Espaces vectoriels normés/Compacité

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Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Dans toute la suite, $E$ est un $\mathbb {K}$-espace vectoriel normé, avec $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$.

Compacité

Définitions

Définition : Recouvrement ouvert, sous-recouvrement.

Soit $A$ une partie de $E$. On dit que $(O_{i})_{i\in I}$ est un recouvrement de $A$ si $A\subset \cup _{i\in I}O_{i}$. Il est dit ouvert si $\forall i\in I,\ O_{i}$ est ouvert. Un sous-recouvrement de $(O_{i})_{i\in I}$ est une sous famille de $(O_{i})_{i\in I}$ qui est encore un recouvrement de $A$

Remarque

• On définit de même des recouvrements fermés, bornées, etc...

Définition : Partie compacte.

Soit $A$ une partie de $E$. On dit que $A$ est compacte si pour tout recouvrement ouvert $(O_{i})_{i\in I}$, il existe un sous-recouvrement fini $(O_{j})_{j\in J}$ avec $J$ une partie finie de $I$.

Proposition

Si $A$ est une partie compacte de $E$, alors $A$ est fermée.

Démonstration

On peut supposer $A\neq E$, car $E$ est toujours fermée.

Soit $x\in E\backslash A$.

Pour tout $y\in A$, on peut trouver une boule ouverte $B_{y}$ contenant $y$, et ne contenant pas $x$, et une boule ouverte $B_{y}'$ contenant $x$, et ne contenant pas $y$.

Ainsi, $(B_{y})_{y\in A}$ est un recouvrement ouvert de $A$, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini $(B_{y})_{y\in J}$ où $J$ est une partie finie de $A$.

On a alors $O'=\cup _{y\in J}B_{y}'$ qui est un voisinage ouvert de $x$ car $J$ est finie. Et donc, pour $O=\cap _{y\in J}B_{y}$, on a $O\cap O'=\emptyset$.

On en déduit que $O'\subset E\backslash A$ car $A\subset O$. Par l'arbitraire sur $x$, $E\backslash A$ est voisinage de chacun de ses points, et est donc ouvert.

Ceci termine de montrer que $A$ est fermée.