« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions
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== Exercice 3-3 : |
== Exercice 3-3 : extrema d'une fonction continue == |
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Soit <math>f:\R^n\to\R</math> une application continue, admettant à l'infini une limite <math>L</math> (finie ou infinie) : |
Soit <math>f:\R^n\to\R</math> une application continue, admettant à l'infini une limite <math>L</math> (finie ou infinie) : |
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:<math>\lim_{\|x\|\to+\infty}f(x)=L\in\left[-\infty,+\infty\right]</math>. |
:<math>\lim_{\|x\|\to+\infty}f(x)=L\in\left[-\infty,+\infty\right]</math>. |
Version du 10 août 2019 à 23:12
Exercice 3-1
Soit . Montrer que son exponentielle est un polynôme en ou plus généralement, que pour toute fonction d'une variable complexe développable en série entière en , avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de (pour une norme arbitraire fixée sur ).
Par définition, est une limite de polynômes en (les sommes partielles de la série entière). Puisque est de dimension finie, le sous-espace vectoriel est fermé.
Exercice 3-2 : Densité de GLn
Soit ou . Démontrer que dans (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble des matrices inversibles est dense.
Soit . Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe tel que pour tout entier , , ce qui prouve que est adhérent à .
Exercice 3-3 : extrema d'une fonction continue
Soit une application continue, admettant à l'infini une limite (finie ou infinie) :
- .
On pose et (donc ).
- Montrer que si , alors la valeur est atteinte (autrement dit : c'est un minimum).
- En déduire que (sans cette hypothèse) admet un extremum.
- En déduire également que si est finie, alors est bornée.
(Ceci généralise les exercices 3 et (en partie) 2 de Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité.)
- Soit strictement compris entre et . Puisque , on a pour tout de norme suffisamment grande, disons supérieure à un certain réel . Puisque , est aussi la borne inférieure de restreinte à la boule fermée . Puisque cette boule est compacte et que est continue, cette borne inférieure est atteinte.
- Si alors a un minimum. De même, si alors a un maximum (en raisonnant sur ). Enfin, si alors est constante.
- D'après la question 1, si alors . Si (supposée finie), on a aussi . Donc est minorée. On démontre de même (ou on le déduit en remplaçant par ) que est majorée.