« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions

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== Suites de Cauchy ==
== Suites de Cauchy ==
La notion générale de suite de Cauchy dans à valeurs dans un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]] se particularise à un evn, avec la définition suivante :
La notion générale de suite de Cauchy à valeurs dans un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]] se particularise à un e.v.n., avec la définition suivante :
{{Définition
{{Définition
| titre = Définition : [[Topologie générale/Complétude#Suite de Cauchy|suite de Cauchy]]
| titre = Définition : [[Topologie générale/Complétude#Suite de Cauchy|suite de Cauchy]]
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}}
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Voici une propriété vraie dans tout espace métrique et qu'on démontre comme dans <math>\R</math> :
Voici deux [[Topologie générale/Complétude#Propriétés|propriétés vraies dans tout espace métrique]] :

{{Propriété|titre=Propriétés
| contenu =
*Toute suite de Cauchy est bornée.
*Toute suite convergente est de Cauchy.
}}


{{Propriété
| contenu =:*Toute suite de Cauchy est bornée.
:*Toute suite convergente est de Cauchy.
}}'''Remarque :''' La réciproque du deuxième point est fausse en générale, c'est ce qui conduit à la définition d'un espace complet au paragraphe suivant.


== Espace de Banach ==
== Espace de Banach ==
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}}


{{Exemple|contenu=
{{Exemple|titre=Exemple d'espace de Banach|contenu=
[[Topologie générale/Complétude#Espace complet|ℝ{{exp|''n''}} est complet]] pour la [[../Définitions - Éléments de Topologie#Définitions|norme ∥ ∥{{ind|''p''}}]], pour tout ''p'' ∈ [1, +∞] (donc en fait pour toutes les normes sur cet espace car, comme nous le verrons au chapitre suivant, toutes sont équivalentes).
[[Topologie générale/Complétude#Espace complet|ℝ{{exp|''n''}} est complet]] pour la [[../Définitions - Éléments de Topologie#Définitions|norme ∥ ∥{{ind|''p''}}]], pour tout ''p'' ∈ [1, +∞] (donc en fait pour toutes les normes sur cet espace car, comme nous le verrons au chapitre suivant, toutes sont équivalentes).
}}
{{Exemple|titre=Exemples d'espaces non complets|contenu=
*L'[[Topologie générale/Complétude#Espace complet|exemple classique d'espace métrique non complet]] est ℚ (muni de la distance usuelle).
*Pour trouver un exemple d'espace ''vectoriel normé'' (sur ℝ) non complet, il faut sortir des sentiers battus puisque d'après l'exemple ci-dessus, les e.v.n. réels de dimension finie sont complets. Mais en fait, [[w:Espace vectoriel normé#Complétude|tout e.v.n. réel de dimension dénombrable est non complet]].
}}
}}



Version du 6 août 2020 à 22:09

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Espaces de Banach - Complétude
Icône de la faculté
Chapitre no 5
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chap. préc. :Connexité
Chap. suiv. :Dimension finie
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Espaces vectoriels normés : Espaces de Banach - Complétude
Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude
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Dans toute la suite, (E, ∥ ∥) est un espace vectoriel normé (e.v.n.).

Suites de Cauchy

La notion générale de suite de Cauchy à valeurs dans un espace métrique se particularise à un e.v.n., avec la définition suivante :


Voici deux propriétés vraies dans tout espace métrique :


Espace de Banach



Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Pour toute série convergente à valeurs dans E, on a une majoration de la norme de la somme (par passage à la limite dans la majoration évidente des normes des sommes partielles) :

,

mais ce majorant peut être .

Une série à valeurs dans E est dite « absolument convergente » si elle vérifie : .

Cette appellation est trompeuse car — contrairement au cas où E est de dimension finie — si E est un e.v.n. quelconque, une telle série ne converge pas nécessairement dans E ; l'implication qu'elle sous-entend est en fait une caractérisation des espaces de Banach :

Théorèmes

Dans un espace de Banach, on dispose, comme dans tout espace métrique complet, du théorème des fermés emboîtés, du critère de Cauchy pour une fonction et du théorème du point fixe de Picard-Banach.