« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions
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→Valeurs d'adhérence : rectif + précision + mep + transfert dans ../Limites et continuité d'un critère de convergence sans rapport avec la compacité |
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|titre = Définition : Suite extraite, Valeur d'adhérence |
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Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>. |
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*On dit que <math>(u_{n_k})_{k\in \N}</math> est une '''[[Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites|suite extraite]]''' de <math>(u_n)_{n\in \N}</math> si la suite <math>(n_k)</math> est à valeurs dans <math>\N</math> et strictement croissante. |
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*On dit que <math>a</math> est une '''valeur d'adhérence''' de <math>(u_n)</math> s'il existe une suite extraite <math>(u_{n_k})_{k\in \N}</math> qui converge vers <math>a</math>. |
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Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>. |
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#<math>a</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math> si et seulement si tout voisinage <math>V</math> de <math>a</math> contient une infinité de termes de la suite, autrement dit : <math>\forall N\in\N\quad\exist n>N\quad x_n\in V</math>. |
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:En particulier, si <math>(u_n)</math> converge vers <math>a</math> alors <math>a</math> est une valeur d'adhérence pour <math>(u_n)</math>. |
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Un critère plus pratique : |
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:Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>. <math>(u_n)</math> converge vers <math>a</math> si et seulement si les suites <math>(u_{2n})</math> et <math>(u_{2n+1})</math> convergent vers <math>a</math>. |
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:Soit <math>A\subset E</math>. <math>A</math> est compacte si et seulement si toute suite de <math>A</math> admet une valeur d'adhérence <math>a\in A</math>. |
:Soit <math>A\subset E</math>. <math>A</math> est compacte si et seulement si toute suite de <math>A</math> admet une valeur d'adhérence <math>a\in A</math>. |
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:Soient <math>E,\ F</math> deux e.v.n. |
:Soient <math>E,\ F</math> deux e.v.n. et <math>A</math> (resp. <math>B</math>) une partie compacte de <math>E</math> (resp. <math>F</math>). Alors, <math>A\times B</math> est une partie compacte de <math>E\times F</math>. |
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Version du 22 août 2019 à 06:14
Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.
Dans toute la suite, est un -espace vectoriel normé.
Compacité
Définitions
Soient une partie de et une famille de parties de .
On dit que est un recouvrement de si .
Il est dit ouvert si tous les sont ouverts.
Un sous-recouvrement de est une sous-famille () qui est encore un recouvrement de .
Il est dit fini si est fini.
- Remarque
- On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.
Soit une partie de . On dit que est compacte si pour tout recouvrement ouvert , il existe un sous-recouvrement fini.
Soit une partie compacte de ; montrons que est fermé, c.-à-d.que est un voisinage de tout point .
Pour tout , on peut trouver deux boules ouvertes disjointes, contenant et contenant .
Ainsi, est un recouvrement ouvert de , dont on peut extraire un sous-recouvrement fini .
On a alors qui est un ouvert car est fini.
De plus, est disjoint de l'ouvert . On en déduit que car .
Ceci termine de montrer que est un voisinage de .
Soit une partie fermée de et soit un recouvrement ouvert de . En lui adjoignant l'ouvert , on obtient un recouvrement ouvert de .
Puisque est compact, il existe alors une partie finie de telle que , si bien que .
- Toute union finie de parties compactes de est compacte.
- Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de est compacte.
- Soient des parties compactes de et leur réunion.
Soit un recouvrement ouvert de . Alors, pour tout , est un recouvrement ouvert de , dont on peut extraire un sous-recouvrement fini .
L'ensemble est alors fini, et est un recouvrement de . - Soient une famille non vide de parties compactes de , et . On sait que tous les sont fermés, et donc est fermé.
Or . C'est donc un compact, comme partie fermée d'un compact.
Valeurs d'adhérence
Soit et une suite de .
- On dit que est une suite extraite de si la suite est à valeurs dans et strictement croissante.
- On dit que est une valeur d'adhérence de s'il existe une suite extraite qui converge vers .
Soit et une suite de .
- est une valeur d'adhérence de si et seulement si tout voisinage de contient une infinité de termes de la suite, autrement dit : .
- converge vers (si et) seulement si toutes ses suites extraites convergent vers .
En particulier, si une suite converge alors sa limite est son unique valeur d'adhérence.
- Soit . est compacte si et seulement si toute suite de admet une valeur d'adhérence .
Exemple d'application :
- Soient deux e.v.n. et (resp. ) une partie compacte de (resp. ). Alors, est une partie compacte de .