

Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de $10\,\,cm$ et pour le fil de $1\,\,cm$ c'est la "même" infinité.

(car, il y a une bijection entre $[0,1]$ et $[0,10]$ et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.

Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance un à un entre les éléments des deux ensembles)

---

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles $[0,1]$ et $[0,10]$ ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens.

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur".

En effet la longueur de l'intervalle $[0,1]$, c'est $1$ et la longueur de l'intervalle $[0,10]$ c'est $10$, et $10>1$.

En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur".

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique.

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de $1\,\,cm$, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de $10\,\,cm$, quand tu es passé de $1$ à $10\,\,cm$, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur.

[Fin Citation de "bolza"]

---

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

NB : Le cas d'une classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe $C^{1}$ par morceaux, a été traité, entièrement, par Michel Coste, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.

NB : Cf. aussi page 2 de cette discussion, message du 10 août 2015 17:36, en étant logué, ainsi que les quelques messages qui lui succèdent, sur certaines précautions à prendre, étant donné que ${card}_{Q}$ n'est pas une mesure au sens usuel sur $\mathbb {R} ^{n}$, en cherchant à définir la notion de partition acceptable ou admissible ou éligible pour pouvoir mener à bien, les calculs avec le cardinal quantitatif, sans obtenir de contradiction.

Soit $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{i}$, d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$.

$\displaystyle {[0,10[=\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}[i-1,i[}$ et la réunion est disjointe.

Donc

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,10[)={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}[i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}1=10\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)\neq {card}_{Q}([0,1[)}$

alors que

$\displaystyle {{card}_{E}([0,10[)={card}_{E}(\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}[i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}{card}_{E}([i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}{card}_{E}([0,1[)={card}_{E}([0,1[)\,\,\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}1=10\,\,{card}_{E}([0,1[)={card}_{E}([0,1[)}$

On considère le plafonnement carré, à l'infini de $\mathbb {R} ^{2}$, autour de l'origine $O_{2}$ du repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ : ${\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$.

Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et ${card}_{Q}$ n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :

Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :

"2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$."

On a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg )}={{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}{\Bigg )}}^{2}>{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

On peut retrouver cette formule de la façon suivante :

Comme $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}={{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}=\bigcup _{x\in {\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}{\bigg \{}(x,y)\in {{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg |}y\in {\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg \}}}$ et que la réunion est disjointe,

c'est-à-dire, en posant $\displaystyle {R={\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$ et $\displaystyle {R^{2}={{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}}$,

comme $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}=R^{2}=\bigcup _{x\in R}\{(x,y)\in R^{2}|y\in R\}}$ et que la réunion est disjointe,

on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}(R^{2})}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\bigcup _{x\in R}\{(x,y)\in R^{2}|y\in R\}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\int _{R}{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\{(x,y)\in R^{2}|y\in R\}{\Big )}\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)}$

$\displaystyle {=\int _{R}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R)\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R)\,\,\int _{R}\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R)\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R)}$

$\displaystyle {={{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R){\Big )}}^{2}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}(R)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

$\displaystyle {>{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

alors qu'on a : $\displaystyle {{card}_{E}({\mathbb {R} }^{2})={{\Big (}{card}_{E}(\mathbb {R} ){\Big )}}^{2}={card}_{E}(\mathbb {R} )}$

(Remarque : On aurait pu remplacer $\mathbb {R}$ par $[0,1]$ et ${\mathbb {R} }^{2}$ par ${[0,1]}^{2}$.)

ou plus simple :

On a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Bigg (}{\bigg [}\mathbb {N} ^{2},{{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}^{2}}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg )}={{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}{\Bigg )}}^{2}>{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

On peut retrouver cette formule de la façon suivante :

Comme $\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {N} ^{2},{{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}^{2}}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}={{\bigg [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}^{2}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\Bigg \{}(n,m)\in {{\bigg [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}^{2}{\Bigg |}m\in {\bigg [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg \}}}$ et que la réunion est disjointe

c'est-à-dire en posant : $\displaystyle {N={\bigg [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}$ et $\displaystyle {N^{2}={{\bigg [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}^{2}}$

comme $\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {N} ^{2},{{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}^{2}}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}=N^{2}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{(n,m)\in N^{2}|m\in N\}}$ et que la réunion est disjointe,

on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Bigg (}{{\bigg [}\mathbb {N} ^{2},{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}^{2}}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}(N^{2})}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\bigcup _{n\in N}\{(n,m)\in N^{2}|m\in N\}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\sum _{n\in N}{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\{(n,m)\in N^{2}|m\in N\}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\sum _{n\in N}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N)\,\,\sum _{n\in N}1}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N)\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N)}$

$\displaystyle {={{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N){\Big )}}^{2}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}(N)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

$\displaystyle {>{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

alors qu'on a $\displaystyle {{card}_{E}({\mathbb {N} }^{2})={{\Big (}{card}_{E}(\mathbb {N} ){\Big )}}^{2}={card}_{E}(\mathbb {N} )}$

et plus généralement :

Soit $E'\in {PV}({\mathbb {R} }^{n})$.

Si $\forall x\in E',\,\,A_{x}\in {PV}({\mathbb {R} }^{n})$ et $\displaystyle {\forall x,y\in E',\,\,x\neq y,\,\,A_{x}\bigcap A_{y}=\emptyset }$ et $\displaystyle {A=\bigcup _{x\in E'}A_{x}}$

alors $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}\bigcup _{x\in E'}A_{x}{\Big )}=\int _{E'}{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A_{x})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(x)}$

alors que

$\displaystyle {(*)\,\,{card}_{E}(A)={card}_{E}{\Big (}\bigcup _{x\in E'}A_{x}{\Big )}=\int _{E'}{card}_{E}(A_{x})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(x)}$

Remarque : $\displaystyle {\exists E''\in {\cal {P}}(E')\,\,:\,\,E''=\{x\in E',\,\,A_{x}\neq \emptyset \}}$ et $\displaystyle {A=\bigcup _{x\in E''}A_{x}}$

Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités $(*)$ impliquant à la fois le cardinal quantitatif et le cardinal équipotentiel] :

Une égalité n'impliquant que des cardinaux quantitatifs ou que des cardinaux équipotentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal équipotentiel et le cardinal quantitatif.

Comme d'une part, on a : $\displaystyle {{card}_{E}(\mathbb {R} ^{2})={card}_{E}(\mathbb {R} )}$

et d'autre part, on a :

${card}_{E}({\mathbb {R} }^{2})={card}_{E}(\bigcup _{x\in \mathbb {R} }\{(x,y)\in {\mathbb {R} }^{2}|y\in \mathbb {R} \})=\int _{\mathbb {R} }{card}_{E}(\{(x,y)\in {\mathbb {R} }^{2}|y\in \mathbb {R} \})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)=\int _{\mathbb {R} }{card}_{E}(\mathbb {R} )\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)$.

$\displaystyle {={card}_{E}(\mathbb {R} )\,\,\int _{\mathbb {R} }\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)={card}_{E}(\mathbb {R} )\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(\mathbb {R} )}$

On obtient la formule :

$\displaystyle {{card}_{E}(\mathbb {R} )={card}_{E}(\mathbb {R} )\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(\mathbb {R} )}$

[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]

2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$

(On pourra remplacer "$+\infty$" par "$\sup(\mathbb {N} )$", et on considérera alors que $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.)

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ et soit $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ est un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{i}$ d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$.

1) Suivant un plafonnement carré, à l'infini, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés $(O_{2}x)$ et $(O_{2}y)$ noté $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$ :

Ici, on considère que  : $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }[-r,r]}$

et que : $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }[-r,r]^{2}={{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }[-r,r]{\Big )}}^{2}={{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}}$.

On remarque :

D'une part, que

$\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,[-r,r]$ partie compacte, convexe, (connexe), de $\mathbb {R}$ et boule particulière de $\mathbb {R}$

et $\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }[-r,r]={\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

et d'autre part, que

$\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,{[-r,r]}^{2}$ partie compacte, convexe, (connexe), de $\mathbb {R} ^{2}$ et boule particulière de $\mathbb {R} ^{2}$

et $\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{[-r,r]}^{2}={\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{[-r,r]}^{2}{\Big )}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{[-r,r]}^{2}{\Big )}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([-r,r]){\Big )}}^{2}}$

$\displaystyle {={{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([-r,r]){\Big )}}^{2}={{\bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }[-r,r]{\Big )}{\bigg )}}^{2}={{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}{\Bigg )}}^{2}={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

2) Suivant un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine, noté $\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}$ :

Ici, on considère que : $\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{''=B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},+\infty )''}}$.

On remarque que :

$\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}$ partie compacte, convexe, (connexe), de $\mathbb {R} ^{2}$ et boule euclidienne de $\mathbb {R} ^{2}$

et $\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}={\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Bigg (}{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}$

$\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}=?$

Comme on sait que ${card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},1)}}{\Big )}=\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,1[)+\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)+1$

et que

${card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1])-1$

${card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}({[0,1[}^{2})={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,1[)={{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1])-1{\Big )}}^{2}={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,1])-2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1])+1$,

on a ${card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},1)}}{\Big )}=\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,1])-\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1])+1$.

Je crois que $\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}=\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,r])-\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,r])+1$, mais je n'en suis pas certain.

Partant de là :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Bigg (}{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\Big (}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,r])-\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,r])+1{\Big )}}$

$\displaystyle {=\pi \,\,\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,r])-\pi \,\,\lim _{r\in \mathbb {R} _{+},r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,r])+1}$

$\displaystyle {=\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }[0,r]{\Big )}-\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }[0,r]{\Big )}+1}$

$\displaystyle {=\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}-\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}+1}$

$\displaystyle {={\frac {1}{4}}\pi \,\,{{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}+1{\Bigg )}}^{2}-{\frac {1}{2}}\pi \,\,{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}+1{\Bigg )}+1}$

$\displaystyle {={\frac {1}{4}}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}-{\frac {1}{4}}\pi +1}$

$\displaystyle {\neq {card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

Plafonnement sphérique, à l'infini, {associé à|de} $\mathbb {R} ^{n}$, autour de l'origine $O_{n}$ d'un repère orthonormé direct ${\cal {R_{n}}}$ de $\mathbb {R} ^{n}$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace $\mathbb {R} ^{n}$ muni d'un repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{n}$, d'origine $O_{n}{(0)}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}$, admet comme plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine, ${\bigg [}\mathbb {R} ^{n},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{n}}(O_{n},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\to +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{n}}(O_{n},r)}}''=B_{\mathbb {R} ^{n}}(O_{n},+\infty )''$, on a alors :

$\forall M,M'\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},\,\,M'\neq O_{n},\,\,card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}=card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M'){\Big )}=card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}\mathbb {R} \times \prod _{i\in \mathbb {N} _{n-1}^{*}}\{0\}{\Big )}$

et $\forall M,M'\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},\,\,M'\neq O_{n},\,\,card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}=card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[O_{n}M'){\Big )}=card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}\mathbb {R} _{+}\times \prod _{i\in \mathbb {N} _{n-1}^{*}}\{0\}{\Big )}={\frac {1}{2}}card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}\mathbb {R} \times \prod _{i\in \mathbb {N} _{n-1}^{*}}\{0\}{\Big )}+{\frac {1}{2}}$

$={\frac {1}{2}}card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}+{\frac {1}{2}}$.

Mais, $\forall A\in R^{n},\,\,A\neq O_{n},\,\,\forall M\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},\,\,M\neq A,\,\,card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(AM){\Big )}\neq card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}$

et même ${card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[AM){\Big )}<{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}(AM){\Big )}<{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}$

et $\forall A,B\in \mathbb {R} ^{n},\,\,A\neq O_{n},\,\,B\neq O_{n},\,\,A\neq B,\,\,\forall M\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},\,\,card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(AB){\Big )}\neq card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}$

et même $card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[AB){\Big )}<card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(AB){\Big )}<card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}$.

On peut avoir : $\forall A\in \mathbb {R} ^{n},\,\,A\neq O_{n},\,\,\forall M\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},\,\,M\neq A,$

$card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[AM){\Big )}<card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$ ou $card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[AM){\Big )}>card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$ ou $card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[AM){\Big )}=card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$.

On peut avoir : $\forall A,B\in \mathbb {R} ^{n},\,\,A\neq O_{n},\,\,B\neq O_{n},\,\,A\neq B,\,\,\forall M\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},$

${card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[AB){\Big )}<{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$ ou ${card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[AB){\Big )}>{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$ ou ${card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[AB){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$.

Axiomes supplémentaires traitant du cas du cardinal quantitatif des parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$

C) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2k\pi ;\,\,k\in \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\\mathbb {R} ^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(O,\theta _{n})}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$

D) $\forall A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2k\pi ;\,\,k\in \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\\mathbb {R} ^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(O,\theta _{n})}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$

F)

a) $\displaystyle {\forall A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,A\,\,{\text{non bornée}}}$,

$\displaystyle {et\,\,telle\,\,que\,\,\exists P_{0}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,d{\acute {e}}limit{\acute {e}}e\,\,par\,\,un\,\,hyperplan\,\,H_{0}\,\,passant\,\,par\,\,O}$

$\displaystyle {et\,\,telle\,\,que\,\,A\subset P_{0}\,\,alors\,\,\forall x_{0},{x_{0}}'\in \mathbb {R} ^{n},\,\,\exists {x_{\parallel _{H_{0}}}},{x_{\parallel _{H_{0}}}}'\parallel H_{0}\,\,et\,\,\exists {x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{\perp _{H_{0}}}}'\perp H_{0},}$

$\displaystyle {x_{0}={x_{\parallel _{H_{0}}}}+{x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{0}}'={x_{\parallel _{H_{0}}}}'+{x_{\perp _{H_{0}}}}'\,\,et\,\,{x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{\perp _{H_{0}}}}'\,\,orientes\,\,vers\,\,P_{0}\,\,et\,\,tels\,\,que\,\,\|x_{0}\|<\|{x_{0}}'\|,}$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A+x_{0})>{card}_{Q,{\cal {R}}}(A+{x_{0}}')}$

(Axiome en cours d'étude)

b) $\forall a,a'\in \mathbb {R} ^{n},\,\,\forall b,b'\in \mathbb {R} ^{n},\,\,:\,\,\|b\|<\|b'\|$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a.{id}_{\mathbb {R} ^{n}}+b){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a'.{id}_{\mathbb {R} ^{n}}+b){\Big )}}$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a.{id}_{\mathbb {R} ^{n}}+b){\Big )}>{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a.{id}_{\mathbb {R} ^{n}}+b'){\Big )}}$ si $b,b'\perp H_{a,0}=a.{id}_{\mathbb {R} ^{n}}(\mathbb {R} ^{n})$

(Axiome en cours d'étude)

Remarque (Sous réserve) : Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.

Autres tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$

Partie 1

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Remarques :

Remarque :

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$, d'origine $O(0)$.

Comme $\mathbb {R} \in {PV2}(\mathbb {R} )$

et comme $\displaystyle {\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,[-r,r]\in {PV}(\mathbb {R} )}$ telle que $\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \infty }[-r,r]={\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$,

on a (Conjecture) : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{r\in \mathbb {N} ,\,\,r\rightarrow +\infty }[-r,r])=\lim _{r\in \mathbb {N} ,\,\,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([-r,r])}$.

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

Et plus généralement, soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{n}$, d'origine $O{(0)}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}$.

comme $\mathbb {R} ^{n}\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$,

si $I\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, non bornée à droite

et si $\displaystyle {\forall i\in I,\,\,A_{i}\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})}$ telle que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \infty }A_{i}={\Big [}\mathbb {R} ^{n},{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$.

alors on a (Conjecture) : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{n},{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow +\infty }A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}$.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique à l'infini, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille ${(A_{i})}_{i\in I}$ définie précédemment.

Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre $O$ ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre $O$, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$.

Il faut mieux choisir $I$ dénombrable infini.

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)".

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

Remarque :

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$, d'origine $O(0)$.

Soient $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,A\in {\cal {P}}(B)\,\,{\mbox{ou}}\,\,B\in {\cal {P}}(A),\,\,B\neq \emptyset$.

Soit $C\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,A\in {\cal {P}}(C)\,\,{\mbox{ou}}\,\,C\in {\cal {P}}(A),\,\,{\mbox{et}}\,\,B\in {\cal {P}}(C)\,\,{\mbox{ou}}\,\,C\in {\cal {P}}(B),\,\,C\neq \emptyset$.

Si on considère la densité quantitative, relative au repère orthonormé ${\cal {R}}$, de l'ensemble $A$ par rapport à l'ensemble $B$, $d_{Q,{\cal {R}},B}(A)$, on a :

$\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(C)}}}{\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(C)}}}}={\frac {d_{Q,{\cal {R}},C}(A)}{d_{Q,{\cal {R}},C}(B)}}}$.

En particulier, si $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,A\in {\cal {P}}(B)\,\,{\mbox{ou}}\,\,B\in {\cal {P}}(A)$, on a :

$\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} )}}}{\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} )}}}}={\frac {d_{Q,{\cal {R}},\mathbb {R} }(A)}{d_{Q,{\cal {R}},\mathbb {R} }(B)}}}$.

Par extension, si $P\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(P)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$

alors $d_{Q,{\cal {R}},B}(P)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(P)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}$

Remarque : Si $x_{0}\in \mathbb {R}$, alors $\{x_{0}\}\in {PV}(\mathbb {R} )$ et même $\{x_{0}\}\in {PV}_{0}(\mathbb {R} )$.

Remarque :

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$, d'origine $O(0)$.

Soient $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions (dénombrables [voire, nécessairement, infinies, non bornées]) de parties

${\Big (}$ Option classique : de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes ${\Big )}$,

ou ${\Big (}$ Option spéculative : convexes, (connexes), disjointes, de $\mathbb {R} {\Big )}$,

$A\in {\cal {P}}(B),\,\,B\neq \emptyset$.

Soit $I\in {\cal {P}}(B)$ (ou telle que $I\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(I)\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$).

Si $\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions finies de parties ${\Big (}$Option classique : de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes ${\Big )}$, ou ${\Big (}$Option spéculative : bornées, convexes, (connexes), disjointes, de $\mathbb {R}$${\Big )}$,

telles que $\forall i\in I,\,\,A_{i}\in {\cal {P}}(B_{i})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{i}\neq \emptyset$

et telles que ${(A_{i})}_{i\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$ et ${(B_{i})}_{i\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}\uparrow A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{i}=[B,{(B_{i})}_{i\in I}]}$),

alors

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{i})}_{i\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}B_{i}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}}{\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}}}=\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}}}}$.

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

Je pense que le cas d'une partie $A$ bornée, convexe, (connexe), de $\mathbb {R}$, peut se ramener au cas de la partie ${\overline {A}}$ compacte, convexe, (connexe) de $\mathbb {R}$,

grâce à la formule ${card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}})={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)+{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}}\setminus A)$ c'est-à-dire ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}}\setminus A)$,

sachant que ${\overline {A}}\setminus A\in {\cal {P}}(\partial A)$, avec $\partial A={\overline {A}}\setminus {\stackrel {\circ }{A}}$.

Donc, comme $2\mathbb {Z} ^{*},\,\,\mathbb {Z} ^{*}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions (dénombrables infinies, non bornées) de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes,

et $2\mathbb {Z} ^{*}\in {\cal {P}}(\mathbb {Z} ^{*})$ et $\mathbb {Z} ^{*}\neq \emptyset$,

et $\mathbb {N} ^{*}\in {\cal {P}}(\mathbb {Z} ^{*})$

et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,A_{n}=\displaystyle {\bigcup _{m\in \mathbb {N} _{n}^{*}}\{-2m,\,\,2m\}}\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}=\displaystyle {\mathbb {Z} \bigcap {\Big (}[-2n,-1]\bigcup [1,2n]{\Big )}}$

et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,A_{n},B_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions finies de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes,

et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},A_{n}\in {\cal {P}}(B_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}\neq \emptyset$

et ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} ^{*}}\,\,\nearrow \,\,[2\mathbb {Z} ^{*},{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]$ et ${(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} ^{*}}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[\mathbb {Z} ^{*},{(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]$

(c'est-à-dire $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }\uparrow A_{n}=[2\mathbb {Z} ^{*},{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }{\mbox{strict.}}\uparrow B_{n}=[\mathbb {Z} ^{*},{(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]}$),

on a bien : $\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},\mathbb {Z} ^{*}}(2\mathbb {Z} ^{*})={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} ^{*})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[2\mathbb {Z} ^{*},{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[\mathbb {Z} ^{*},{(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }A_{n}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }B_{n}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}}{\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}=\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\displaystyle {\bigcup _{m\in \mathbb {N} _{n}^{*}}\{-2m,\,\,2m\}}{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}\displaystyle {\mathbb {Z} \bigcap {\Big (}[-2n,-1]\bigcup [1,2n]{\Big )}}{\bigg )}}}=\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }{\frac {2n}{4n}}=\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}$,

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} ^{*})={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}$,

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} ^{*})+1={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})+1={\frac {1}{2}}{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-1{\Big )}+1={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )+{\frac {1}{2}}}$

et comme $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} )+{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} +1)}$,

on a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} +1)={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-{\Big (}{\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )+{\frac {1}{2}}{\Big )}={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-{\frac {1}{2}}}$

et plus généralement,

$\forall m\in \mathbb {N} ^{*},\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(m\mathbb {Z} ^{*})={\frac {1}{m}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}$ et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )=\sum _{i\in \mathbb {N} _{m-1}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(m\mathbb {Z} +i)}$

et $\forall a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(a\mathbb {Z} ^{*})={\frac {1}{a}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}$.

L'ensemble $\mathbb {Z} ^{*}$ est non borné, mais est dénombrable.

Si $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,A\in {\cal {P}}(B)$,

alors ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$

et $\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}\leq 1}$

et si de plus, $A\neq B$,

alors ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$

et $\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}<1}$.

Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {R} ^{*})=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$, mais comme $2\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} ^{*}$, on est obligé d'imposer que $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {R} ^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$,

et plus généralement, si $a\in \mathbb {R} _{+}^{*}$, on devrait, normalement, avoir : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(a\mathbb {R} ^{*})=a\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$, mais comme $a\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} ^{*}$, on est obligé d'imposer que $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(a\mathbb {R} ^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$,

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.

L'ensemble $\mathbb {R} ^{*}$ qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même.

Mais, Cantor dirait, sans problème, dans ce cas, que $\displaystyle {{card}_{E}(a\mathbb {R} ^{*})={\frac {1}{a}}{card}_{E}(\mathbb {R} ^{*})={card}_{E}(\mathbb {R} ^{*})}$.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de $\mathbb {R}$, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est ${\Big (}$ sous réserve : insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose|constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme ${\Big )}$.

Partie 2

Hypothèses, axiomes ou conjectures sur le cardinal quantitatif d'une partie dénombrable infinie de $\mathbb {R}$

Soit $N\in {\mathbb {N} }^{*}$.

Soit ${\cal {R}}_{N}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{N}$ dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine $O_{N}{(0)}_{i\in \mathbb {N} _{N}^{*}}$.

On pose, pour simplifier, ${card}_{Q}={card}_{Q,N}={card}_{Q,{\cal {R}}_{N}}$, où ${card}_{Q,{\cal {R}}_{N}}$ désigne le cardinal quantitatif relatif au repère ${\cal {R}}_{N}$.

${card}_{E}$ est le cardinal classique ou le cardinal de Cantor noté habituellement $card$, que je nomme aussi cardinal équipotentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ${card}_{Q}$, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de $\mathbb {R} ^{N}$, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{N}$ ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de $\mathbb {R} ^{N}$ de classe $C^{1}$ par morceaux.

Soient $A$ et $B$ des ensembles.

${card}_{E}(A)={card}_{E}(B)\,\,\Longleftrightarrow _{d{\acute {e}}f}\,\,\exists \,\,b\,\,:\,\,A\,\,\longrightarrow \,\,B$, bijection.

On pose usuellement $\aleph _{0}={card}_{E}(\mathbb {N} )$ et $\aleph _{1}={card}_{E}(\mathbb {R} )={card}_{E}{\Big (}{\cal {P}}(\mathbb {N} ){\Big )}=2^{\aleph _{0}}$

On a par exemple $\aleph _{0}={card}_{E}(\mathbb {Z} )={card}_{E}(\mathbb {Q} )={card}_{E}(\mathbb {N} ^{N})$ et $\aleph _{1}={card}_{E}(]0,1[)={card}_{E}({\mathbb {R} }^{N})$

La notion de cardinal quantitatif se veut une notion qui affine celle de cardinal équipotentiel et qui se veut la notion optimale de quantité d'éléments.

Dans la suite, on suppose $N=1$.

Soient $R,S\subset \mathbb {R} \colon {card}_{E}(R)={card}_{E}(S)=\aleph _{0}$ telles que :

$\displaystyle {R=\{r_{i}\in \mathbb {R} |i\in \mathbb {Z} \}\,\,{\mbox{et}}\,\,S=\{s_{i}\in \mathbb {R} |i\in \mathbb {Z} \}}$

et $\forall i\in \mathbb {Z} ,\,\,r_{i+1}>r_{i}\,\,{\mbox{et}}\,\,\forall i\in \mathbb {Z} ,\,\,s_{i+1}>s_{i}$.

Il sera peut-être nécessaire de supposer $r_{0}=s_{0}=0$.

Soit $n\in \mathbb {Z}$.

On appelle $r_{n}$ est le $n$ème terme de $R$

On pose $\displaystyle {{(\Delta R)}_{n+1}=r_{n+1}-r_{n}\,\,{\mbox{si}}\,\,n\in \mathbb {N} \,\,{\mbox{et}}\,\,{(\Delta R)}_{n-1}=r_{n}-r_{n-1}\,\,{\mbox{si}}\,\,n\in -\mathbb {N} }$

et $\displaystyle {{(\Delta S)}_{n+1}=s_{n+1}-s_{n}\,\,{\mbox{si}}\,\,n\in \mathbb {N} \,\,{\mbox{et}}\,\,{(\Delta S)}_{n-1}=s_{n}-s_{n-1}\,\,{\mbox{si}}\,\,n\in -\mathbb {N} }$

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de $R$ et $S$

.

On suppose de plus que $\displaystyle {\exists n_{R}^{+},n_{S}^{+}\in \mathbb {N} \,\,\colon \,\,{{\Big (}{(\Delta R)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{R}^{+}},\,\,{{\Big (}{(\Delta S)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{S}^{+}}\nearrow }$ (respectivement $\searrow$)

$\exists n_{R}^{-},n_{S}^{-}\in -\mathbb {N} \,\,{{\Big (}{(\Delta R)}_{n-1}{\Big )}}_{n\leq n_{R}^{-}},\,\,{{\Big (}{(\Delta S)}_{n-1}{\Big )}}_{n\leq n_{S}^{-}}\nearrow$ (respectivement $\searrow$)

ou que $\displaystyle {\exists n_{R}^{+},n_{S}^{+}\in \mathbb {N} \,\,\colon \,\,{{\Big (}{(\Delta R)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{R}^{+}},\,\,{{\Big (}{(\Delta S)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{S}^{+}}\nearrow }$ (respectivement $\searrow$)

et $\exists n_{R}^{-},n_{S}^{-}\in -\mathbb {N} \,\,{{\Big (}{(\Delta R)}_{n-1}{\Big )}}_{n\leq n_{R}^{-}},\,\,{{\Big (}{(\Delta S)}_{n-1}{\Big )}}_{n\leq n_{S}^{-}}\searrow$ (respectivement $\nearrow$).

On définit $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{R,n}={\frac {\displaystyle {\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}}{(\Delta R)}_{i+1}+\sum _{i\in -\mathbb {N} _{n}}{(\Delta R)}_{i-1}}}{2n+2}}={\frac {\displaystyle {\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}}(r_{i+1}-r_{i})+\sum _{i\in -\mathbb {N} _{n}}(r_{i}-r_{i-1})}}{2n+2}}}$

C'est la moyenne des pas de $R$ compris entre le $(n+1)$ème et le $-(n+1)$ème terme.

Remarque : Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :

$\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{R,n}={\frac {(r_{n+1}-r_{0})+(r_{0}-r_{-(n+1)})}{2n+2}}={\frac {r_{n+1}-r_{-(n+1)}}{2n+2}}}$

On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de $R$ compris entre ces 2 termes inclus.

On pose $\displaystyle {a_{R}=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }a_{R,n}}$ si cette limite existe dans ${\overline {\mathbb {R} _{+}}}$.

C'est la limite de la moyenne des pas de $R$ compris entre son $(n-1)$ème et son $-(n-1)$ème terme, quand $n\rightarrow +\infty$, donc c'est la moyenne de tous les pas de $R$ sur $\mathbb {R}$.

Conjecture :

$\displaystyle {\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\,\forall n\geq n_{0},\,\,a_{R,n}<a_{S,n}\Longrightarrow {card}_{Q}(R)>{card}_{Q}(S)}$

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang $n_{0}$, $\forall n\geq n_{0}$, si la moyenne des pas de $R$ compris entre son $(n+1)$ème et son $-(n+1)$ème terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de $S$ compris entre son $(n+1)$ème et son $-(n+1)$ème terme, alors le cardinal quantitatif de l'ensemble $R$ est strictement plus grand que celui de l'ensemble $S$.

Cela signifie que si $R$ est strictement plus dense quantitativement que $S$, à partir d'un certain rang $n_{0}$, alors ${card}_{Q}(R)>{card}_{Q}(S)$

Si $\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }{(\Delta R)}_{n+1}>1\,\,{\mbox{et}}\,\,\lim _{n\rightarrow -\infty }{(\Delta R)}_{n-1}>1,\,\,{\mbox{comme}}\,\,\forall n\in \mathbb {Z} ^{*}\,\,{(\Delta \mathbb {Z} )}_{n}=1}$

alors $\displaystyle {\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\,\forall n\geq n_{0}\,\,\colon \,\,a_{R,n}>1=a_{\mathbb {Z} ,n}}$ et ${card}_{Q}(R)<{card}_{Q}(\mathbb {Z} )$

En particulier si $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }{(\Delta R)}_{n+1}=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow -\infty }{(\Delta R)}_{n-1}=+\infty }$,

et $\displaystyle {\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\,\forall n\geq n_{0}\,\,\colon \,\,a_{R,n}>1=a_{\mathbb {Z} ,n}\,\,{\mbox{et}}\,\,{card}_{Q}(R)<{card}_{Q}(\mathbb {Z} )\,\,{\mbox{et}}\,\,a_{R}=+\infty }$,

Remarque : La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir

$\displaystyle {a_{R}=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }a_{R,n}=+\infty =\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }a_{S,n}=a_{S}}$ et ${card}_{Q}(R)<{card}_{Q}(S)$.

Que pensez, par exemple, du cas où $\displaystyle {\exists a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,\exists b\in \mathbb {R} _{+},\,\,\exists c\in \mathbb {R} \,\,\colon \,\,R=a\mathbb {Z} ^{\bullet 2}+b\mathbb {Z} +c}$ ?

A t-on bien $\exists a_{0}\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,\exists b_{0}\in \mathbb {R} \,\,\colon \,\,{card}_{Q}(R)={card}_{Q}(a_{0}\mathbb {Z} +b_{0})$ ?

Réponse : Non, car $\displaystyle {\forall a_{0}\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,\forall b_{0}\in \mathbb {R} ,\,\,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\,\forall n\geq n_{0}\,\,\colon \,\,a_{R,n}>a_{0}=a_{a_{0}\mathbb {Z} +b_{0},n}}$

et ${card}_{Q}(R)<{card}_{Q}(a_{0}\mathbb {Z} +b_{0})$.

Plus, généralement $\displaystyle {\forall n,m\in \mathbb {N} ^{*}\,\,\colon \,\,n>m,\,\,a_{n},b_{m}\neq 0,\,\,{card}_{Q}{\Big (}\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}}a_{i}\mathbb {Z} ^{\bullet i}{\Big )}<{card}_{Q}{\Big (}\sum _{j\in \mathbb {N} _{m}}b_{j}\mathbb {Z} ^{\bullet j}{\Big )}}$

Avec les mêmes hypothèses sur $R$, qu'initialement :

Si $\displaystyle {\exists m,M\in \mathbb {R} ,\,\,\forall i\in \mathbb {Z} ,\,\,m\leq r_{i+1}-r_{i}\leq M}$

alors $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{m\mathbb {Z} ,n}=m\leq a_{R,n}\leq M=a_{M\mathbb {Z} ,n}\,\,{\mbox{et}}\,\,{card}_{Q}(m\mathbb {Z} )\geq {card}_{Q}(R)\geq {card}_{Q}(M\mathbb {Z} )}$

Avec les mêmes hypothèses sur $R$, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période $m\in \mathbb {N} ^{*}$

alors ${card}_{Q}(R)={card}_{Q}(a_{R,m-1}\mathbb {Z} )$

Remarque :

$T=R\bigcup S$, telle que $R\bigcap S=\emptyset$, avec $R$ à variations décroissantes, $S$ à variations croissantes et $\forall i\in \mathbb {Z} ,\,\,r_{i}<s_{i}$

$\not \Longrightarrow$

$T=\{t_{i}\in \mathbb {R} |i\in \mathbb {Z} \,\,{\mbox{et}}\,\,\forall i\in \mathbb {Z} ,\,\,t_{i+1}>t_{i}\}$

Soient $R,S\subset \mathbb {R} _{+}\,\,:\,\,{card}_{E}(R)={card}_{E}(S)=\aleph _{0}$ telles que :

$\displaystyle {R=\{r_{i}\in \mathbb {R} _{+}|i\in \mathbb {N} \}\,\,{\mbox{et}}\,\,S=\{s_{i}\in \mathbb {R} _{+}|i\in \mathbb {N} \}}$

et $\forall i\in \mathbb {N} ,\,\,r_{i+1}>r_{i}\,\,{\mbox{et}}\,\,\forall i\in \mathbb {N} ,\,\,s_{i+1}>s_{i}$

Soit $n\in \mathbb {N}$

On appelle $r_{n}$ est le $n$ème terme de $R$

On pose $\displaystyle {{(\Delta R)}_{n+1}=r_{n+1}-r_{n}}$

et $\displaystyle {{(\Delta S)}_{n+1}=s_{n+1}-s_{n}}$

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de $R$ et $S$.

On suppose de plus que $\displaystyle {\exists n_{R}^{+},n_{S}^{+}\in \mathbb {N} \colon {{\Big (}{(\Delta R)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{R}^{+}},\,\,{{\Big (}{(\Delta S)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{S}^{+}}\nearrow }$ (respectivement $\searrow$)

On définit $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{R,n}={\frac {\displaystyle {\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}}{(\Delta R)}_{i+1}}}{n+1}}={\frac {\displaystyle {\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}}(r_{i+1}-r_{i})}}{n+1}}}$

C'est la moyenne des pas de $R$ compris entre le $0$ème et le $(n+1)$ème terme.

Remarque : Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :

$\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{R,n}={\frac {r_{n+1}-r_{0}}{n+1}}}$

On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de $R$ compris entre ces 2 termes inclus.

On pose $\displaystyle {a_{R}=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }a_{R,n}}$ si cette limite existe dans ${\overline {\mathbb {R} _{+}}}$.

C'est la limite de la moyenne des pas de $R$ compris entre son $0$ème et son $(n+1)$ème terme, quand $n\rightarrow +\infty$, donc c'est la moyenne de tous les pas de $R$ sur $\mathbb {Z} _{+}$.

Conjecture :

$\displaystyle {\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\,\forall n\geq n_{0},\,\,a_{R,n}<a_{S,n}\Longrightarrow {card}_{Q}(R)>{card}_{Q}(S)}$

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang $n_{0}$, $\forall n\geq n_{0}$, si la moyenne des pas de $R$ compris entre son $(n+1)$ème et son $-(n+1)$ème terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de $S$ compris entre son $(n+1)$ème et son $-(n+1)$ème terme, alors le cardinal quantitatif de l'ensemble $R$ est strictement plus grand que celui de l'ensemble $S$.

Cela signifie que si $R$ est strictement plus dense quantitativement que $S$, à partir d'un certain rang $n_{0}$, alors ${card}_{Q}(R)>{card}_{Q}(S)$

Conjecture :

$\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{R,n}=a_{S,n}\,\,{\mbox{et}}\,\,\min R<\min S\Longrightarrow {card}_{Q}(R)>{card}_{Q}(S)}$

en particulier (sous réserve) : $\forall a\in \mathbb {N} ^{*},\,\,\forall b_{1},b_{2}\in \mathbb {N} \,\,\colon \,\,b_{1}<b_{2},\,\,{card}_{Q}(a\mathbb {N} +b_{1})>{card}_{Q}(a\mathbb {N} +b_{2})$

et on a $\displaystyle {\bigcup _{i\in \mathbb {N} _{m-1}}(m\mathbb {N} +i)=\mathbb {N} \,\,{\mbox{et}}\,\,\bigcap _{i\in \mathbb {N} _{m-1}}(m\mathbb {N} +i)=\emptyset }$,

on a $\displaystyle {\sum _{i\in \mathbb {N} _{m-1}}{card}_{Q}(m\mathbb {N} +i)={card}_{Q}(\mathbb {N} )}$

Idée pour généraliser la notion de cardinal quantitatif aux parties non convexes de $\mathbb {R} ^{n}$, donc aux parties quelconques de $\mathbb {R} ^{n}$

Conjecture

Toute partie non convexe, connexe, de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$,

donc toute partie non convexe, de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$,

donc toute partie de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$.

Cardinal quantitatif défini sur ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$

Préliminaires

Définitions de $+\infty$, $+\infty ''$, $+\infty _{f}$, $+\infty _{\cal {F(\mathbb {R} )}}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$

Motivation : Cela permettra entre autre de définir l'ensemble ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

Remarque importante préliminaire :

Je vais essayer de prolonger $\mathbb {R} _{+}$ par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de $\mathbb {R} _{-}$ et donc aussi de $\mathbb {R}$).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

Définitions :

(voir Série de remarques 7.2 dans la page de discussion)

A)

Soient $a,b\in {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \bigcup \{-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )\},\,\,a<b$

où on considère, de manière non classique, que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$

et $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

On note :

"$R_{a,b}=(a,b[$"

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "$+\infty$" où $+\infty$ est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.

Si $a=-\sup(\mathbb {R} ),\,\,b=\sup(\mathbb {R} )$,

$R_{a,b}=\mathbb {R}$.

Si $a=-\sup(\mathbb {R} ),\,\,b\in \mathbb {R}$,

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} \,\,|x<b\}$

Si $a\in \mathbb {R} ,\,\,b=\sup(\mathbb {R} )$,

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} \,\,|x\geq a\}$

ou

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} \,\,|x>a\}$

Si $a\in \mathbb {R} ,\,\,b\in \mathbb {R}$,

$R_{a,b}=(a,b[$

• ${\mathcal {F}}(R_{a,b})={\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b})\,\,{\underset {?}{\text{ou}}}\,\,{\mathcal {F}}_{3}(R_{a,b})$,

où $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{0}(R_{a,b})=\{f\,\,|\,\,f\,\,:\,\,R_{a,b}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} \}}$,

$\displaystyle {{\mathcal {F}}_{1}(R_{a,b})=\{f\in {\mathcal {F}}_{0}(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\,{\mbox{continue}}\}}$,

$\displaystyle {{\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b})=\{f\in {\mathcal {F}}_{0}(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\,{\mbox{continue, strictement croissante telle que}}\,\,\lim _{b^{-}}f=+\infty \}}$,

et $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{3}(R_{a,b})=\{f\in {\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b})\,\,|\,\,\not \exists g\in {\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b}),\,\,\not \exists h\in {\mathcal {F}}_{1}(R_{a,b}),\,\,{\mbox{oscillante}},\,\,f=g+h\}}$,

« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)

(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble $\emptyset$, de l'ensemble $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{3}(R_{a,b})}$, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b})}$. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?);

• $+\infty _{\lim ,f,b^{-}}$ ou bien $+\infty _{f}$, s'il n' y a aucune confusion possible :

$\forall f\in {\mathcal {F}}(R_{a,b}),\,\,+\infty _{f}=+\infty _{\lim ,f,b^{-}}\equiv {cl}_{\underset {b^{-}}{\sim }}(f)=\{g\in {\mathcal {F}}(R_{a,b})\,\,|\,\,g\,\,{\underset {b^{-}}{\sim }}\,\,f\}$, où ${\underset {b^{-}}{\sim }}$ est la relation d'équivalence définie en B);

• $+\infty _{{\mathcal {F}}(R_{a,b})}=\{+\infty _{f}\,\,|\,\,f\in {\mathcal {F}}(R_{a,b})\}$.

B)

Définition des relations d'équivalence "${\underset {b^{-}}{\sim }}$" et d'ordre "${\underset {b^{-}}{\leq }}$" sur ${\mathcal {F}}(R_{a,b})$ et des relations d'égalité "$=$" et d'ordre $\leq$ sur $+\infty _{{\mathcal {F}}(R_{a,b})}$ :

Soient $f,g\in {\mathcal {F}}(R_{a,b})$.

Mes relations d'équivalence "${\underset {b^{-}}{\sim }}$" et d'égalité "$=$" sont définies par :

$\displaystyle {+\infty _{f}=+\infty _{g}\Longleftrightarrow f{\underset {b^{-}}{\sim }}g\Longleftrightarrow \lim _{b^{-}}(f-g)=0}$

et si $b=\sup(\mathbb {R} ),\,\,{\underset {b^{-}}{\sim }}={\underset {+\infty }{\sim }}$ et $\lim _{b^{-}}(f-g)=\lim _{+\infty }(f-g)$

Mes relations d'ordre "${\underset {b^{-}}{\leq }}$" et "$\leq$" sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

$\displaystyle {+\infty _{f}<+\infty _{g}\Longleftrightarrow f{\underset {b^{-}}{<}}g\Longleftrightarrow \lim _{b^{-}}(f-g)<0}$,

et si $b=\sup(\mathbb {R} ),\,\,{\underset {b^{-}}{<}}={\underset {+\infty }{<}}$ et $\lim _{b^{-}}(f-g)=\lim _{+\infty }(f-g)$,

et la seconde relation d'ordre est totale.

C)

Si $f$ a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini) au voisinage de $+\infty$, je la prolongerai en une application (encore notée $f$) définie sur $R_{a,b}\cup \{+\infty _{id_{\mathbb {R} }}\}$ en posant :

$f\left(+\infty _{id_{\mathbb {R} }}\right)=+\infty _{f}$,

où $id_{\mathbb {R} }$ est l'application identité de $\mathbb {R}$.

Remarque : Par exemple si $f\,\,:\,\,\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\,\,x\,\,\mapsto \,\,{\Bigg \{}{\begin{matrix}3x+5&{\text{si}}\,\,x\in \mathbb {R} _{-}\\\displaystyle {\frac {e^{-x}}{6x+2}}&{\text{si}}\,\,x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{matrix}}$, $f$ a une expression élémentaire sur $\mathbb {R} _{-}$, et $f$ a une expression élémentaire sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que $\displaystyle {\forall x\in \mathbb {R} ,\,\,f(x)=(3x+5)\,\,\mathbb {I} _{\mathbb {R} _{-}}(x)+{\frac {e^{-x}}{6x+2}}\,\,\mathbb {I} _{\mathbb {R} _{+}^{*}}(x)}$, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions $g\,\,:\,\,\mathbb {R} \,\,\to \,\,\mathbb {R}$, qui, à part, l'expression que l'on note $\forall x\in \mathbb {R} ,\,\,g(x)$, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.

Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions $f$ dont l'expression analytique en fonction de $x$ est "identique", pour tout point $x$ de leur domaine de définition $D_{f}$ ou par exemple en chaque point $x$ de chacune de sous-parties disjointes $A,B$ de ce dernier.

Par exemple :

Soient $\displaystyle {A,B\in {\mathcal {P}}(D_{f}),\,\,A\bigcap B=\emptyset }$.

$\forall x\in A,\,\,f(x)=2x[=expression(f,x)]$ et $\forall x\in B,\,\,f(x)=-3x+1[=expression(f,x)]$,

ou

Soit $\displaystyle {A\in {\mathcal {P}}(D_{f})}$.

$\forall x\in A,\,\,f(x)=x^{2}+1\,\,[=expression(f,x)]$

ou

Soit $\displaystyle {A\in {\mathcal {P}}(D_{f})}$.

$\forall x\in A,\,\,f(x)=e^{x}\,\,[=expression(f,x)]$.

(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions $f\,\,:\,\,D_{f}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R}$, le fait que "$f$ a une expression élémentaire sur $A\in {\mathcal {P}}(D_{f})$" ou plutôt que "$f$ a une expression analytique en fonction de $x$ "identique", en chaque point $x$ de $A\in {\mathcal {P}}(D_{f})$", où $D_{f}\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$, je supprimerai la condition qui lui est relative.)

D) Partie 1)

Remarque : J'hésite à omettre la notation "${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$" concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$.

L'ensemble $\mathbb {R}$ n'est pas considéré, ici, dans sa version classique : $\mathbb {R} =]-\infty ,+\infty [$, où "$-\infty ,+\infty$" sont considérés comme des points,

mais dans sa version non classique : $\mathbb {R}$, où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et où "$+\infty$" est considéré comme un ensemble.

L'ensemble ${\overline {\mathbb {R} }}$ n'est pas considéré, ici, dans sa version classique : ${\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,+\infty ]$, où "$-\infty ,+\infty$" sont considérés comme des points,

mais dans sa version non classique : $\displaystyle {{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \bigcup \{-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )\}}$, où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et où "$+\infty$" est considéré comme un ensemble.

On considère : "$+\infty$" et "$+\infty ''$" comme des ensembles tels que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$, $+\infty ''=\{x\,\,|\,\,\forall a''\in \mathbb {R} '',\,\,x>a''\}$ et $+\infty ''\subsetneq +\infty$ car $\mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} ''$.

On a(axiome)(sous réserve):

$\forall (a,b)\in \{-\sup(\mathbb {R} )\}\times \mathbb {R}$,

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} ,\,\,x<b\}$,

$\displaystyle {\forall f_{0}\in {\cal {F}}(R_{a,b}),\,\,+\infty _{f_{0}}=\sup _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )}+\infty _{f}}$

Remarque :

On a $\displaystyle {{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \bigcup \{\inf(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )\}=\mathbb {R} \bigcup \{-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )\}}$

où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement à l'infini de $\mathbb {R}$ autour de l'origine $O(0)$ du repère orthonormé ${\cal {R}}$ de $\mathbb {R}$) :

On pose : $\displaystyle {\mathbb {R} ={\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$.

D) Partie 2)

Définitions :

Cf. aussi : Série de remarques 3 de la Discussion associée.

$\mathbb {R} '=_{d{\acute {e}}f}]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[$

${\mathbb {R} '}^{*}=_{d{\acute {e}}f}]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[\setminus \{0\}$

${\overline {\mathbb {R} '}}=_{d{\acute {e}}f}[-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}]$

${\mathbb {R} '}_{+}=_{d{\acute {e}}f}[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[$

${\mathbb {R} '}_{+}^{*}=_{d{\acute {e}}f}]0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[$

${\overline {{\mathbb {R} '}_{+}}}=_{d{\acute {e}}f}[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}]$

${\mathbb {R} '}_{-}=_{d{\acute {e}}f}]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},0]$

${\mathbb {R} '}_{-}^{*}=_{d{\acute {e}}f}]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},0[$

${\overline {{\mathbb {R} '}_{-}}}=_{d{\acute {e}}f}[-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},0]$

$\mathbb {R} ''=_{d{\acute {e}}f}-\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}\bigcup \mathbb {R} \bigcup +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$, réunion disjointe,

$\mathbb {R} ''=_{prop}-\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}\bigcup \mathbb {R} '\bigcup +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$, réunion non disjointe,

$\displaystyle {\forall f,g\in {\cal {F}}(\mathbb {R} ),\,\,\forall a,b\in \mathbb {R} ,\,\,a\leq b,\,\,\forall a'',b''\in {\mathbb {R} ''}\setminus {\overline {\mathbb {R} }},\,\,a''<0<b'',}$

$\displaystyle {{\Big (}-\sup(\mathbb {R} '')<a''<-\sup(\mathbb {R} )<a\leq b<\sup(\mathbb {R} )<b''<\sup(\mathbb {R} ''){\Big )}}$

et $\displaystyle {]a,b[\subsetneq \mathbb {R} \subsetneq {\overline {\mathbb {R} }}\subsetneq ]a'',b''[\subsetneq \mathbb {R} ''\subsetneq {\overline {\mathbb {R} ''}},}$

$\displaystyle {{\Big (}-\sup(\mathbb {R} '')=-\sup(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})<-\infty _{f}<a\leq b<+\infty _{g}<\sup(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})=\sup(\mathbb {R} ''){\Big )}}$

et $\displaystyle {]a,b[\subsetneq \mathbb {R} \subsetneq ]-\infty _{f},+\infty _{g}[\subsetneq \mathbb {R} ''\subsetneq {\overline {\mathbb {R} ''}}}$.

Dans cette conception :

L'ensemble $\mathbb {R}$ n'est pas considéré, ici, dans sa version classique : $\mathbb {R} =]-\infty ,+\infty [$, où "$-\infty ,+\infty$" sont considérés comme des points,

mais dans sa version non classique : $\mathbb {R}$, où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et où "$+\infty$" est considéré comme un ensemble.

L'ensemble ${\overline {\mathbb {R} }}$ n'est pas considéré, ici, dans sa version classique : ${\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,+\infty ]$, où "$-\infty ,+\infty$" sont considérés comme des points,

mais dans sa version non classique : $\displaystyle {{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \bigcup \{-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )\}}$, où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et où "$+\infty$" est considéré comme un ensemble.

On considère : "$+\infty$" et "$+\infty ''$" comme des ensembles tels que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$, $+\infty ''=\{x\,\,|\,\,\forall a''\in \mathbb {R} '',\,\,x>a''\}$ et $+\infty ''\subsetneq +\infty$ car $\mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} ''$.

où $\displaystyle {{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=\sup(\mathbb {R} )=\sup(\mathbb {N} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ^{*})\in +\infty \,\,{\text{et}}\,\,\not \in \mathbb {R} _{+}\bigcup +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}}$

et par analogie $\displaystyle {{vol}^{1}({\mathbb {R} ''}_{+})=\sup(\mathbb {R} '')=\sup(\mathbb {N} '')={card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} ''}^{*})\in +\infty ''\subsetneq +\infty }$.

D) Partie 3) Remarque importante :

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "$\mathbb {R} =]-\infty ,+\infty [$" où $+\infty ,+\infty$ sont considérés comme des points,

considérer que "$\mathbb {R} =]-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )[$" où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et où $+\infty$ est considéré comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Mais cette notation est problématique,

car ${vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$

et $\exists A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} _{+})$ telle que ${vol}^{1}(A)\in +\infty$ et ${vol}^{1}(A)<{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=\sup(\mathbb {R} )$.

D'où la notation simple ${\Big (}$sans "$-\infty ,+\infty$", ni "$-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )$", ni "$-\sup(A),\sup(A)$" où $\sup(A)\in +\infty$${\Big )}$ : "$\mathbb {R}$" ("$\mathbb {R} _{+}$", "$\mathbb {R} _{-}$", "$\mathbb {R} ^{*}$", etc $\cdots$), pour désigner $\mathbb {R}$ ($\mathbb {R} _{+}$, $\mathbb {R} _{-}$, $\mathbb {R} ^{*}$, etc $\cdots$).

D) Partie 4)

Remarque :

Le fait que : $2\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})>\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})$ semble poser problème :

En effet, il semble que : $\displaystyle {2\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})=2\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )}+\infty _{f}=\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )}2(+\infty _{f})=\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )}+\infty _{2f}=\inf _{f\in 2{\cal {F}}(\mathbb {R} )}+\infty _{f}=\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )}+\infty _{f}=\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})}$.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble ${\cal {F}}(\mathbb {N} )$ qui est l'ensemble ${\cal {F}}(\mathbb {R} )$, en remplaçant $\mathbb {R}$, par $\mathbb {N}$, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : $\displaystyle {2\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {N} )})=2\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {N} )}+\infty _{f}=\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {N} )}2(+\infty _{f})=\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {N} )}+\infty _{2f}=\inf _{f\in 2{\cal {F}}(\mathbb {N} )}+\infty _{f}\neq \inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {N} )}+\infty _{f}=\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {N} )})}$

Remarque :

$\displaystyle {\exists a,c\in -\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )},\,\,\exists b,d\in +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )},\,\,a\neq c,\,\,b\neq d,\,\,a<b,\,\,c<d,\,\,]a,b[\subsetneq \mathbb {R} '\subsetneq ]c,d[}$

Remarques sur $+\infty$, $+\infty ''$, $+\infty _{f}$, $+\infty _{\cal {F(\mathbb {R} )}}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$

Remarque :

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, qui mesurent chacune des volumes de dimension $i(0\leq i\leq n)$, on peut construire et comparer les cardinaux quantitatifs d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de $\mathbb {R} ^{n}$ et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de Lebesgue, en remplaçant le point usuel $+\infty$ par un ensemble infini de nombres infinis positifs $+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$

(ici, je pense [vraisemblablement dans le cas où $n=1$]

Remarque :

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple $1,5$ éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

Le cardinal quantitatif d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier" (ou transfini), contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)]

Enfin, on pourra construire et étendre, le cardinal quantitatif et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ et qui fait appel aux mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$, au cas de parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, en tenant compte du "plafonnement sphérique à l'infini".

Définition de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$

${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$

$={\Big \{}{A}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,{\Big |}\,\,{A}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,{\mathbb {R} ''}^{n},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux){\Big \}}$

Construction et définition

Définition du cardinal quantitatif sur ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ (axiomes de définition généraux dans le cas des parties de ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$ + axiomes de définition dans le cas des parties bornées de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ et en particulier dans le cas des parties de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$)

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, d'origine $O$.

${{card}_{Q,{\cal {R}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\longrightarrow (F,+,\times ,\leq )$,

où $(F,+,\times ,\leq )$ est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec $F={\mathbb {R} ''}_{n}[{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(I)]$, où $I$ est un intervalle borné de $\mathbb {R} ''$, par exemple $I=[0;1[$.

On peut cependant dire au moins à ce stade que :

$\displaystyle {{{card}_{Q,{\cal {R}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\longrightarrow \mathbb {N} \bigcup +\infty }$,

où, de manière non classique, on considère : "$+\infty$" comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Elle doit, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur le CQ) :

0) Dans un cadre plus général que celui de cette définition où l'on considère la restriction de l'application ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ à l'ensemble $\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}$ , on impose :

$\forall {\mathcal {R}},{\mathcal {R}}'$ repères orthonormés de ${\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}'}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}}$

On pose donc : $\forall {\mathcal {R}}$ repère orthonormé de ${\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}}={\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}$ et donc $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|PV({\mathbb {R} ''}^{n})}={\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}={\widetilde {{card}_{Q}}}}$.

1) Dans un cadre plus général que celui de cette définition, où l'ensemble de départ est ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$ , on impose :

[a) $\forall A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$, $card_{Q,{\cal {R}}}(A)\geq 0$]

b) $card_{Q,{\cal {R}}}(\emptyset )=0$

c) $\forall x\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x\})=1$

2) Dans un cadre plus général que celui de cette définition où l'on considère l'application ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ sur l'ensemble ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$ , on impose :

$\forall A,B\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\bigcup B)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\bigcap B)}$

3)

$\displaystyle {\forall {(x_{m})}_{m\in \mathbb {N} }\subset {\mathbb {R''} },\,\,({\acute {e}}ventuellement\,\,convergente),\,\,\lim _{m\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,x_{m}])={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,\lim _{m\rightarrow +\infty }x_{m}])}$

4) Dans un cadre plus général que celui de cette définition où l'on considère la restriction de l'application ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ à l'ensemble $\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}$ , on impose :

Soient $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ un repère orthonormé de ${\mathbb {R} ''}^{i}$ d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$.

$\forall k\in \mathbb {N} _{n-1},$

$\displaystyle {\forall A\in \{A'\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n-k})\,\,|\,\,A'\,\,born{\acute {e}}e\}}$, $\displaystyle {\forall B\in \{B'\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{k})\,\,|\,\,B'\,\,born{\acute {e}}e\}}$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A\times \prod _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}\{0\})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in \mathbb {N} _{n-k}^{*}}\{0\}\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{k}}(B)}$

@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine du repère orthonormé direct ${\cal {R}}$.@

5)

A)

a) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}$, $I\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,I\,\,born{\acute {e}}e$

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{is}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$, pour toutes les isométries de $\mathbb {R} ''^{n}$

En particulier :

a1) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}$, $I\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,I\,\,born{\acute {e}}e$,

$\forall x\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(I+x)={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$

a2) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}$, $I\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,I\,\,born{\acute {e}}e$,

$\displaystyle {\forall M\in {\mathbb {R} ''}^{n}}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2k\pi ;\,\,k\in \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(M,\theta _{n})}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$

Si les axiomes donnés dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les axiomes donnés dans 3) B).

B)

a) $\forall A\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,A\,\,born{\acute {e}}e$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{is}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$, pour toutes les isométries de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, $is$

En particulier :

a1) $\forall A\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,A\,\,born{\acute {e}}e$,

$\displaystyle {\forall x\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(A+x)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}$

a2) $\forall A\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,A\,\,born{\acute {e}}e$,

$\forall M\in {\mathbb {R} ''}^{n}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2k\pi ;\,\,k\in \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(M,\theta _{n})}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$

Remarques sur la définition

${card}_{Q,{\cal {R}}}$ est définie et donnée sur ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$, par une formule exprimant ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ en fonction de ${({vol}^{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}$ (ou de ${({vol}^{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$, si on considère ${vol}^{0}$, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties dénombrables de $\mathbb {R} ^{n}$) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel Coste,

dans La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

ou dans les propositions suivantes : Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE (voir infra) et Proposition (voir infra)

Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$.

Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné $(F,+,\times ,\leq )$, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$, mais j'aurais pu l'appeler ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des axiomes de définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ et de ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ est l'ensemble $\displaystyle {\mathbb {N} \bigcup +\infty }$, où $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":

Dans le cas des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, Michel Coste a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie du cardinal quantitatif, mais moi je crois qu'on peut construire ${card}_{Q,{\cal {R}}}$, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$, dans la théorie classique, mais que ce le sera dans la nouvelle théorie, quitte à introduire la nouvelle notation (excluant l'ancienne) et la nouvelle notion de "plafonnement à l'infini" $''[A,{(A_{i})}_{i\in I}]''$ où $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ et ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$, ou où $A\in {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$.

Propriétés immédiates découlant des axiomes de définition du cardinal quantitatif sur ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$, $\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}$ et ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres axiomes de définition du cardinal quantitatif, en particulier que :

$\forall I\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,{card}_{E}(I)\leq \aleph _{0},\,\,\forall (A_{i})_{i\in I}\subset {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$,

$\forall i,j\in I,\,\,i\neq j,\,\,A_{i}\bigcap A_{j}=\emptyset$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}=\sum _{i\in I}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})$

La $\sigma$-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$, avec la notation classique de la notion de limite de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ ayant pour limite une partie $A$ non bornée de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, dans la théorie classique, elle l'est si ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et $A\in {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$, moyennant une nouvelle notation de la notion de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ ayant pour limite une partie $A$ non bornée de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, dans la nouvelle théorie, (excluant l'ancienne notation), c-à-d l'introduction de la notion de plafonnement à l'infini.

En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :

a) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,B\in {\mathcal {P}}(A)$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\setminus B)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}$

b) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,A\in {\mathcal {P}}(B),\,\,A\neq B$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}$

Il découle, en particulier, de 4), que :

Si $I,{(I_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ sont des parties de ${PV}(\mathbb {R} '')$ (résultats généralisables aux intervalles bornés de $\mathbb {R} ''$, moyennant un prolongement du domaine de définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$), alors :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I_{i})=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(I_{i}\times \prod _{j\in \mathbb {N} _{n-1}^{*}}\{0\})=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I_{i})}$

et donc en particulier

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(I^{n})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(I^{n})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I)=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(I\times \prod _{j\in \mathbb {N} _{n-1}^{*}}\{0\})=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I)={{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I){\Big )}}^{n}={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{n}(I)}$

Le cardinal quantitatif est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$, qui ne néglige aucun point de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ et qui est uniforme ($\forall x\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x\})=1$).

Proposition :

Soit ${\widetilde {E}}\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$.

Si $\forall x\in {\widetilde {E}},\,\,A_{x}\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et $\forall x,y\in {\widetilde {E}},\,\,x\neq y,\,\,A_{x}\bigcap A_{y}=\emptyset$ et $A=\bigcup _{x\in {\widetilde {E}}}A_{x}$

alors ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{x\in {\widetilde {E}}}A_{x}{\Big )}=\int _{\widetilde {E}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{x})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(x)$

(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de ${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et les "plafonnements à l'infini", mais sans nécessairement considérer ${\widetilde {E}}\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou ${\widetilde {E}}\in \{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}$)

Existence et résultats sur les intervalles $I$, bornés, de $\mathbb {R} ''$, et, en particulier, sur les parties de ${PV}(\mathbb {R} '')$

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ''$, d'origine $O$.

Notations

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $A\in {\cal {P}}(E)$.

${\stackrel {\circ }{A}}^{E}$ est l'intérieur de $A$ dans |par rapport à $E$ (on note aussi ${\stackrel {\circ }{A}}$).

${\overline {A}}^{E}$ est l'adhérence de $A$ dans |par rapport à $E$ (on note aussi ${\overline {A}}$).

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,{vol}^{i,n}}$ désigne la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $i$, dans ${\mathbb {R} ''}^{n}$, de tribu de départ ${\cal {A}}_{i,n}=\{A_{i,n}\in {\cal {B}}({\mathbb {R} ''}^{n})|{dim}(A_{i,n})=i\}$.

On note aussi parfois ${vol}^{i,n}$ : ${vol}^{i}$, et la suite le justifiera.

$\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,{vol}^{0,n}}$ désigne la mesure de Lebesgue ou de Hausdorff, de dimension $0$, sur $\mathbb {R} ^{n}$, c'est-à-dire la mesure de comptage sur $\mathbb {R} ^{n}$ , de tribu de départ ${\cal {A}}_{0,n}=\{A_{0,n}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})|{dim}(A_{0,n})=0\}=\{A_{0,n}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})|{card}_{E}(A_{0,n})\leq \aleph _{0}\}$.

On note aussi parfois ${vol}^{0,n}$ : ${vol}^{0}$, et la suite le justifiera.

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}$, notée, encore, ${vol}^{i}$, désigne le prolongement de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $i$, sur $\displaystyle {\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\mathbb {R} ''}^{n}}$, de tribu de départ $\displaystyle {{\cal {A}}_{i}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\cal {A}}_{i,n}}$ telle que $\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}_{|{\cal {A}}_{i,n}}={vol}^{i,n}$.

et telle que $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,A_{i,n}\in {\cal {A}}_{i,n},\,\,A_{i}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},n\geq i}A_{i,n},\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}(A_{i})={\widetilde {{vol}^{i}}}(\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}A_{i,n})=\sum _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\widetilde {{vol}^{i}}}(A_{i,n})}$.

Préliminaires :

Remarque

Remarque : J'hésite à omettre la notation "${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$" concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$.

Soient $I$ et $J$, deux intervalles bornés de $\mathbb {R} ''$, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de ${\overline {I}}$ et ${\overline {J}}$ ou de ${\stackrel {\circ }{I}}$ et ${\stackrel {\circ }{J}}$ existent et sont notés $i_{0}$ et $j_{0}$, alors on remarque que :

1)

$\displaystyle {\forall x_{0}\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x_{0}\})={vol}^{0}(\{x_{0}\})=1}$

$\displaystyle {{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(J)\Longleftrightarrow {card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})\,\,et\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})}$

En effet $\displaystyle {\forall I,J\,\,intervalle\,\,born{\acute {e}}\,\,de\,\,{\mathbb {R} ''}\,\,:\,\,{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(J),\,\,\exists a_{I,J}\in \mathbb {R} ,\,\,{\overline {J}}={\overline {I}}+a_{I,J}\,\,et\,\,{\stackrel {\circ }{J}}={\stackrel {\circ }{I}}+a_{I,J}}$

2)

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus \{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus \{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big (}{\stackrel {\circ }{I}}\bigcup ({\overline {I}}\setminus {\stackrel {\circ }{I}}){\Big )}\setminus \{i_{0}\}{\bigg )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big (}{\stackrel {\circ }{J}}\bigcup ({\overline {J}}\setminus {\stackrel {\circ }{J}}){\Big )}\setminus \{j_{0}\}{\bigg )}}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\stackrel {\circ }{I}}\bigcup ({\overline {I}}\setminus {\stackrel {\circ }{I}}){\Big )}-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\stackrel {\circ }{J}}\bigcup ({\overline {J}}\setminus {\stackrel {\circ }{J}}){\Big )}-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus {\stackrel {\circ }{I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus {\stackrel {\circ }{J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{\displaystyle {\inf _{i\in I}i,\sup _{i\in I}i}\})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{\displaystyle {\inf _{j\in J}j,\sup _{j\in J}j}\})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+2-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+2-1}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}$

Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE)

Remarque : J'hésite à omettre la notation "${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$" concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$.

Soient $I$ et $J$, deux intervalles bornés de $\mathbb {R} ''$, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de ${\overline {I}}$ et ${\overline {J}}$ ou de ${\stackrel {\circ }{I}}$ et ${\stackrel {\circ }{J}}$ existent et sont notés $i_{0}$ et $j_{0}$, alors a :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus \{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus \{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}={\frac {vol^{1}(I)}{vol^{1}(J)}}$

Démonstration :

Si on suppose que $I$ et $J$ sont bornés dans $\mathbb {R} ''$, sans s'assimiler à des "demi-droites" de $\mathbb {R} ''$, alors :

On pose :

$\displaystyle {K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}=]0,{vol}^{1}({\stackrel {\circ }{I}})[}$, $\displaystyle {K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}=]0,{vol}^{1}({\stackrel {\circ }{J}})[}$

$\displaystyle {K_{0,{\overline {I}}}=[0,{vol}^{1}({\overline {I}})]}$, $\displaystyle {K_{0,{\overline {J}}}=[0,{vol}^{1}({\overline {J}})]}$

On a :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})+1}{{card}_{Q}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}{{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}}}$

En effet,on a (proposition):

Si $s=k\in \mathbb {N} ''$ :

$\displaystyle {[0,kp[=\bigcup _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}[(i-1)p,ip[\,\,{\mbox{et}}\,\,\bigcap _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}[(i-1)p,ip[=\emptyset }$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([(i-1)p,ip[)}$

or $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[)={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)}$

car $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{vol}^{1}(](i-1)p,ip[)={vol}^{1}(]0,p[)}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[)+1={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{(i-1)p\})={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[\bigcup \{(i-1)p\})={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[\bigcup \{0\})}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([(i-1)p,ip[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$

donc comme $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([(i-1)p,ip[)}$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$,

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,kp[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[\setminus \{0\})={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)-1=k\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)-1}$

$\displaystyle {=k\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[\bigcup \{0\}){\Big )}-1=k\,\,({card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\}){\Big )}-1=k\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1{\Big )}-1}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1}}=k}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1}}={\frac {{vol}^{1}(]0,kp[)}{{vol}^{1}(]0,p[)}}}$

Remarque : On montre facilement le résultat pour $s\in \mathbb {Q} ''$ et $s\in \mathbb {R} ''$

or $\displaystyle {{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}$, $\displaystyle {{vol}(J)={vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}}})}$, $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}}})}$

or ${\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}}}=K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}$, ${\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}}}=K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}$, $\displaystyle {card({\stackrel {\circ }{J}})={card}_{Q,{\cal {R}}}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}$

or $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})+1}{{card}_{Q}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}{{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}}}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(I)}{{vol}^{1}(J)}}}$

or $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(I)}{{vol}^{1}(J)}}}$

Existence et résultats généraux concernant le cardinal quantitatif sur ${PV}({\mathbb {R} ''}^{N})$

Similaire et analogue à "Existence et résultats généraux concernant le cardinal quantitatif sur ${PV}({\mathbb {R} }^{N})$", en remplaçant $\mathbb {R}$ par $\mathbb {R} ''$.

Cardinal quantitatif défini sur ${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$

Préliminaires

Nouvelle notation concernant la notion de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ dont la limite est une partie non bornée $A$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, excluant la notation classique, et notion de plafonnement à l'infini "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$"

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $I$ est un ensemble totalement ordonné.

Soit $A$ une partie non bornée de ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

Soit ${(A_{i})}_{i\in I}$ une famille de parties de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ telle que $\displaystyle {\lim _{i\,\,\rightarrow \,\,\sup(I)}A_{i}=A}$.

Alors on exclut cette notation et on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille ${(A_{i})}_{i\in I}$, $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$.

Motivation :

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant le cardinal quantitatif :

"Conjecture impliquant un plafonnement à l'infini "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$", constitué d'une partie $A\in {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$, et d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$"

et qui servira

dans Résultats sur les intervalles $I$ de $\mathbb {R}$ ou de $\mathbb {R} ''$, c'est-à-dire, en particulier, sur les parties de ${PV}(\mathbb {R} )$ ou de ${PV}(\mathbb {R} '')$/Axiome de normalisation (à zapper dans un 1er temps)

dans Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 1,

dans "Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de $\mathbb {R} ^{n}$(26)" )/2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$",

dans "Plafonnement sphérique, à l'infini, {associé à|de} $\mathbb {R} ^{n}$, autour de l'origine $O_{n}$ d'un repère orthonormé direct ${\cal {R_{n}}}$ de $\mathbb {R} ^{n}$",

et dans Tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$/Partie 1.

Définition de ${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$

${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$

$={\Big \{}{A}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,{\Big |}\,\,{A}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,ferm{\acute {e}}e,\,\,non\,\,born{\acute {e}}e,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,{\mathbb {R} ''}^{n},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux),\,\,ou\,\,sans\,\,bord{\Big \}}$

Construction

Définition du cardinal quantitatif sur $\displaystyle {{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigcup {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})}$

$\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigcup {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigcup {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\rightarrow \,\,(F,+,\times ,\leq )\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)=?}$ et telle que $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}={\widetilde {{card}_{Q}}}}$,

où $(F,+,\times ,\leq )$ est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec $F=?$.

On peut cependant dire au moins à ce stade que :

$\displaystyle {{{card}_{Q,{\cal {R}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigcup {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigcup {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})\longrightarrow \mathbb {N} \bigcup +\infty }$,

où, de manière non classique, on considère : "$+\infty$" comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Conjecture impliquant un plafonnement à l'infini "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$", constitué d'une partie $A\in {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$, et d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Si $I$ est un ensemble totalement ordonné

et si $A\in {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$,

et si ${(A_{i})}_{i\in I}$, est une famille de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$,

telles que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$ :

Alors : $card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})$.

Motivation :

Avec cette notation non classique qui exclut la notation classique,

soit, ${(B_{i})}_{i\in I}$, une famille de parties de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$, telle que $\{{(A_{i})}_{i\in I}\}\neq \{{(B_{i})}_{i\in I}\}$ et telle que $\exists i_{0}\in I,\,\,\forall i\in I,\,\,i\geq i_{0},\,\,A_{i}\neq B_{i}$, et, plus précisément, telle que $\exists i_{0}\in I,\,\,\forall i\in I,\,\,i\geq i_{0},\,\,A_{i}\subsetneq B_{i}$,

et telle que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}B_{i}={\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$,

alors on a : ${\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\neq {\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}$

(Je sais, il faudrait définir une relation d'inclusion et même une relation d'égalité, sur la classe de ces objets, pour pouvoir comparer ces objets, entre eux.)

et $card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}B_{i})=card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(B_{i})_{i\in I}]{\Big )}$,

et il n'y a aucune contradiction,

alors qu'avec la notation classique, on aurait eu :

$card_{Q,{\cal {R}}}(A)=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}B_{i})=card_{Q,{\cal {R}}}(A)$,

c'est-à-dire une contradiction.

Conjecture qui servira :

dans Résultats sur les intervalles $I$ de $\mathbb {R}$ ou de $\mathbb {R} ''$, c'est-à-dire, en particulier, sur les parties de ${PV}(\mathbb {R} )$ ou de ${PV}(\mathbb {R} '')$/Axiome de normalisation (à zapper dans un 1er temps)

dans Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 1,

dans "Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de $\mathbb {R} ^{n}$(26)" )/2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$",

dans "Plafonnement sphérique, à l'infini, {associé à|de} $\mathbb {R} ^{n}$, autour de l'origine $O_{n}$ d'un repère orthonormé direct ${\cal {R_{n}}}$ de $\mathbb {R} ^{n}$",

et dans Tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$/Partie 1.

Proposition (plafonnements à l'infini de ${\mathbb {R} '}_{+}$ et de ${\mathbb {R} ''}_{+}$, normalisés) basée sur la conjecture principale (Il y a un problème)

Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "${\widetilde {\,\,\,\,\,}}$" concernant l'objet suivant : "${\widetilde {{vol}^{1}}}$".

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

En posant :

$\displaystyle {R_{+}={\Big [}{\mathbb {R} '}_{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}{\mathbb {R} ''}_{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}}$

$\displaystyle {N={\Big [}\mathbb {N} ',{(\mathbb {N} '\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}\mathbb {N} '',{(\mathbb {N} ''\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}}$

$\displaystyle {N^{*}=N\setminus \{0\}}$,

on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N)-1{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={\widetilde {{vol}^{1}}}(R_{+})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$.

$R_{+}$ est appelé le plafonnement à l'infini de ${\mathbb {R} '}_{+}$ (respectivement de ${\mathbb {R} ''}_{+}$), normalisé.

Dém :

Démonstration analogue à celle de "Proposition (plafonnement à l'infini de $\mathbb {R} _{+}$, normalisé)".

Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale

En posant :

$R={\Big [}{\mathbb {R} '},{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}{\mathbb {R} ''},{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}$

$R_{+}={\Big [}{\mathbb {R} '}_{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}{\mathbb {R} ''}_{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}$

$R_{-}={\Big [}{\mathbb {R} '}_{-},{([-r,0])}_{r\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}{\mathbb {R} ''}_{-},{([-r,0])}_{r\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}$

$R_{+}^{*}=R_{+}\setminus \{0\}$

$R_{-}^{*}=R_{-}\setminus \{0\}$

$\displaystyle {N={\Big [}\mathbb {N} ',{(\mathbb {N} '\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}\mathbb {N} '',{(\mathbb {N} ''\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}}$

$\displaystyle {N^{*}=N\setminus \{0\}}$

$\displaystyle {-N={\Big [}-\mathbb {N} ',{(-\mathbb {N} '\bigcap [-p,0])}_{p\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}-\mathbb {N} '',{(-\mathbb {N} ''\bigcap [-p,0])}_{p\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}}$

$\displaystyle {-N^{*}=-N\setminus \{0\}}$

$\displaystyle {Z={\Big [}\mathbb {Z} ',{(\mathbb {Z} '\bigcap [-p,p])}_{p\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}\mathbb {Z} '',{(\mathbb {Z} ''\bigcap [-p,p])}_{p\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}}$

$\displaystyle {Z^{*}=Z\setminus \{0\}}$

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{-}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})$

Donc, comme $\displaystyle {R=R_{-}^{*}\bigcup \{0\}\bigcup R_{+}^{*}}$ et que cete réunion est disjointe, on a :

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{-}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

[c'est-à-dire $=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})+1$]

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus \{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

$=2\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\}){\Big )}+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-1$

On remarque que :

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R)={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{-}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{-}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(-N^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})$

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(Z^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(-N^{*}\bigcup N^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(-N^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})}$

donc ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}-1$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N)-1}$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R)={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{-}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+}^{*})+1=2\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-1{\Big )}+1=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-1$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z^{*})\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}-1$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z)-1}$

Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale

De manière non classique, on considère : "$+\infty$" et "$+\infty ''$" comme des ensembles tels que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$, $+\infty ''=\{x\,\,|\,\,\forall a''\in \mathbb {R} '',\,\,x>a''\}$ et $+\infty ''\subsetneq +\infty$ car $\mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} ''$,

et où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et $\sup(\mathbb {R} '')\in +\infty ''$.

On pose : ${R}_{+}={\Big [}{\mathbb {R} '}_{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} '}{\Big ]}$ et $N={\Big [}\mathbb {N} ',{(\mathbb {N} '\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} '}{\Big ]}$.

(respectivement ${R}_{+}={\Big [}{\mathbb {R} ''}_{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}$ et $N={\Big [}\mathbb {N} '',{(\mathbb {N} ''\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}$).

Soit $a,b\in {\mathbb {R} '}_{+}\,\,({\text{respectivement}}\,\,{\mathbb {R} ''}_{+})\,\,:\,\,a\leq b$.

Alors $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus [0,a])={card}_{Q,{\cal {R}}}(]a,b])+{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus [0,b])}$

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R)$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+})-1$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({N}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1$

$=2\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N)-1{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1$

Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale

De manière non classique, on considère : "$+\infty$" et "$+\infty ''$" comme des ensembles tels que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$, $+\infty ''=\{x\,\,|\,\,\forall a''\in \mathbb {R} '',\,\,x>a''\}$ et $+\infty ''\subsetneq +\infty$ car $\mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} ''$,

et où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et $\sup(\mathbb {R} '')\in +\infty ''$.

On pose : ${R}_{+}={\Big [}{\mathbb {R} '}_{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} '}{\Big ]}$ et $N={\Big [}\mathbb {N} ',{(\mathbb {N} '\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} '}{\Big ]}$.

(respectivement ${R}_{+}={\Big [}{\mathbb {R} ''}_{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}$ et $N={\Big [}\mathbb {N} '',{(\mathbb {N} ''\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}$)

Soit $a\in {\mathbb {R} '}_{+}$ (respectivement $a\in {\mathbb {R} ''}_{+}$).

"$\displaystyle {{\Big [}]a,+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}[,{([0,r]\setminus [0,a])}_{r\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{ou}}\,\,{\Big [}]a,+\infty ''[,{([0,r]\setminus [0,a])}_{r\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}={R}_{+}\setminus [0,a]}$"

mais si on veut utiliser une notation qui se passe des notations "$+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }},+\infty ''$" où $+\infty ''$ est vu comme un point, on ne peut pas le noter comme dans le 1er membre de l'égalité ci-dessus,

mais cette opération n'est pas obligatoire si ${R}_{+}={\Big [}{\mathbb {R} '}_{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} '}{\Big ]}$, car ${\mathbb {R} '}_{+}=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}[$ et $+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}$ est un point.

On a :

${card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus [0,a])+1$

${card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus [0,a[)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})-{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,a[)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-a\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

$={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})-a{\Big )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[){\Big )}$

$={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})-a{\Big )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus [0,a])+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})-a}$

Soit $a\in {\mathbb {R} '}_{-}$ (respectivement $a\in {\mathbb {R} ''}_{-}$).

"$\displaystyle {{\Big [}]a,+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}[,{([0,r]\bigcup ]a,0[)}_{r\in N'}{\Big ]}\,\,{\text{ou}}\,\,{\Big [}]a,+\infty ''[,{([0,r]\bigcup ]a,0[)}_{r\in N''}{\Big ]}={R}_{+}\bigcup ]a,0[}$"

mais si on veut utiliser une notation qui se passe des notations "$+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }},+\infty ''$" où $+\infty ''$ est vu comme un point, on ne peut pas le noter comme dans le 1er membre de l'égalité ci-dessus,

mais cette opération n'est pas obligatoire si ${R}_{+}={\Big [}{\mathbb {R} '}_{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} '}{\Big ]}$, car ${\mathbb {R} '}_{+}=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}[$ et $+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}$ est un point.

On a :

${card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\bigcup ]a,0[)+1$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\bigcup [a,0[)}$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{+})+{card}_{Q,{\cal {R}}}([a,0[)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-a\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

$={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})-a{\Big )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[){\Big )}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\bigcup ]a,0[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N^{*})-a}$

Soit $a\in {\mathbb {R} '}_{+}$ (respectivement $a\in {\mathbb {R} ''}_{+}$).

On a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus [0,a])={card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{-}\setminus [-a,0])}$

On en déduit que $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{+}\setminus [0,a[)={card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{-}\setminus ]-a,0])}$

Définitions de $diam$ et ${\widetilde {diam}}$

Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$" concernant l'objet suivant : "${\widetilde {diam}}$".

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Définition :

a) Soit $\displaystyle {{diam}\,\,:\,\,{\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\overline {\mathbb {R} _{+}}}\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{diam}(A)=\sup _{(x,y)\in A\times A}d_{{\mathbb {R} }^{n}}(x,y)}$

où $d_{{\mathbb {R} }^{n}}$ est la distance euclidienne sur ${\mathbb {R} }^{n}$

c'est-à-dire $\displaystyle {d_{{\mathbb {R} }^{n}}\,\,:\,\,{\mathbb {R} }^{n}\times {\mathbb {R} }^{n}\,\,\rightarrow \,\,{\mathbb {R} }_{+}\,\,:\,\,(x,y)={\Big (}{(x_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}},{(y_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}{\Big )}\mapsto \,\,d_{{\mathbb {R} }^{n}}(x,y)={{\Big (}\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}{|x_{i}-y_{i}|}^{2}{\Big )}}^{\frac {1}{2}}}$

b) Soit $\displaystyle {{\widetilde {diam}}\,\,:\,\,{\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\overline {{\mathbb {R} ''}_{+}}}\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{\widetilde {diam}}(A)=\sup _{(x,y)\in A\times A}d_{{\mathbb {R} ''}^{n}}(x,y)}$

où $d_{{\mathbb {R} ''}^{n}}$ est la distance euclidienne sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$

c'est-à-dire $\displaystyle {d_{{\mathbb {R} ''}^{n}}\,\,:\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}\times {\mathbb {R} ''}^{n}\,\,\rightarrow \,\,{\mathbb {R} ''}_{+}\,\,:\,\,(x,y)={\Big (}{(x_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}},{(y_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}{\Big )}\mapsto \,\,d_{{\mathbb {R} ''}^{n}}(x,y)={{\Big (}\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}{|x_{i}-y_{i}|}^{2}{\Big )}}^{\frac {1}{2}}}$

Définition des "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $0$ et de dimension $1$, sur $\mathbb {R} ''$

Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "${\widetilde {}}$" concernant les objets suivants : "${\widetilde {{vol}^{1}}}$" ou "${\widetilde {diam}}$".

Tout ce qui a été dit concernant $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,{diam}(A)\in \mathbb {R}$, est aussi valable

concernant leurs homologues $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ''),\,\,{\widetilde {diam}}(A)\in \mathbb {R} ''$

c'est-à-dire les parties $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ''),\,\,{\text{telles que}}\,\,{\widetilde {diam}}(A)\leq {\widetilde {diam}}(\mathbb {R} )$ ou ${\widetilde {diam}}(A)\in +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$

${\Big (}$

Sous réserve : c'est-à-dire comme ${\widetilde {diam}}(\mathbb {R} )={vol}^{1}(\mathbb {R} )=2\,\,{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=2(+\infty _{\mathbb {R} })$,

si $\mathbb {R}$ admet le plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine $O$ du repère orthonormé direct ${\cal {R}}$ :

$\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$,

alors $A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}),\,\,{\widetilde {diam}}(A)\leq {\widetilde {diam}}(\mathbb {R} )={vol}^{1}(\mathbb {R} )=2\,\,{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=2(+\infty _{\mathbb {R} })$

ou ${\widetilde {diam}}(A)\in +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$

${\Big )}$.

${\widetilde {diam}}(\mathbb {R} ')={\widetilde {{vol}^{1}}}(\mathbb {R} ')={\widetilde {{vol}^{1}}}(]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[)=d_{\mathbb {R} ''}(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }})={\Big |}+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}-{\Big (}-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}{\Big )}{\Big |}=2(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }})$,

avec $\displaystyle {{\widetilde {diam}}(\mathbb {R'} _{+})={\widetilde {{vol}^{1}}}(\mathbb {R'} _{+})={\widetilde {{vol}^{1}}}([0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[)=d_{\mathbb {R} ''}(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},0)=|+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}-0|=+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}}$,

on pourra généraliser la notion de cardinal quantitatif, aux ensembles non bornés(') de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ , et même à tous les ensembles de ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

Définition :

La "mesure" de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $1$, sur $\mathbb {R} ''$, est la "mesure" définie par :

$\displaystyle {{\widetilde {{vol}^{1}}}\,\,:\,\,{\cal {B}}(\mathbb {R} '')\,\,\longrightarrow \,\,{\overline {{\mathbb {R} ''}_{+}}}\,\,:\,\,A\longmapsto {\widetilde {{vol}^{1}}}(A)}$

est définie de manière analogue à la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $1$, ${vol}^{1}$, sur $\mathbb {R}$, à la différence qu'il faut remplacer $\mathbb {R}$ par ${\mathbb {R} ''}$.

Remarque :

1) On peut avoir : $\displaystyle {A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} '')\,\,{\text{et}}\,\,{\widetilde {diam}}(A)\in \mathbb {R} \subset \mathbb {R} ''}$

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de $\mathbb {R}$, mais dans $\mathbb {R} ''$ (C'est une sous-classe des parties bornées de $\mathbb {R} ''$),

par exemple la partie $[+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}+1]$ car ${\widetilde {diam}}([+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}+1])=1\in \mathbb {R} \subset \mathbb {R} ''$.

2) $\displaystyle {{\widetilde {{vol}^{1}}}({\mathbb {R} '}_{+})={\widetilde {{vol}^{1}}}({\mathbb {R} '}_{-})=+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}}$

Définition :

La "mesure" de Lebesgue généralisée ou "de Hausdorff", de dimension $0$, sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$ est la "mesure" de comptage définie par :

${\widetilde {{vol}^{0,n}}}\,\,:\,\,\{A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})|{card}_{E}(A)\leq \aleph _{0}\}\,\,\longrightarrow \,\,{\overline {{\mathbb {R} ''}_{+}}}\,\,:\,\,A\longmapsto {\widetilde {{vol}^{0,n}}}(A)$

est définie de manière analogue à la mesure de comptage ${vol}^{0,n}$ sur ${\mathbb {R} }^{n}$, à la différence qu'il faut remplacer $\mathbb {R}$ par ${\mathbb {R} ''}$

Si $A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,{\widetilde {diam}}(A)\in \mathbb {R} \subset \mathbb {R} ''$ (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

Utilisation des "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $0$ et de dimension $1$, sur $\mathbb {R} ''$, de $+\infty _{f}$ et $+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$

Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "${\widetilde {}}$" concernant les objets suivants : "${\widetilde {{vol}^{1}}}$" ou "${\widetilde {diam}}$".

Remarque : Soient $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} _{+})$ ou ${\cal {P}}(\mathbb {R} )$.

$(A<B)\Longleftrightarrow _{d{\acute {e}}f}(\forall x\in A,\,\,\forall y\in B,\,\,x<y)$

On se place dans ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ''$.

Proposition :

Soit $I\in {\cal {P}}(\mathbb {R} '')$ telle que ${card}_{E}(I)\leq \aleph _{0}$

$\displaystyle {\forall {(A_{i})}_{i\in I}\subset {\cal {P}}(\mathbb {R} ''),\,\,\forall i,j\in I,\,\,i\neq j,\,\,A_{i}\bigcap A_{j}=\emptyset ,}$

$\displaystyle {{\widetilde {{vol}^{1}}}{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}=\sum _{i\in I}{\widetilde {{vol}^{1}}}(A_{i})}$

Remarque :

1) Soit $I\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}_{+})$

et ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une partition de $A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}_{+})$, telle que $\forall i\in I,\,\,{\widetilde {diam}}(A_{i})\in \mathbb {R}$

et telle que $\forall i,j\in I,\,\,i<j,\,\,A_{i}<A_{j}$

a) En particulier, en posant $I={\mathbb {N} '}^{*}$ et $\forall i\in I,\,\,A_{i}=[i-1,i[$, intervalle donc partie connexe de $\mathbb {R} ''$

et $\forall i\in I,\,\,{\widetilde {diam}}(A_{i})\in \mathbb {R}$ :

${(A_{i})}_{i\in I}$ est une partition de $A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}_{+})$

et $\forall i,j\in I,\,\,i<j,\,\,A_{i}=[i-1,i[<[j-1,j[=A_{j}$, intervalle donc partie connexe de $\mathbb {R} ''$

et $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,\bigcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}^{*}}A_{i}=\bigcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}^{*}}[i-1,i[=[0,n[}$.

Remarque importante : Dans ma théorie , on définit $\displaystyle {\bigcup _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}A_{i}=_{d{\acute {e}}f}\lim _{n\in {\mathbb {N} ''}^{*},\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}^{*}}A_{i}}$.)

donc $\displaystyle {A=\bigcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}A_{i}=\lim _{n\in {\mathbb {N} ''}^{*},\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}^{*}}A_{i}=\lim _{n\in {\mathbb {N} ''}^{*},\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}[0,n[}$

$\displaystyle {=[0,\lim _{n\in {\mathbb {N} ''}^{*},\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}n[=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}[=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[={\mathbb {R} '}_{+}}$

[Définition de $\displaystyle {\lim _{n\in {\mathbb {N} ''}^{*},\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}^{*}}A_{i}}$, de manière analogue à $\displaystyle {\lim _{n\in {\mathbb {N} }^{*},\,\,n\rightarrow m}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}B_{i}}$ avec $m\in {\mathbb {N} }^{*}$ et $+\infty \not \in {\mathbb {N} }^{*}$, $J={\mathbb {N} }^{*}$, ${(B_{i})}_{i\in J}\subset {\cal {P}}(\mathbb {R} )$]

$\displaystyle {{\widetilde {{vol}^{1}}}({\mathbb {R} '}_{+})={\widetilde {{vol}^{1}}}(A)={\widetilde {{vol}^{1}}}{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}={\widetilde {{vol}^{1}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}A_{i}{\Big )}={\widetilde {{vol}^{1}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}[i-1,i[{\Big )}=\sum _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}{\widetilde {{vol}^{1}}}([i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}{\widetilde {{vol}^{1}}}([0,1[)}$

$\displaystyle {={\widetilde {{vol}^{1}}}([0,1[)\sum _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}1={card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} '}^{*})\,\,{\widetilde {{vol}^{1}}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} '}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ')-1}$

et

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} '}_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}A_{i}{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}[i-1,i[{\Big )}=\sum _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\sum _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}1={card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} '}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ')-1{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

$={\widetilde {{vol}^{1}}}({\mathbb {R} '}_{+})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

b) Si on pose $\displaystyle {I=\mathbb {N} '}$ et $\forall i\in I,\,\,A_{i}=[i,i+1[$, intervalle donc partie connexe de $\mathbb {R} ''$

et $\forall i\in I,\,\,{\widetilde {diam}}(A_{i})\in \mathbb {R}$ :

Dans ma théorie à construire, ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une partition de $A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}_{+})$

et $\forall i,j\in I,\,\,i<j,\,\,A_{i}=[i,i+1[<[j,j+1[=A_{j}$, intervalle donc partie connexe de $\mathbb {R} ''$

et $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,\bigcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}}A_{i}=\bigcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}}[i,i+1[=[0,n+1[}$.

donc $\displaystyle {A=\bigcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in \mathbb {N} '}A_{i}=\lim _{n\in \mathbb {N} '',\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}}A_{i}=\lim _{n\in \mathbb {N} '',\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}[0,n+1[}$

$\displaystyle {=[0,\lim _{n\in \mathbb {N} '',\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}(n+1)[=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}+1[(=[0,({id}_{\mathbb {N} }+1)(+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }})[=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }+1}[)}$

$\displaystyle {=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}[\bigcup [+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}+1[=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[\bigcup [+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}+1[={\mathbb {R} '}_{+}\bigcup [+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}+1[}$

$\displaystyle {=[0,1[\bigcup [1,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}+1[=[0,1[\bigcup ({\mathbb {R} '}_{+}+1)\supsetneq {\mathbb {R} '}_{+}}$

[Définition de $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} '',\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}}A_{i}}$, de manière analogue à $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow m}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }_{n}}B_{i}}$ avec $m\in \mathbb {N}$ et $+\infty \not \in \mathbb {N}$, $J=\mathbb {N}$, ${(B_{i})}_{i\in J}\subset {\cal {P}}(\mathbb {R} )$]

donc $\displaystyle {{\widetilde {{vol}^{1}}}({\mathbb {R} '}_{+})<{\widetilde {{vol}^{1}}}(A)={\widetilde {{vol}^{1}}}{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}={\widetilde {{vol}^{1}}}{\Big (}\bigcup _{i\in \mathbb {N} '}A_{i}{\Big )}={\widetilde {{vol}^{1}}}{\Big (}\bigcup _{i\in \mathbb {N} '}[i,i+1[{\Big )}=\sum _{i\in \mathbb {N} '}{\widetilde {{vol}^{1}}}([i,i+1[)=\sum _{i\in \mathbb {N} '}{\widetilde {{vol}^{1}}}([0,1[)}$

$\displaystyle {={\widetilde {{vol}^{1}}}([0,1[)\sum _{i\in \mathbb {N} '}1={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ')\,\,{\widetilde {{vol}^{1}}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} '})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} '}^{*})+1}$

et

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} '}_{+})<{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in \mathbb {N} '}A_{i}{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigcup _{i\in \mathbb {N} '}[i,i+1[{\Big )}=\sum _{i\in \mathbb {N} '}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i,i+1[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in \mathbb {N} '}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\sum _{i\in \mathbb {N} '}1={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ')\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} '}^{*})+1{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

Dans $\mathbb {R} ''$, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de $\mathbb {R} ''$, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.

2) Les ensembles non bornés de $\mathbb {R} _{+}$ ont tous le même plafonnement à l'infini qui est le point $+\infty$ et il est précédé de nombres réels, alors que les ensembles bornés ou non, de ${\mathbb {R} ''}_{+}$, de diamètre infini ont des plafonnement à l'infini, chacun constitué d'un point à l'infini $+\infty _{f}$ où $f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )$ ou $+\infty ''$, qui lui est précédé d'un ensemble de points à l'infini.

Remarque :

Comme $\displaystyle {\lim _{i\in {\mathbb {N} ''}^{*},\,\,i\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}{id}_{\mathbb {N} ''}(i)=\lim _{i\in \mathbb {N} '',\,\,i\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}{id}_{\mathbb {N} ''}(i)={id}_{\mathbb {N} ''}(+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }})=+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}$

On a, dans ma théorie :

$\displaystyle {\bigcup _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}[i-1,i[=\bigcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}^{*}}[i-1,i[\bigcup \cdots \bigcup [+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }-2},+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }-1}[\bigcup [+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }-1},+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}[=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}[=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[}$

$={(\mathbb {R} _{{id}_{\mathbb {R} }})}_{+}={(\mathbb {R} ')}_{+}\supsetneq \mathbb {R} _{+}$

Attention :

$\mathbb {R} '$ n'est pas ici:

l'ensemble $\mathbb {R} =]-\infty ,+\infty [$, dans sa version usuelle, où "$-\infty ,+\infty$" sont considérés comme des points,

ni l'ensemble $\mathbb {R}$, dans sa version non classique, où "$+\infty$" est considéré comme un ensemble :

De fait, ma notion de cardinal quantitatif, dépend du repère orthonormé dans lequel on se place.

et $\mathbb {R} '$ n'est pas considéré, comme $\mathbb {R}$, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles non bornés

(une infinité : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

$\displaystyle {-{\Big (}(\mathbb {R} _{+}^{'}-1)\setminus [-1,0[{\Big )}\bigcup {\Big (}(\mathbb {R} _{+}^{'}-1)\setminus [-1,0[{\Big )}}$

$\displaystyle {=]-(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}-1),+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}-1[}$

$\displaystyle {={\Big ]}-{\Big (}{id}_{\mathbb {R} }(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }})-1{\Big )},{id}_{\mathbb {R} }(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }})-1{\Big [}}$

$\displaystyle {=]-(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }-1}),+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }-1}[}$

$\displaystyle {=]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }-1},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }-1}[}$)

et pouvant être, strictement, inclus dans d'autres ensembles non bornés

(une infinité : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

$\displaystyle {-{\Big (}(\mathbb {R} _{+}^{'}+1)\bigcup [0,1[{\Big )}\bigcup {\Big (}(\mathbb {R} _{+}^{'}+1)\bigcup [0,1[{\Big )}}$

$\displaystyle {=]-(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}+1),+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}+1[}$

$\displaystyle {={\Big ]}-{\Big (}{id}_{\mathbb {R} }(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }})+1{\Big )},{id}_{\mathbb {R} }(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }})+1{\Big [}}$

$\displaystyle {=]-(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }+1}),+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }+1}[}$

$\displaystyle {=]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }+1},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }+1}[}$).

$\mathbb {R} ''$ étant le nouvel espace-univers.

Attention : Dans ma théorie : $\mathbb {N} '+1\neq {\mathbb {N} '}^{*}$, en fait on considère que $\mathbb {N} '+1$ va au delà de $\mathbb {N} '$, à droite, ce qui n'est pas le cas de ${\mathbb {N} '}^{*}$.

Par ailleurs : On a ${card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} '+1)={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ')$ et ${card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} '}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ')-1$

Mais $\mathbb {N} +1=\mathbb {N} ^{*}$

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} +1)={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} )-1}$.

Compléments

Remarque : J'hésite à omettre la notation "${\widetilde {}}$" concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$.

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

De manière non classique : On considère "$+\infty$" et "$+\infty ''$" comme des ensembles tels que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$ , $+\infty ''=\{x\,\,|\,\,\forall a''\in \mathbb {R} '',\,\,x>a''\}$ et $+\infty ''\subsetneq +\infty$ car $\mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} ''$.

L'ensemble $\mathbb {R}$ est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

On définit les "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $i$ $(0\leq i\leq n)$, sur ${\mathbb {R} }^{n}$, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"

(Le cas $i=0$ étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),

ce sont, en particulier, des applications telles que :

${vol}^{0}\,\,:\,\,\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,{dim}(A)=0\}\subsetneq {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\overline {{\mathbb {R} }_{+}}}={\mathbb {R} }_{+}\bigcup \{\sup(\mathbb {R} )\}$,

et

$\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{vol}^{i}\,\,:\,\,\{A\in {\mathcal {B}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,{dim}(A)=i\}\subsetneq {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\overline {{\mathbb {R} }_{+}}}={\mathbb {R} }_{+}\bigcup \{\sup(\mathbb {R} )\}$,

${\Big (}$Compléments :

Mesures de Hausdorff [de dimension $i$ $(0\leq i\leq n)$], généralisant celle de Lebesgue (de dimension $n$), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"

(Le cas $i=0$ étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension $i$)] :

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demange/integration/2013/poly_integration_mai2013.pdf

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de Hausdorff

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de Hausdorff

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue

/II.1 Mesures de Haussdorf/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue

/II.3 Définition alternative de la mesure de Lebesgue/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue

/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de $\mathbb {R} ^{d}$/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.${\Big )}$

ces dernières servent à construire la "mesure" cardinal quantitatif relatif à un repère orthonormé ${\cal {R}}$, ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ dans ${\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$,

et en particulier à construire pour tout $A_{n}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n}),\,\,{\mbox{non bornee et}}\,\,{vol}^{n}{\mbox{-mesurable}},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})$,

en utilisant une formule du type $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})=\sum _{i=0}^{n}c_{i,n,{\cal {R}}}(A_{n})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n,i})}$,

où ${(A_{n,i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ est une suite de produits d'intervalles de $\mathbb {R}$

telle que

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,A_{n,i}=\prod _{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}I_{n,i,j}}$ où $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,\forall j\in \mathbb {N} _{i}^{*},I_{n,i,j}}$ est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de $\mathbb {R}$

et $A_{n,0}=I_{n,0}$ où $I_{n,0}$ est un intervalle non vide de $\mathbb {R}$, réduit à un singleton,

et où $\displaystyle {{{\Big (}c_{i,n,{\cal {R}}}(A_{n}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{n}}\in \prod _{i\in \mathbb {N} _{n}}{R_{i}}}$

$\displaystyle {={\widehat {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}}{\Big (}{\mathcal {A}}_{0}{\Big )}\times \prod _{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}{\Big \{}a_{i}+{\frac {b_{i}}{c_{i}}}\,\,{\Big |}\,\,a_{i}\in {\widehat {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}}{\Big (}{\mathcal {A}}_{0}{\Big )},b_{i}\in {\widehat {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}}{\Big (}{\mathcal {A}}_{i}{\Big )},c_{i}\in {\widehat {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}}{\Big (}{\mathcal {A}}_{i}\setminus \{\emptyset \}{\Big )},{\frac {b_{i}}{c_{i}}}<1{\Big \}}}$

dépend de $A_{n}$, ${({\widetilde {{vol}^{i}}})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ et ${\cal {R}}$,

où ${\mathcal {A}}_{0}=\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,{dim}(A)=0\}$

et où $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\mathcal {A}}_{i}={\mathcal {A}}_{0}\bigcup \{A\in {\mathcal {B}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,1\leq {dim}(A)\leq i\}}$,

et où ${\widehat {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}}{\Big (}{\mathcal {A}}{\Big )}=\{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)\,\,|\,\,A\in {\mathcal {A}}\}$

et on a : $c_{0,n,{\cal {R}}}(A_{n})=card_{Q}(N_{n})$, avec $N_{n}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$ et ${card}_{E}(N_{n})\leq {card}_{E}(\mathbb {N} )$.

Et plus particulièrement où ${(A_{n,i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ est une suite de produits d'intervalles de $\mathbb {R}$

telle que

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,A_{n,i}=I^{i}}$ où $I$ est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de $\mathbb {R}$

et $A_{n,0}=I^{0}$ où $I^{0}$ est un intervalle non vide de $\mathbb {R}$, réduit à un singleton,

et où $\displaystyle {{{\Big (}c_{i,n,{\cal {R}}}(A_{n}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{n}}\in \prod _{i\in \mathbb {N} _{n}}{R_{i}}}$

$\displaystyle {={\widehat {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}}{\Big (}{\mathcal {A}}_{0}{\Big )}\times \prod _{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}{\Big \{}a_{i}+{\frac {b_{i}}{c_{i}}}\,\,{\Big |}\,\,a_{i}\in {\widehat {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}}{\Big (}{\mathcal {A}}_{0}{\Big )},b_{i}\in {\widehat {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}}{\Big (}{\mathcal {A}}_{i}{\Big )},c_{i}\in {\widehat {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}}{\Big (}{\mathcal {A}}_{i}\setminus \{\emptyset \}{\Big )},{\frac {b_{i}}{c_{i}}}<1{\Big \}}}$

dépend de $A_{n}$, ${({\widetilde {{vol}^{i}}})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ et ${\cal {R}}$,

où ${\mathcal {A}}_{0}=\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,{dim}(A)=0\}$

et où $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\mathcal {A}}_{i}={\mathcal {A}}_{0}\bigcup \{A\in {\mathcal {B}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,1\leq {dim}(A)\leq i\}}$,

et où ${\widehat {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}}{\Big (}{\mathcal {A}}{\Big )}=\{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)\,\,|\,\,A\in {\mathcal {A}}\}$

et on a : $c_{0,n,{\cal {R}}}(A_{n})=card_{Q}(N_{n})$, avec $N_{n}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$ et ${card}_{E}(N_{n})\leq {card}_{E}(\mathbb {N} )$

NB : Je suis encore incertain sur la forme de l'ensemble $\displaystyle {\prod _{i\in \mathbb {N} _{n}}{R_{i}}}$.

Dans ce qui précède, on peut remplacer $\mathbb {R}$ et $\mathbb {N}$, par $\mathbb {R} ''$ et $\mathbb {N} ''$.

NB : L'ensemble $\mathbb {R} ''$ est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté $\sup(\mathbb {R} '')\in +\infty ''\subsetneq +\infty$.

Compléments :

Rappel : Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) $\Omega$ de $\mathbb {R} ^{n}$ est dite ou est dit de classe ou de régularité $X$ (par exemple de classe ou de régularité $C^{k}$ pour un $k\in \mathbb {N}$), si son bord $\partial \Omega$ est de classe ou de régularité $X$ (par exemple de classe ou de régularité $C^{k}$ pour le même $k\in \mathbb {N}$ précédent).

Rappel :

Le bord d'une partie $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ est défini par $\partial A={\overline {A}}\setminus {\stackrel {\circ }{A}}$.

Le "bord" d'une partie $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ est défini par $''\partial A''=A\setminus {\stackrel {\circ }{A}}$.

Attention :

La dimension d'une partie de ${\mathbb {R} }^{n}$,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de Hausdorff d'une partie de ${\mathbb {R} }^{n}$,

Dimension de Hausdorff (Wikipedia)

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe $C^{0}$, connexes",

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe $C^{0}$, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non $C^{0}$" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non $C^{0}$") (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

Variété topologique (Wikipedia)

Variété (géométrie) (Wikipedia)

J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe $C^{0}$, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages :

Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :

Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.

D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe $C^{0}$ ou non $C^{0}$, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe $C^{0}$, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe $C^{0}$ ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

Axiomes supplémentaires traitant du cas du cardinal quantitatif des parties non bornées de ${\mathbb {R} ''}^{n}$

C) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2k\pi ;\,\,k\in \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\\mathbb {R} ^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(O,\theta _{n})}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$

D) $\forall A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2k\pi ;\,\,k\in \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\\mathbb {R} ^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(O,\theta _{n})}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$

F)

a) $\displaystyle {\forall A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,A\,\,{\text{non bornée}}}$,

$\displaystyle {et\,\,telle\,\,que\,\,\exists P_{0}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,ou\,\,{\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,d{\acute {e}}limit{\acute {e}}e\,\,par\,\,un\,\,hyperplan\,\,H_{0}\,\,passant\,\,par\,\,O}$

$\displaystyle {et\,\,telle\,\,que\,\,A\subset P_{0}\,\,alors\,\,\forall x_{0},{x_{0}}'\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,\exists {x_{\parallel _{H_{0}}}},{x_{\parallel _{H_{0}}}}'\parallel H_{0}\,\,et\,\,\exists {x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{\perp _{H_{0}}}}'\perp H_{0},}$

$\displaystyle {x_{0}={x_{\parallel _{H_{0}}}}+{x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{0}}'={x_{\parallel _{H_{0}}}}'+{x_{\perp _{H_{0}}}}'\,\,et\,\,{x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{\perp _{H_{0}}}}'\,\,orientes\,\,vers\,\,P_{0}\,\,et\,\,tels\,\,que\,\,\|x_{0}\|<\|{x_{0}}'\|,}$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A+x_{0})>{card}_{Q,{\cal {R}}}(A+{x_{0}}')}$

(Axiome en cours d'étude)

b) $\forall a,a'\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,\forall b,b'\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,:\,\,\|b\|<\|b'\|$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a.{id}_{{\mathbb {R} ''}^{n}}+b){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a'.{id}_{{\mathbb {R} ''}^{n}}+b){\Big )}}$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a.{id}_{{\mathbb {R} ''}^{n}}+b){\Big )}>{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a.{id}_{{\mathbb {R} ''}^{n}}+b'){\Big )}}$ si $b,b'\perp H_{a,0}=a.{id}_{{\mathbb {R} ''}^{n}}({\mathbb {R} ''}^{n})$

(Axiome en cours d'étude)

Remarque (Sous réserve) : Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.

Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif, dans certains cas de parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$

Cas des parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ (Il y a une condition de "plafonnement à l'infini", à prendre en compte)

Soit $f\in {\cal {C}}^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$

Soit $A_{f}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|y\leq f(x)\}$

alors

${card}_{Q,2}(A_{f})$

$\displaystyle {={card}_{Q,2}{\Big (}\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|y\leq f(x)\}{\Big )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,2}{\Big (}\bigcup _{x'\in \mathbb {R} }{\Big ]}(x',-\infty ),{\Big (}x',f(x'){\Big )}{\Big ]}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\int _{\mathbb {R} }{card}_{Q,1}{\Big (}{\Big ]}(x',-\infty ),{\Big (}x',f(x'){\Big )}{\Big ]}{\Big )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {=\int _{\mathbb {R} }{card}_{Q,1}{\Big (}]-\infty ,f(x')]{\Big )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {=\int _{\mathbb {R} }{card}_{Q,1}{\Big (}[-f(x'),+\infty [{\Big )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {=\int _{\mathbb {R} }{\Big (}{card}_{Q,1}(\mathbb {N} )\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+f(x')\,\,{card}_{Q,1}([0,1[){\Big )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {={card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{card}_{Q,1}(\mathbb {N} )\,\,\int _{\mathbb {R} }d\,\,{card}_{Q,1}(x')+{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{\mathbb {R} }f(x')\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {={card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{card}_{Q,1}(\mathbb {N} )\,\,{card}_{Q,1}(\mathbb {R} )+{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{\mathbb {R} }f(x')\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {=\underbrace {{card}_{Q,1}(\mathbb {R} _{+})\,\,{card}_{Q,1}(\mathbb {R} )} _{={card}_{Q,2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+})}+{\frac {{card}_{Q,1}(\mathbb {R} _{+})}{{card}_{Q,1}(\mathbb {N} )}}\,\,\int _{\mathbb {R} }f(x')\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {={card}_{Q,1}(\mathbb {R} _{+})\,\,{\Big (}{card}_{Q,1}(\mathbb {R} )+{\frac {1}{{card}_{Q,1}(\mathbb {N} )}}\,\,\int _{\mathbb {R} }f(x')\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x'){\Big )}}$

$\displaystyle {={\frac {1}{2}}{\Big (}{card}_{Q,1}(\mathbb {R} )+1{\Big )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,1}(\mathbb {R} )+{\frac {1}{{card}_{Q,1}(\mathbb {N} )}}\,\,\int _{\mathbb {R} }f(x')\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x'){\Big )}}$

Soit $f,g\in C^{0}(\mathbb {R} ,{\overline {\mathbb {R} }})$

Soit $A_{f,g}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|f(x)\leq _{f(x)}y\leq _{g(x)}g(x)\}$

avec $\forall x\in \mathbb {R} ,\,\,\leq _{f(x)}=\leq _{{\Big (}x,f(x){\Big )}},\leq _{g(x)}=\leq _{{\Big (}x,g(x){\Big )}}\in \{<,\leq \}$

alors

${card}_{Q}(A_{f,g})$

$\displaystyle {={card}_{Q,2}{\Big (}\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|f(x)\leq _{f(x)}y\leq _{g(x)}g(x)\}{\Big )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,2}{\Bigg (}\bigcup _{x'\in \mathbb {R} }{\bigg (}_{{\Big (}x',f(x'){\Big )}}{\Big (}x',f(x'){\Big )},{\Big (}x',g(x'){\Big )}{\bigg )}_{{\Big (}x',g(x'){\Big )}}{\Bigg )}}$

$\displaystyle {=\int _{\mathbb {R} }{card}_{Q,1}{\Bigg (}{\bigg (}_{{\Big (}x',f(x'){\Big )}}{\Big (}x',f(x'){\Big )},{\Big (}x',g(x'){\Big )}{\bigg )}_{{\Big (}x',g(x'){\Big )}}{\Bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {=\int _{\mathbb {R} }{card}_{Q,1}{\bigg (}{\Big (}_{f(x')}f(x'),g(x'){\Big )}_{g(x')}{\bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer le cardinal quantitatif de n'importe quelle partie de $\mathbb {R} ^{n}$.

Les propriétés que doit vérifier le cardinal quantitatif ou que l'on veut voir vérifier par le cardinal quantitatif

Remarque

Remarque : Soient ${\cal {R,{\cal {R'}}}}$, deux repères orthonormés de $\mathbb {R} ^{n}$, d'origines respectives $O,O'$

alors, si $O=O'$, on a : $card_{Q,{\cal {R}}}=card_{Q,{\cal {R'}}}$

et si $O\neq O'$ et $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ bornée, alors on a : ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}'}(A)$.

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$.

On pose, pour simplifier, $card_{Q}=card_{Q,{\cal {R}}}$.

0) Soient $A\,\,{\mbox{et}}\,\,B$, des ensembles finis, alors :

${card}_{Q}(A)={card}_{E}(A)$

$\forall A\subsetneq B,\,\,{card}_{E\,\,{\mbox{ou}}\,\,Q}(A)<{card}_{E\,\,{\mbox{ou}}\,\,Q}(B)$

1) Soient $A\,\,{\mbox{et}}\,\,B$, des ensembles infinis, alors :

$\exists A\subsetneq B\,\,:\,\,{card}_{E}(A)={card}_{E}(B)$

mais $\forall A\subsetneq B,\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(B)$

2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal équipotentiel" et le CQ :

Soient $A\,\,{\mbox{et}}\,\,B$, des ensembles, alors :

${card}_{E}(A)={card}_{E}(B)\,\,\not \Longrightarrow {card}_{Q}(A)={card}_{Q}(B)$

${card}_{E}(A)={card}_{E}(B)\,\,\Longleftarrow {card}_{Q}(A)={card}_{Q}(B)$

${card}_{E}(A)<{card}_{E}(B)\,\,\Longrightarrow {card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(B)$

${card}_{E}(A)<{card}_{E}(B)\,\,\not \Longleftarrow {card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(B)$

Définition d'une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement à l'ensemble $\mathbb {R} ''^{n}$, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et propriétés du cardinal quantitatif

Soit ${\cal {R}}={\Big (}O,{(e_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}{\Big )}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement de $\mathbb {R} ''^{n}$),

on considère que ${\cal {C}}$ est une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$), pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$), et contenant $\{O\}$

c'est-à-dire :

${\cal {C}}\subset {\cal {P(\mathbb {R} ^{n})}}$ ${\Big (}$ respectivement ${\cal {P(\mathbb {R} ''^{n}){\Big )}}}$

et $\emptyset ,\,\,\{O\},\,\,\mathbb {R} ^{n}\,\,({\mbox{respectivement}}\,\,\mathbb {R} ''^{n})\in {\cal {C}}\,\,{\mbox{et}}\,\,\forall A,B\in {\mathcal {C}},\,\,A\subsetneq B,\,\,{\Big (}(\exists C\in {\mathcal {C}}\,\,:\,\,A\subsetneq C\subsetneq B)\,\,{\mbox{ou}}\,\,(\exists x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}\setminus A\,\,[{\text{respectivement}}\,\,\mathbb {R} ''^{n}\setminus A]\,\,:\,\,B=A\bigcup \{x_{0}\}){\Big )}$

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.

En effet, dans ce cas, moyennant l'axiome de définition :

$A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big (}{\mbox{respectivement}}\,\,{\cal {P}}(\mathbb {R} ''^{n}){\Big )}\,\,:\,\,A\subsetneq B\,\,\Longrightarrow \,\,card_{Q,{\cal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$

Comme ${\mathcal {C}}\subset {\cal {P(\mathbb {R} ^{n})}}$ ${\Big (}$ respectivement ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$,

on a $A,B\in {\mathcal {C}}\,\,:\,\,A\subsetneq B\,\,\Longrightarrow \,\,card_{Q,{\cal {R}}}(A)<card_{Q,{\cal {R}}}(B)$ et comme ${\mathcal {C}}$ est totalement ordonnée pour $\subset$,

on obtient donc que $\{card_{Q,{\cal {R}}}(A)|A\in {\mathcal {C}}\}$ est totalement ordonné pour $\leq$.

Par ailleurs, on a ${\bigg \{}card_{Q,{\cal {R}}}(A){\bigg |}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big (}{\mbox{respectivement}}\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ''^{n}){\Big )}{\bigg \}}=\{card_{Q,{\cal {R}}}(A)|A\in {\mathcal {C}}\}$.

Donc $\forall {\mathcal {C_{1}}},\,\,{\mathcal {C_{2}}}$ chaînes exhaustives de parties de $\mathbb {R} ^{n}\,\,({\mbox{respectivement}}\,\,\mathbb {R} ''^{n})$, pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$), et contenant $\{O\}$,

$\{{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{1})|A_{1}\in {\cal {C}}_{1}\}=\{{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{2})|A_{2}\in {\cal {C}}_{2}\}$

et $\forall A_{1}\in {\cal {C}}_{1},\,\,\exists A_{2}\in {\cal {C}}_{2},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{1})={card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{2})$

Cardinaux négatifs ou complexes

Soient $\displaystyle {{\Omega }_{\varepsilon _{1}},{\Omega }_{\varepsilon _{2}}{\subset }\Omega ,\,\,\Omega _{\varepsilon _{1}}\bigcap \Omega _{\varepsilon _{2}}=\emptyset \,\,:\,\,{card}({\Omega }_{\varepsilon _{1}})={card}({\Omega }_{\varepsilon _{2}})}$

Soient $\displaystyle {A_{\varepsilon _{1}},A_{\varepsilon _{2}}\subset \Omega ,\,\,A_{\varepsilon _{1}}\subset {\Omega }_{\varepsilon _{1}},\,\,A_{\varepsilon _{2}}\subset {\Omega }_{\varepsilon _{2}}\,\,:\,\,{card}(A_{\varepsilon _{1}})={card}(A_{\varepsilon _{2}})}$

et

Alors on définit la relation suivante :

$\forall i,j\in \mathbb {N} _{2}^{*},\,\,i\neq j,$

$\displaystyle {{\Omega }_{\varepsilon _{i}}{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}A_{\varepsilon _{i}}{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}{\emptyset }{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}A_{\varepsilon _{j}}{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}$

$\displaystyle {{\Omega }_{\varepsilon _{i}}{\supset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{i}}}A_{\varepsilon _{i}}{\supset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{i}}}{\emptyset }{\supset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{i}}}A_{\varepsilon _{j}}{\supset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{i}}}{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}$

$\Longleftrightarrow _{def}$

(1)

$\displaystyle {{\emptyset }{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}A_{\varepsilon _{j}}{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}$

$\Longleftrightarrow$

$\subset _{\varepsilon _{j}}=\supset _{\varepsilon _{i}}=\subset$

$\displaystyle {{\emptyset }{\subset }A_{\varepsilon _{j}}\subset \Omega _{\varepsilon _{j}}}$

(2)

$\displaystyle {{\Omega }_{\varepsilon _{i}}{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}A_{\varepsilon _{i}}{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}{\emptyset }}$

$\Longleftrightarrow$

${\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}={\supset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{i}}}=\supset$

$\displaystyle {{\Omega }_{\varepsilon _{i}}{\supset }A_{\varepsilon _{i}}{\supset }{\emptyset }}$

De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

$\displaystyle {\forall \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\in \{-1,1,{\underline {i}}\},\,\,\varepsilon _{1}\neq \varepsilon _{2},\,\,{card}_{{\Omega }_{\varepsilon _{1}}}(A_{\varepsilon _{2}})=\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}{card}_{{\Omega }_{\varepsilon _{1}}}(A_{\varepsilon _{1}})\,\,et\,\,{card}_{{\Omega }_{\varepsilon _{1}}}(A_{\varepsilon _{1}})={card}(A_{\varepsilon _{1}})={card}(A_{\varepsilon _{2}})={card}_{{\Omega }_{\varepsilon _{2}}}(A_{\varepsilon _{2}})}$

et

$0={card}(\emptyset )={card}_{{\Omega }_{\varepsilon _{1}}}(\emptyset )={card}_{{\Omega }_{\varepsilon _{2}}}(\emptyset )$

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