Espaces vectoriels normés/Compacité

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Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Dans toute la suite, $E$ est un $\mathbb {R}$-espace vectoriel normé.

Compacité

Définitions

Définition : Recouvrement ouvert, sous-recouvrement.

Soient $A$ une partie de $E$ et $(O_{i})_{i\in I}$ une famille de parties de $E$.

On dit que $(O_{i})_{i\in I}$ est un recouvrement de $A$ si $A\subset \cup _{i\in I}O_{i}$.

Il est dit ouvert si tous les $O_{i}$ sont ouverts.

Un sous-recouvrement de $(O_{i})_{i\in I}$ est une sous-famille $(O_{i})_{i\in J}$ ($J\subset I$) qui est encore un recouvrement de $A$.

Il est dit fini si $J$ est fini.

Remarque

On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.

Définition : Partie compacte.

Soit $A$ une partie de $E$. On dit que $A$ est compacte si pour tout recouvrement ouvert $(O_{i})_{i\in I}$, il existe un sous-recouvrement fini.

Proposition

Toute partie compacte de $E$ est fermée.

Démonstration

Soit $A$ une partie compacte de $E$ ; montrons que $A$ est fermé, c.-à-d.que $E\setminus A$ est un voisinage de tout point $x\in E\setminus A$.

Pour tout $y\in A$, on peut trouver deux boules ouvertes disjointes, $B_{y}$ contenant $y$ et $B_{y}'$ contenant $x$.

Ainsi, $(B_{y})_{y\in A}$ est un recouvrement ouvert de $A$, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini $(B_{y})_{y\in J}$.

On a alors $x\in O':=\cap _{y\in J}B_{y}'$ qui est un ouvert car $J$ est fini.

De plus, $O'$ est disjoint de l'ouvert $O:=\cup _{y\in J}B_{y}$. On en déduit que $O'\subset E\setminus A$ car $A\subset O$.

Ceci termine de montrer que $E\setminus A$ est un voisinage de $x$.

 

Proposition

Soit $A$ une partie compacte de $E$. Toute partie fermée de $A$ est compacte.

Démonstration

Soit $B$ une partie fermée de $A$ et soit $(O_{i})_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $B$. En lui adjoignant l'ouvert $E\setminus B$, on obtient un recouvrement ouvert de $A$.

Puisque $A$ est compact, il existe alors une partie finie $J$ de $I$ telle que $A\subset \left(E\setminus B\right)\cup \cup _{i\in J}O_{i}$, si bien que $B\subset \cup _{i\in J}O_{i}$.

 

Proposition

1. Toute union finie de parties compactes de $E$ est compacte.
2. Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de $E$ est compacte.

Démonstration

1. Soient $A_{1},\cdots ,A_{N}$ des parties compactes de $E$ et $A$ leur réunion.
   Soit $(O_{i})_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $A$. Alors, pour tout $1\leq k\leq N$, $(O_{i})_{i\in I}$ est un recouvrement ouvert de $A_{k}$, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini $(O_{i})_{i\in J_{k}}$.
   L'ensemble $J:=\cup _{k=1}^{N}J_{k}$ est alors fini, et $(O_{i})_{i\in J}$ est un recouvrement de $A$.
2. Soient $\left(B_{t}\right)_{t\in T}$ une famille non vide de parties compactes de $E$, $B:=\cap _{t\in T}B_{t}$ et $t_{0}\in T$. On sait que tous les $B_{t}$ sont fermés, et donc $B$ est fermé.
   Or $B\subset B_{t_{0}}$. C'est donc un compact, comme partie fermée d'un compact.

 

Valeurs d'adhérence

Définition : Suite extraite, Valeur d'adhérence

Soit $a\in E$ et $(u_{n})$ une suite de $E$.

• On dit que $(u_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ est une suite extraite de $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ si la suite $(n_{k})$ est à valeurs dans $\mathbb {N}$ et strictement croissante.
• On dit que $a$ est une valeur d'adhérence de $(u_{n})$ s'il existe une suite extraite $(u_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ qui converge vers $a$.

Proposition

Soit $a\in E$ et $(u_{n})$ une suite de $E$. $a$ est une valeur d'adhérence de $(u_{n})$ si et seulement si pour tout voisinage $V$ de $a$ on a $\forall \epsilon >0,~\forall N\in \mathbb {N} ,~\exists n>N,~x_{n}\in V$.

Proposition

Soit $a\in E$ et $(u_{n})$ une suite de $E$. $(u_{n})$ converge vers $a$ si et seulement si toutes ses suites extraites convergent vers $l$.

En particulier, si $(u_{n})$ converge vers $a$ alors $a$ est une valeur d'adhérence pour $(u_{n})$.

Un critère plus pratique :

Proposition

Soit $a\in E$ et $(u_{n})$ une suite de $E$. $(u_{n})$ converge vers $a$ si et seulement si les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers $a$.

Proposition : Caractérisation séquentielle de la compacité

Soit $A\subset E$. $A$ est compacte si et seulement si toute suite de $A$ admet une valeur d'adhérence $a\in A$.

Exemple d'application :

Proposition

Soient $E,\ F$ deux e.v.n., et $A$ (resp. $B$) une partie cmpacte de $E$ (resp. $F$). Alors, $A\times B$ est une partie compacte de $E\times F$.