« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions

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|titre = Définition : Suite extraite, Valeur d'adhérence
|titre = Définition : Suite extraite, Valeur d'adhérence
|contenu =
|contenu =
:Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>.
Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>.
:*On dit que <math>(u_{n_k})_{k\in \N}</math> est une '''suite extraite''' de <math>(u_n)_{n\in \N}</math> si la suite <math>(n_k)</math> est à valeurs dans <math>\N</math> et strictement croissante.
*On dit que <math>(u_{n_k})_{k\in \N}</math> est une '''[[Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites|suite extraite]]''' de <math>(u_n)_{n\in \N}</math> si la suite <math>(n_k)</math> est à valeurs dans <math>\N</math> et strictement croissante.
:*On dit que <math>a</math> est une '''valeur d'adhérence''' de <math>(u_n)</math> s'il existe une suite extraite <math>(u_{n_k})_{k\in \N}</math> qui converge vers <math>a</math>.
*On dit que <math>a</math> est une '''valeur d'adhérence''' de <math>(u_n)</math> s'il existe une suite extraite <math>(u_{n_k})_{k\in \N}</math> qui converge vers <math>a</math>.
}}
}}
{{Proposition
{{Proposition
|contenu =
|contenu =
:Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>. <math>a</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math> si et seulement si pour tout voisinage <math>V</math> de <math>a</math> on a <math>\forall \epsilon >0,~\forall N\in \N,~\exist n>N,~x_n\in V </math>.
Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>.
#<math>a</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math> si et seulement si tout voisinage <math>V</math> de <math>a</math> contient une infinité de termes de la suite, autrement dit : <math>\forall N\in\N\quad\exist n>N\quad x_n\in V</math>.
#<math>(u_n)</math> converge vers <math>a</math> (si et) seulement si toutes ses suites extraites convergent vers <math>a</math>.<br>En particulier, si une suite converge alors sa limite est son unique valeur d'adhérence.
}}
}}

{{Proposition
{{Proposition
|titre = Proposition : caractérisation séquentielle de la compacité
|contenu =
:Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>. <math>(u_n)</math> converge vers <math>a</math> si et seulement si toutes ses suites extraites convergent vers <math>l</math>.
:En particulier, si <math>(u_n)</math> converge vers <math>a</math> alors <math>a</math> est une valeur d'adhérence pour <math>(u_n)</math>.
}}
Un critère plus pratique :
{{Proposition
|contenu =
:Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>. <math>(u_n)</math> converge vers <math>a</math> si et seulement si les suites <math>(u_{2n})</math> et <math>(u_{2n+1})</math> convergent vers <math>a</math>.
}}
{{Proposition
|titre = Proposition : Caractérisation séquentielle de la compacité
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|contenu =
:Soit <math>A\subset E</math>. <math>A</math> est compacte si et seulement si toute suite de <math>A</math> admet une valeur d'adhérence <math>a\in A</math>.
:Soit <math>A\subset E</math>. <math>A</math> est compacte si et seulement si toute suite de <math>A</math> admet une valeur d'adhérence <math>a\in A</math>.
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{{Proposition
{{Proposition
|contenu =
|contenu =
:Soient <math>E,\ F</math> deux e.v.n., et <math>A</math> (resp. <math>B</math>) une partie cmpacte de <math>E</math> (resp. <math>F</math>). Alors, <math>A\times B</math> est une partie compacte de <math>E\times F</math>.
:Soient <math>E,\ F</math> deux e.v.n. et <math>A</math> (resp. <math>B</math>) une partie compacte de <math>E</math> (resp. <math>F</math>). Alors, <math>A\times B</math> est une partie compacte de <math>E\times F</math>.
}}
}}



Version du 22 août 2019 à 06:14

Début de la boite de navigation du chapitre
Compacité
Icône de la faculté
Chapitre no 3
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chap. préc. :Limites et continuité
Chap. suiv. :Connexité
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Espaces vectoriels normés : Compacité
Espaces vectoriels normés/Compacité
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Dans toute la suite, est un -espace vectoriel normé.

Compacité

Définitions

Remarque
On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.



Valeurs d'adhérence


Exemple d'application :


Compacité et applications continues

Parties bornées

Diamètre d'une partie

Parties bornées et compacité