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:On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.
:On définit de même des recouvrements fermés, [[Topologie générale/Complétude#Diamètre d'une partie|bornés]], etc.
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| titre = Définition : [[Topologie générale/Compacité#Définitions|partie compacte]]
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*Toute partie compacte de ''E'' est fermée.
*Toute partie compacte de ''E'' est fermée et bornée.
*Soit ''A'' une partie compacte de ''E''. Toute partie fermée de ''A'' est compacte.
*Soit ''A'' une partie compacte de ''E''. Toute partie fermée de ''A'' est compacte.
*Toute union finie de parties compactes de ''E'' est compacte.
*Toute union finie de parties compactes de ''E'' est compacte.
*Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de ''E'' est compacte.
*Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de ''E'' est compacte.
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{{Démonstration déroulante|contenu=Voir [[Topologie générale/Compacité#Premières propriétés]] ou [[Topologie générale/Exercices/Compacité#Exercice 1]].
{{Démonstration déroulante|contenu=Voir [[Topologie générale/Compacité#Espaces métriques compacts]] (remarque suivant le lemme 1), [[Topologie générale/Compacité#Premières propriétés]] et [[Topologie générale/Exercices/Compacité#Exercice 1]].
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Alors, [[Topologie générale/Compacité#Compacité et applications continues|''f''(''A'') est une partie compacte]] de ''F''.
Alors, [[Topologie générale/Compacité#Compacité et applications continues|''f''(''A'') est une partie compacte]] de ''F''.
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== Parties [[Topologie générale/Complétude#Diamètre d'une partie|bornées]]==
{{Théorème|contenu=Toute partie compacte d'un e.v.n. [[Topologie générale/Compacité#Espaces métriques compacts|est (précompacte donc) bornée]].}}


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Version du 11 septembre 2019 à 12:55

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Compacité
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Chapitre no 3
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chap. préc. :Limites et continuité
Chap. suiv. :Connexité
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Espaces vectoriels normés/Compacité
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Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Dans toute la suite, E est un ℝ-espace vectoriel normé.

Définitions

Remarque
On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.


Premières propriétés

Valeurs d'adhérence


Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a :


Rappelons que si une suite converge vers alors toutes ses sous-suites convergent vers . Par conséquent (d'après la proposition ci-dessus), est alors son unique valeur d'adhérence.

Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a en outre une caractérisation séquentielle de la compacité :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Exemples d'applications :


Compacité et applications continues

Début d’un théorème
Fin du théorème