« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique

← Modification précédente Modification suivante →

Contenu supprimé Contenu ajouté

Intégrés

Version du 13 août 2019 à 08:36

**Compacité**
Leçon : Espaces vectoriels normés

Chapitre n^o 3
Chap. préc. :	Limites et continuité
Chap. suiv. :	Espaces vectoriels normés/Connexité

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Espaces vectoriels normés : Compacité
Espaces vectoriels normés/Compacité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Dans toute la suite, $E$ est un $\mathbb {R}$ -espace vectoriel normé.

Compacité

Définitions

Définition : Recouvrement ouvert, sous-recouvrement.

Soient $A$ une partie de $E$ et $(O_{i})_{i\in I}$ une famille de parties de $E$ .

On dit que $(O_{i})_{i\in I}$ est un recouvrement de $A$ si $A\subset \cup _{i\in I}O_{i}$ .

Il est dit ouvert si tous les $O_{i}$ sont ouverts.

Un sous-recouvrement de $(O_{i})_{i\in I}$ est une sous-famille $(O_{i})_{i\in J}$ ( $J\subset I$ ) qui est encore un recouvrement de $A$ . Il est dit fini si $J$ est fini.

Remarque: On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.

Définition : Partie compacte.

Soit $A$ une partie de $E$ . On dit que $A$ est compacte si pour tout recouvrement ouvert $(O_{i})_{i\in I}$ , il existe un sous-recouvrement fini.

Proposition

Toute partie compacte de $E$ est fermée.

Démonstration

Soit $A$ une partie compacte de $E$ ; montrons que $A$ est fermé, c.-à-d.que $E\setminus A$ est un voisinage de tout point $x\in E\setminus A$ .

Pour tout $y\in A$ , on peut trouver deux boules ouvertes disjointes, $B_{y}$ contenant $y$ et $B_{y}'$ contenant $x$ .

Ainsi, $(B_{y})_{y\in A}$ est un recouvrement ouvert de $A$ , dont on peut extraire un sous-recouvrement fini $(B_{y})_{y\in J}$ .

On a alors $x\in O':=\cap _{y\in J}B_{y}'$ qui est un ouvert car $J$ est fini.

De plus, $O'$ est disjoint de l'ouvert $O:=\cup _{y\in J}B_{y}$ . On en déduit que $O'\subset E\setminus A$ car $A\subset O$ .

Ceci termine de montrer que $E\setminus A$ est un voisinage de $x$ .

Valeurs d'adhérence

Compacité et applications continues

Parties bornées

Diamètre d'une partie

Parties bornées et compacité

Espaces vectoriels normés

Limites et continuité

Espaces vectoriels normés/Connexité

@@ Ligne 9 : / Ligne 9 : @@
 Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.
-Dans toute la suite, <math>E</math> est un <math>\mathbb{K}</math>-espace vectoriel normé, avec <math>\mathbb{K}=\R</math> ou <math>\C</math>.
+Dans toute la suite, <math>E</math> est un <math>\R</math>-espace vectoriel normé.
 {{clr}}
 == Compacité ==
@@ Ligne 17 : / Ligne 17 : @@
 | titre = Définition : Recouvrement ouvert, sous-recouvrement.
 |contenu =
-Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>. On dit que <math>(O_i)_{i\in I}</math> est un recouvrement de <math>A</math> si <math>A\subset \cup_{i\in I} O_i</math>. Il est dit ouvert si <math>\forall i \in I,\ O_i</math> est ouvert. Un sous-recouvrement de  <math>(O_i)_{i\in I}</math> est une sous famille de  <math>(O_i)_{i\in I}</math> qui est encore un recouvrement de <math>A</math>
+Soient <math>A</math> une partie de <math>E</math> et <math>(O_i)_{i\in I}</math> une famille de parties de <math>E</math>.
+On dit que <math>(O_i)_{i\in I}</math> est un '''recouvrement''' de <math>A</math> si <math>A\subset \cup_{i\in I} O_i</math>.
+Il est dit '''ouvert''' si tous les <math>O_i</math> sont ouverts.
+Un '''sous-recouvrement''' de <math>(O_i)_{i\in I}</math> est une sous-famille <math>(O_i)_{i\in J}</math> (<math>J\subset I</math>) qui est encore un recouvrement de <math>A</math>. Il est dit fini si <math>J</math> est fini.
 }}
 ;Remarque :
-*On définit de même des recouvrements fermés, bornées, etc...
+:On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.
 {{Définition
 | titre = Définition : Partie compacte.
 | contenu =
-Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>. On dit que <math>A</math> est compacte si pour tout recouvrement ouvert <math>(O_i)_{i\in I}</math>, il existe un sous-recouvrement fini <math>(O_j)_{j\in J}</math> avec <math>J</math> une partie finie de <math>I</math>.
+Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>. On dit que <math>A</math> est compacte si pour tout recouvrement ouvert <math>(O_i)_{i\in I}</math>, il existe un sous-recouvrement fini.
 }}
 {{Proposition
 |contenu =
-Si <math>A</math> est une partie compacte de <math>E</math>, alors <math>A</math> est fermée.
+Toute partie compacte de <math>E</math> est fermée.
 }}
 {{Démonstration déroulante
 |contenu =
+Soit <math>A</math> une partie compacte de <math>E</math> ; montrons que <math>A</math> est fermé, c.-à-d.que <math>E\setminus A</math> est un voisinage de tout point <math>x\in E\setminus A</math>.
-:On peut supposer <math>A\neq E</math>, car <math>E</math> est toujours fermée.
-:Soit <math>x\in E\backslash A</math>.
-:Pour tout <math>y\in A</math>, on peut trouver une boule ouverte <math>B_y</math> contenant <math>y</math>, et ne contenant pas <math>x</math>, et une boule ouverte <math>B_y'</math> contenant <math>x</math>, et ne contenant pas <math>y</math>.
+Pour tout <math>y\in A</math>, on peut trouver deux boules ouvertes disjointes, <math>B_y</math> contenant <math>y</math> et <math>B_y'</math> contenant <math>x</math>.
-:Ainsi, <math>(B_y)_{y\in A}</math> est un recouvrement ouvert de <math>A</math>, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini <math>(B_y)_{y\in J}</math> où <math>J</math> est une partie finie de <math>A</math>.
-:On a alors <math>O'=\cup_{y\in J} B_y'</math> qui est un voisinage ouvert de <math>x</math> car <math>J</math> est finie. Et donc, pour <math>O=\cap_{y\in J} B_y</math>, on a <math>O\cap O' = \emptyset</math>.
+Ainsi, <math>(B_y)_{y\in A}</math> est un recouvrement ouvert de <math>A</math>, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini <math>(B_y)_{y\in J}</math>.
-:On en déduit que <math>O' \subset E \backslash A</math> car <math>A\subset O</math>. Par l'arbitraire sur <math>x</math>, <math> E \backslash A</math> est voisinage de chacun de ses points, et est donc ouvert.
-:Ceci termine de montrer que <math>A</math> est fermée.
+On a alors <math>x\in O':=\cap_{y\in J} B_y'</math> qui est un ouvert car <math>J</math> est fini.
+De plus, <math>O'</math> est disjoint de l'ouvert <math>O:=\cup_{y\in J}B_y</math>. On en déduit que <math>O'\subset E\setminus A</math> car <math>A\subset O</math>.
+Ceci termine de montrer que <math>E\setminus A</math> est un voisinage de <math>x</math>.
 }}