« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions

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Version du 13 août 2019 à 22:29

**Compacité**
Leçon : Espaces vectoriels normés

Chapitre n^o 3
Chap. préc. :	Limites et continuité
Chap. suiv. :	Espaces vectoriels normés/Connexité

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Espaces vectoriels normés : Compacité
Espaces vectoriels normés/Compacité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Dans toute la suite, $E$ est un $\mathbb {R}$ -espace vectoriel normé.

Compacité

Définitions

Définition : Recouvrement ouvert, sous-recouvrement.

Soient $A$ une partie de $E$ et $(O_{i})_{i\in I}$ une famille de parties de $E$ .

On dit que $(O_{i})_{i\in I}$ est un recouvrement de $A$ si $A\subset \cup _{i\in I}O_{i}$ .

Il est dit ouvert si tous les $O_{i}$ sont ouverts.

Un sous-recouvrement de $(O_{i})_{i\in I}$ est une sous-famille $(O_{i})_{i\in J}$ ( $J\subset I$ ) qui est encore un recouvrement de $A$ .

Il est dit fini si $J$ est fini.

Remarque: On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.

Définition : Partie compacte.

Soit $A$ une partie de $E$ . On dit que $A$ est compacte si pour tout recouvrement ouvert $(O_{i})_{i\in I}$ , il existe un sous-recouvrement fini.

Proposition

Toute partie compacte de $E$ est fermée.

Démonstration

Soit $A$ une partie compacte de $E$ ; montrons que $A$ est fermé, c.-à-d.que $E\setminus A$ est un voisinage de tout point $x\in E\setminus A$ .

Pour tout $y\in A$ , on peut trouver deux boules ouvertes disjointes, $B_{y}$ contenant $y$ et $B_{y}'$ contenant $x$ .

Ainsi, $(B_{y})_{y\in A}$ est un recouvrement ouvert de $A$ , dont on peut extraire un sous-recouvrement fini $(B_{y})_{y\in J}$ .

On a alors $x\in O':=\cap _{y\in J}B_{y}'$ qui est un ouvert car $J$ est fini.

De plus, $O'$ est disjoint de l'ouvert $O:=\cup _{y\in J}B_{y}$ . On en déduit que $O'\subset E\setminus A$ car $A\subset O$ .

Ceci termine de montrer que $E\setminus A$ est un voisinage de $x$ .

Proposition

Soit $A$ une partie compacte de $E$ . Toute partie fermée de $A$ est compacte.

Démonstration

Soit $B$ une partie fermée de $A$ et soit $(O_{i})_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $B$ . En lui adjoignant l'ouvert $E\setminus B$ , on obtient un recouvrement ouvert de $A$ .

Puisque $A$ est compact, il existe alors une partie finie $J$ de $I$ telle que $A\subset \left(E\setminus B\right)\cup \cup _{i\in J}O_{i}$ , si bien que $B\subset \cup _{i\in J}O_{i}$ .

Proposition

Toute union finie de parties compactes de $E$ est compacte.
Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de $E$ est compacte.

Démonstration

Soient $A_{1},\cdots ,A_{N}$ des parties compactes de $E$ et $A$ leur réunion.
Soit $(O_{i})_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $A$ . Alors, pour tout $1\leq k\leq N$ , $(O_{i})_{i\in I}$ est un recouvrement ouvert de $A_{k}$ , dont on peut extraire un sous-recouvrement fini $(O_{i})_{i\in J_{k}}$ .
L'ensemble $J:=\cup _{k=1}^{N}J_{k}$ est alors fini, et $(O_{i})_{i\in J}$ est un recouvrement de $A$ .
Soient $\left(B_{t}\right)_{t\in T}$ une famille non vide de parties compactes de $E$ , $B:=\cap _{t\in T}B_{t}$ et $t_{0}\in T$ . On sait que tous les $B_{t}$ sont fermés, et donc $B$ est fermé.
Or $B\subset B_{t_{0}}$ . C'est donc un compact, comme partie fermée d'un compact.

Valeurs d'adhérence

Compacité et applications continues

Parties bornées

Diamètre d'une partie

Parties bornées et compacité

Espaces vectoriels normés

Limites et continuité

Espaces vectoriels normés/Connexité

@@ Ligne 17 : / Ligne 17 : @@
 | titre = Définition : Recouvrement ouvert, sous-recouvrement.
 |contenu =
-Soient <math>A</math> une partie de <math>E</math> et <math>(O_i)_{i\in I}</math> une famille de parties de <math>E</math>.
+Soient <math>A</math> une partie de <math>E</math> et <math>(O_i)_{i\in I}</math> une [[Application (mathématiques)/Famille|famille]] de parties de <math>E</math>.
 On dit que <math>(O_i)_{i\in I}</math> est un '''recouvrement''' de <math>A</math> si <math>A\subset \cup_{i\in I} O_i</math>.
@@ Ligne 23 : / Ligne 23 : @@
 Il est dit '''ouvert''' si tous les <math>O_i</math> sont ouverts.
-Un '''sous-recouvrement''' de <math>(O_i)_{i\in I}</math> est une sous-famille <math>(O_i)_{i\in J}</math> (<math>J\subset I</math>) qui est encore un recouvrement de <math>A</math>. Il est dit fini si <math>J</math> est fini.
+Un '''sous-recouvrement''' de <math>(O_i)_{i\in I}</math> est une sous-famille <math>(O_i)_{i\in J}</math> (<math>J\subset I</math>) qui est encore un recouvrement de <math>A</math>.
+Il est dit '''fini''' si <math>J</math> est fini.
 }}
 ;Remarque :
@@ Ligne 50 : / Ligne 52 : @@
 Ceci termine de montrer que <math>E\setminus A</math> est un voisinage de <math>x</math>.
 }}
 {{Proposition
 |contenu =
-Soit <math>A</math> une partie compacte de <math>E</math>. Toute partie <math>B</math> fermée de <math>A</math> est compacte.
+Soit <math>A</math> une partie compacte de <math>E</math>. Toute partie fermée de <math>A</math> est compacte.
 }}
 {{Démonstration déroulante
 |contenu=
-:Soit <math>(O_i)_{i \in I}</math> un recouvrement ouvert de <math>B</math>. Par passage au complémentaire, dans <math>B</math>, on obtient une famille <math>(F_i)_{i\in I}</math> de fermés d'intersection vide.
+Soit <math>B</math> une partie fermée de <math>A</math> et soit <math>(O_i)_{i\in I}</math> un recouvrement ouvert de <math>B</math>. En lui adjoignant l'ouvert <math>E\setminus B</math>, on obtient un recouvrement ouvert de <math>A</math>.
-:Comme <math>B</math> est fermé, les <math>F_i</math> sont des fermés de <math>A</math>. Un nouveau passage au complémentaire, dans <math>A</math> cette fois, nous donne un recouvrement ouvert <math>(O_i')_{i\in I}</math> de <math>A</math> dont on peut extraire un sous_recouvrement fini <math>(O_j')_{j\in J}</math> par l'hypothèse de compacité.
-:Or, pour tout <math>i\in I,\ O_i\subset O_i'</math>. Donc, <math>(O_j)_{j\in J}</math> est un sous-recouvrement fini de <math>(O_i)</math>, ce qui prouve la compacité de <math>B</math>.
+Puisque <math>A</math> est compact, il existe alors une partie finie <math>J</math> de <math>I</math> telle que <math>A\subset\left(E\setminus B\right)\cup\cup_{i\in J}O_i</math>, si bien que <math>B\subset\cup_{i\in J}O_i</math>.
 }}
 {{Proposition
 | contenu=
-#Une union finie de parties compactes de <math>E</math> est compacte.
+#Toute union finie de parties compactes de <math>E</math> est compacte.
-#Une intersection non vide de parties compactes de <math>E</math> est compacte.
+#Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de <math>E</math> est compacte.
 }}
 {{Démonstration déroulante
 |contenu =
+#Soient <math>A_1,\cdots,A_N</math> des parties compactes de <math>E</math> et <math>A</math> leur réunion.<br>Soit <math>(O_i)_{i\in I}</math> un recouvrement ouvert de <math>A</math>. Alors, pour tout <math>1\le k\le N</math>, <math>(O_i)_{i\in I}</math> est un recouvrement ouvert de <math>A_k</math>, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini <math>(O_i)_{i\in J_k}</math>.<br>L'ensemble <math>J:=\cup_{k=1}^NJ_k</math> est alors fini, et <math>(O_i)_{i\in J}</math> est un recouvrement de <math>A</math>.
-:Soit <math>A_1,\cdots,A_N</math> des parties compactes de <math>E</math>.
-#Soit <math>(O_i)_{i\in I}</math> un recouvrement de <math>\cup_{k=1}^N A_k</math>. Alors, <math>(O_i)_{i\in I}</math> est un recouvrement de <math>A_k</math>, pour tout <math> 1\leq k\leq N</math>dont on peut extraire un sous-recouvrement fini.
+#Soient <math>\left(B_t\right)_{t\in T}</math> une famille non vide de parties compactes de <math>E</math>, <math>B:=\cap_{t\in T}B_t</math> et <math>t_0\in T</math>. On sait que tous les <math>B_t</math> sont fermés, et donc <math>B</math> est fermé.<br>Or <math>B\subset B_{t_0}</math>. C'est donc un compact, comme partie fermée d'un compact.
-#:L'union de tous les sous-recouvrements finis ainsi extraits est alors finie, et forme un recouvrement de <math>\cup_{k=1}^N A_k</math>, ce qui termine la preuve.
-#On sait que, pour tout <math>1\leq k\leq N,\ A_k</math> est un fermé, et donc <math>\cap_{k=1}^N A_k</math> est fermée.
-#:Or, pour tout <math>1\leq k\leq N,\ \cap_{k=1}^N A_k\subset A_k</math>. C'est donc un compact, comme partie fermée d'un compact.
 }}